Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Wächter/Walter/Weiÿ
Wintersemester 2014/15
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 1
Abgabe: bis Mo 27.10. 12:50 in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: In den Kalenderwochen 44 und 45.
1.
Logik mit natürlichsprachlichen Aussagen (schriftlich)
(5
Punkte )
Welche der folgenden Aussagen sind korrekte Schlussfolgerungen aus der Aussage Falls das
Wetter schön ist, gehen wir baden ? Welche widersprechen ihr? Begründen Sie Ihre Antwort.
a) Das Wetter ist nicht schön.
b) Das Wetter ist schön und wir gehen nicht baden.
c) Falls das Wetter nicht schön ist, gehen wir nicht baden.
d) Falls wir nicht baden gehen, ist das Wetter nicht schön.
e) Falls wir baden gehen, ist das Wetter nicht schön.
2.
Zahlenpyramide
Eine Zahlenpyramide besteht aus den Zahlen 09. Diese sind als Pyramide angeordnet, d.h.
es gibt 4 Reihen wobei die
n-te Reihe genau n Zahlen enthält. Keine der Zahlen kommt also
doppelt vor. Ein Student hat in der Einführungsvorlesung eine solche Pyramide gesehen.
Leider kann er sich nur noch an wenige Informationen erinnern. Es ist bekannt, dass
0
1 2
3 4 5
6 7 8 9
Eine Zahlenpyramide
•
die Zahlen in der untersten Reihe die Summe 19 haben.
•
die Zahlen der dritten Reihe die Summe 17 haben.
•
die zweite Zahl der untersten Reihe minus der ersten Zahl der untersten Reihe 5 ist.
•
die Zahl der ersten Reihe minus die erste Zahl der zweiten Reihe 6 ist.
•
die jeweils ersten Zahlen jeder Reihe sich zu 17 summieren.
•
die dritte Zahl der dritten Reihe minus der letzten Zahl der vierten Reihe 3 ergibt.
Helfen Sie dem Studenten die Pyramide zu rekonstruieren. Ist die Lösung eindeutig?
Bonusaufgabe (2 Punkte, schriftlich): Ist die Lösung noch eindeutig wenn man eine beliebige
der Bedingungen weglässt? Beweisen Sie Ihre Antwort!
3.
Ritter und Schurken
Auf einer Insel leben ausschlieÿlich Ritter und Schurken, welche sich äuÿerlich jedoch nicht
unterscheiden lassen. Ritter sagen immer die Wahrheit, während Schurken stets lügen. Ein
Besucher der Insel berichtet:
a) Ich traf einen Insulaner, der mir erzählte: Mein Vater hat einmal gesagt, dass er und
ich verschiedenen Typen angehören, einer ist ein Ritter und der andere ein Schurke.` Kann der Vater das wirklich gesagt haben?
b) Am nächsten Tag traf ich einen Soziologen, der die Insel besuchte. Er berichtete: Ich
habe alle Bewohner der Insel befragt und folgendes entdeckt: Zu jedem Bewohner
gibt es mindestens einen Bewohner
Y,
der behauptet, dass er und
seien.` . Hat der Soziologe gewissenhaft gearbeitet?
X
X
beide Schurken
4.
Bäume zu Formeln
Zeichnen Sie den zur Formel
Teilformeln hat
5.
F = ¬(¬((A ∧ B) ∨ ¬(C ∨ B)))
zugehörigen Baum. Welche
F?
Grundbegrie (schriftlich)
(10
Gegeben seien die folgenden Formeln
Punkte )
F1 , . . . , F 6 .
F1 = ¬A ∧ B
F2 = ¬A ↔ B
F3 = (A → (A ∧ B)) ∨ ¬B
F4 = ¬A ∨ B F5 = ¬(B → A) ∧ B
F6 = ¬B ∧ ¬(B → A)
a) Stellen Sie für die Formeln
F1 , . . . , F6
Verknüpfungstafeln (Wahrheitswertetabelle) auf.
Geben Sie die atomaren Formeln in alphabetischer Reihenfolge an und zählen Sie die
Belegungen in aufsteigender lexikographischer Ordnung auf.
b) Welche der Formeln
Fi
sind erfüllbar? Welche sind gültig?
c) Für welche
i 6= j
d) Finden Sie
i, j, k ∈ {1, . . . , 6},
gilt
Fi ≡ Fj ?
• Fi 6|= Fk ,
sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
• Fj 6|= Fk ,
• Fi , Fj |= Fk .
|=
Begründen Sie dies mit Hilfe der Denition von
Fi , Fj , Fk .
Erinnerung : F |= G
und der Verknüpfungstafeln der
Formeln
6.
bedeutet
|= (F → G),
also
F →G
ist gültig.
Formelmengen
a) Geben Sie aussagenlogische Formeln
F1 , F2 , F3
{F1 , F2 , F3 } ist unerfüllbar.
Mengen {F1 , F2 }, {F1 , F3 }, {F2 , F3 }
mit folgenden Eigenschaften an:
(i) Die Menge
(ii) Die
sind alle erfüllbar.
Geben Sie für die zwei-elementigen Mengen Modelle an.
b) Sei
n ≥ 3
beliebig. Geben Sie eine Formelmenge
Mn = {F1 , . . . , Fn }
mit folgenden
Eigenschaften an:
(i)
Mn
(ii) Alle
ist unerfüllbar.
(n − 1)-elementigen
Teilmengen von
Mn
sind erfüllbar.
Begründen Sie kurz, warum die von Ihnen gewählte Menge
und (ii) hat.
Mn
die Eigenschaften (i)
Hinweise zum Ablauf der Übungen:
•
Die Anmeldung zu den Übungen erfolgt über die Webseite
https://eclaus.informatik.uni-stuttgart.de
Login:
Passwort:
lds14
goedel
Die Freischaltung der Anmeldeseite erfolgt am Dienstag, den 14.10., um 19:15 Uhr.
Bitte melden Sie sich bis spätestens Freitag 17.10. 11:00 Uhr an.
•
Jedes Blatt enthält schriftliche Aufgaben (durch Angabe von Punkten gekennzeichnet).
Ihre Lösung der schriftlichen Aufgaben geben Sie in leserlicher Form in den Abgabekästen im 1. OG (gegenüber von Raum 1.024) ab. Vergessen Sie nicht, Ihre Abgabe
mit Ihrem Namen, dem Namen Ihres Tutors
und der Gruppennummer
zu kennzeich-
nen. Falls Sie mehrere Blätter abgeben, heften Sie diese zusammen. Die Abgaben sind
Gruppenabgaben (der Gröÿe kleiner gleich 3) oensichtlich abgeschriebene Lösungen
werden mit 0 Punkten bewertet.
•
Die übrigen Aufgaben bereiten Sie bitte soweit zu Hause vor, dass Sie in der Lage sind
eventuelle Probleme gleich zu Beginn der Übung zu klären. Insbesondere sollten Sie
alle Begrie, die auf dem Übungsblatt vorkommen, erklären können.
•
Jede zweite Woche (im Wechsel zu den schriftlichen Abgaben) gibt es MC-Tests im
eClaus. Die Besprechung der MC-Tests ndet in den Ergänzungen statt.
•
In der letzten Vorlesungswoche wird es eine Scheinklausur geben.
•
Einen Schein erhält, wer die Scheinklausur besteht, mindestens 50% der Punkte der
schriftlichen Abgaben und 50% in den MC-Tests erreicht sowie eine regelmäÿige und
aktive Teilnahme in den Übungsgruppen zeigt (Anwesenheit, mindestens einmal vorrechnen).
•
Um an der Modulprüfung Theoretische Grundlagen der Informatik
teilzunehmen,
benötigen Sie einen Übungsschein in Logik und diskrete Strukturen oder in Formale Sprachen und Automatentheorie (2. Semester). Um an der Modulprüfung Logik
und diskrete Strukturen teilzunehmen, benötigen Sie den Übungsschein in Logik und
diskrete Strukturen .
•
Informationen
zur
Vorlesung
und
den
Übungen
nden
http://www.fmi.uni-stuttgart.de/ti/lehre/ws14/lds/
sich
auf
der
Homepage: