Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Weiÿ
Wintersemester 2013/14
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 2
Abgabe: bis Mo 04.11. 14:00 in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: In den Kalenderwochen 45 und 46.
Schreiben Sie Ihren Namen, die Übungsgruppe und den Tutor leserlich auf Ihre Abgabe. Tackern
Sie Ihre Abgabe links oben, falls Sie mehrere Blätter abgeben. Werfen Sie die Abgabe in den
korrekten Abgabekasten im Mittelgang des 1. Stocks.
1.
10 Punkte )
Grundbegrie (schriftlich)
(
Gegeben seien die folgenden Formeln
F1 , . . . , F 6 .
F1 = ¬A ∧ B
F2 = ¬A ↔ B
F3 = (A → (A ∧ B)) ∨ ¬B
F4 = ¬A ∨ B F5 = ¬(B → A) ∧ B
F6 = ¬B ∧ ¬(B → A)
a) Stellen Sie für die Formeln
F1 , . . . , F6
Verknüpfungstafeln (Wahrheitswertetabelle) auf.
Geben Sie die atomaren Formeln in alphabetischer Reihenfolge an und zählen Sie die
Belegungen in aufsteigender lexikographischer Ordnung auf.
b) Welche der Formeln
Fi
sind erfüllbar? Welche sind gültig?
c) Für welche
i 6= j
d) Finden Sie
i, j, k ∈ {1, . . . , 6},
gilt
Fi ≡ Fj ?
• Fi 6|= Fk ,
sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
• Fj 6|= Fk ,
Begründen Sie dies mit Hilfe der Denition von
Formeln
• Fi , Fj |= Fk .
|=
und der Verknüpfungstafeln der
Fi , Fj , Fk .
Erinnerung : F |= G bedeutet |= (F → G).
2.
4 Punkte )
Normalformen (schriftlich)
(
Überführen Sie die folgende Formel mittels Äquivalenzumformungen in disjunktive Normalform (DNF) und in konjunktive Normalform (KNF). Notieren Sie zu jeder Umformung die
verwendeten Gesetze.
(¬A → ¬(C ∨ ¬B)) ∨ ¬C ∧ (A ∨ B) → C
3.
Normalformen II (Votieraufgabe)
Wiederholen Sie Aufgabe 2 mit folgenden Formeln:
4.
a)
(¬(A ∨ (C ∧ B)) ∨ (A ∧ C)) → A
b)
((¬(A ∧ B) → C) ∧ (C ↔ B)) ∨ ¬(A ∧ C)
Bäume zu Formeln (Votieraufgabe)
Zeichnen Sie zu den folgenden beiden Formeln die zugehörigen Bäume. Welche Teilformeln
haben die Formeln
F1
und
F2 ?
a)
F1 = ¬(¬((A ∧ B) ∨ ¬(C ∨ B)))
b)
F2 = ((A ∧ B) ∨ (¬A ∨ B))
5.
Formelmengen (Votieraufgabe)
a) Geben Sie aussagenlogische Formeln
F1 , F2 , F3
{F1 , F2 , F3 } ist unerfüllbar.
Mengen {F1 , F2 }, {F1 , F3 }, {F2 , F3 }
mit folgenden Eigenschaften an:
(i) Die Menge
(ii) Die
sind alle erfüllbar.
Geben Sie für die zwei-elementigen Mengen Modelle an.
b) Sei
n ≥ 3
beliebig. Geben Sie eine Formelmenge
Mn = {F1 , . . . , Fn }
mit folgenden
Eigenschaften an:
(i)
Mn
(ii) Alle
ist unerfüllbar.
(n − 1)-elementigen
Teilmengen von
Mn
sind erfüllbar.
Begründen Sie kurz, warum die von Ihnen gewählte Menge
Mn
die Eigenschaften (i)
und (ii) hat.
c) Sei
n≥3
beliebig und
Mn
vn die Anzahl untervn mindestens sein, damit
eine Formelmenge wie in (b). Es sei
schiedlicher Variablen, die in
Mn
vorkommt. Wie groÿ muss
Eigenschaften (i) und (ii) erfüllt sind?
Zeigen Sie, dass Ihre Schranke für
6.
vn
scharf ist.
1+1 Votierpunkte )
Shannon-Zerlegung (Votieraufgabe)
(
In dieser Aufgabe betrachten wir nur solche Formeln, die ausschlieÿlich die Junktoren
∧, ∨
¬
enthalten. Mit Hilfe von Wahrheitstafeln lässt sich jeder Formel F eine
n
boolesche Funktion JF K : {0, 1}
→ {0, 1} zuweisen. Die Shannon-Zerlegung zeigt die
n
Umkehrung. Für jede boolesche Funktion f : {0, 1} → {0, 1} gibt es eine Formel F mit
und
f = JF K. Für n = 1 benutzt man dazu die Formeln A1 , ¬A1 , (A1 ∧ ¬A1 ), (A1 ∨ ¬A1 ).
Für n > 1 existieren nach Induktion Formeln F1 , F0 mit f1 = JF1 K und f0 = JF0 K wobei
f1 (A1 , . . . , An−1 ) := f (A1 , . . . , An−1 , 1) und f0 (A1 , . . . , An−1 ) := f (A1 , . . . , An−1 , 0). Wir
setzen dann F = ((An ∧ F1 ) ∨ (¬An ∧ F0 )).
a) Die folgende Tabelle beschreibt eine boolesche Funktion
Verfahren eine Formel
F,
so dass
JF K = f
f.
Finden Sie mit obigem
gilt.
A3 A2 A1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
f
1
0
0
1
0
1
0
1
b) Beweisen Sie mit Hilfe der oben beschriebenen Zerlegung: Für jede boolesche Funktion
f : {0, 1}n → {0, 1} gibt es eine Formel F mit JF K = f und |F | ≤ 12(2n − 1). Dabei
bezeichne
|F |
die Anzahl der Symbole ( , ) , ¬ , ∧ , ∨ , Ai in
Abschätzung scharf oder nden Sie eine bessere obere Schranke?
F.
Ist diese