Die Herbrand

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Die Herbrand-Expansion
Wir haben als Ausgangspunkt eine Formel F in Skolemform.
Die Herbrand-Expansion E (F ) ist die unendliche Menge
von Formeln, die wie folgt entstehen:
E (F ) besteht aus allen Formeln, die man aus der Matrix
von F bilden kann, indem man die Variablen durch
Elemente des Herbrand-Universums D(F ) ersetzt.
Das heißt, wenn F die Formel F = ∀x1 . . . ∀xk G ist, dann
enthält E (F ) alle Formeln der Form G [x1 /u1 ] . . . [xk /uk ] für
beliebige Elemente ui aus D(F ).
Einheit 21
– Folie 21.1 –
23.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Beispiel
Als Beispiel betrachten wir die Formel
F = ∀x∀y ∀z P(x, f (y ), g (z, x))
Dann ist D(F ) = {a, f (a), g (a, a), f (f (a)), f (g (a, a)), . . . }
und wir erhalten u.a. folgende Elemente von E (F ):
P(a, f (a), g (a, a))
P(a, f (f (a)), g (a, a))
P(f (a), f (a), g (a, f (a)))
P(a, f (a), g (f (a), a))
P(g (f (a), f (a)), f (g (a, a)), g (a, g (f (a), f (a))))
Dagegen gehört P(f (a), f (a), g (a, a)) nicht zu E (F ).
Einheit 21
Bitte überlegen Sie sich selbst, warum nicht...
23.05.2017
– Folie 21.2 –
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Satz von Gödel, Herbrand, Skolem
Der Satz von Gödel, Herbrand und Skolem führt das Erfüllbarkeitsproblem der Prädikatenlogik auf den aussagenlogischen
Fall zurück – allerdings wird bei der Reduktion die eine
Formel F zu der unendlichen Formelmenge E (F ):
Satz: Eine Skolemformel F ist genau dann erfüllbar,
wenn die Menge E (F ) als aussagenlogische
Formelmenge erfüllbar ist.
Zum Beweis genügt es zu zeigen, dass F genau dann ein
Herbrand-Modell hat, wenn E (F ) erfüllbar ist.
Einheit 21
– Folie 21.3 –
23.05.2017
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Beweis des Satzes
Die Skolemformel sei F = ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn G .
Dann gilt:
A ist Herbrand-Modell für F
⇐⇒
für alle t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt
A[y1 /t1 ][y2 /t2 ]...[yn /tn ] (G ) = 1
⇐⇒
für alle t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt
(Hier wird Übung 58
- Folie 19.3 - benutzt)
A(G [y1 /t1 ][y2 /t2 ] . . . [yn /tn ]) = 1
⇐⇒
für alle H ∈ E (F ) gilt A(H) = 1
⇐⇒
A ist Modell für E (F ).
Einheit 21
– Folie 21.4 –
23.05.2017
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Satz von Herbrand
Aus dem Satz von Gödel, Herbrand, Skolem folgt direkt der
folgende Satz (Satz von Herbrand):
Satz: Eine Skolemformel F ist genau dann unerfüllbar,
wenn eine endliche unerfüllbare Teilmenge
von E (F ) existiert.
Beweis:
F unerfüllbar
⇐⇒
E (F ) unerfüllbar
⇐⇒
E (F ) hat endliche unerfüllbare
Teilmenge
Die erste Äquivalenz ist der Satz von Gödel, Herbrand, Skolem, die zweite
Äquivalenz folgt aus dem Endlichkeitssatz.
Einheit 21
– Folie 21.5 –
23.05.2017
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Bemerkungen
• Die Menge E (F ) ist eine Formelmenge der Aussagenlogik!
• E (F ) ist rekursiv aufzählbar.
• Der Satz von Herbrand führt daher zu einem Algorithmus, der
unerfüllbare Formeln in endlicher Zeit erkennt.
• Dieser Algorithmus von Gilmore (sh. Buch) kann aber nicht in
endlicher Zeit erkennen, wenn die Eingabe erfüllbar ist.
Also ist das Unerfüllbarkeitsproblem für
prädikatenlogische Formeln semi-entscheidbar.
Ebenso ist das Gültigkeitsproblem für
prädikatenlogische Formeln semi-entscheidbar.
Einheit 21
– Folie 21.6 –
23.05.2017