Logik in der Informatik, ¨Ubungsblatt 4

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
http://www.tu-ilmenau.de/tinf/lehre/ss-2012/logik-in-der-informatik/
Logik in der Informatik, Übungsblatt 4
Die Übungsaufgaben werden in der Übungsveranstaltung am 29.5., 17 Uhr besprochen.
Übungsaufgaben
(1) Seien τ eine Signatur und A und B τ -Strukturen. Das Produkt A × B von A und B
ist die τ -Struktur mit Universum ||A|| × ||B|| und den folgenden Eigenschaften:
• für alle Relationssymbole R von τ mit ar(R) = n gilt:
RA×B = {((a1 , b1 ), . . . , (an , bn )) | (a1 , . . . , an ) ∈ RA , (b1 , . . . , bn ) ∈ RB }
• für alle Konstantensymbole c von τ gilt:
cA×B = (cA , cB )
Falls τ keine Konstanensymbole enthält, so ist die disjunkte Vereinigung A ] B von
A und B die τ Struktur mit Universum ||A ] B|| und RA]B = RA ∪ RB für alle
Relationssymbole R aus τ .
Seien A1 , A2 , B1 und B2 τ -Strukturen mit A1 ≡m B1 und A2 ≡m B2 . Zeigen Sie:
(a) A1 × A2 ≡m B1 × B2
(b) A1 ] A2 ≡m B1 ] B2
(2) Sei [n] = {1, 2, . . . , n} für n ≥ 1. Ein Gitter G(n, m) ist ein Graph mit Knotenmenge
{(i, j) | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n} und Kantenmenge
{((i, j), (i + 1, j)) | i ∈ [n − 1], j ∈ [m]} ∪ {((i, j), (i, j + 1)) | i ∈ [n], j ∈ [m − 1]}
Folgern Sie aus Aufgabe (1), dass es keinen Satz ϕ erster Stufe gibt mit G(n, m) |= ϕ
genau dann, wenn n = m für alle Gitter G(n, m).
(3) Ein Ehrenfeucht-Fraı̈ssé-Spiel über den Strukturen A und B ist einseitig, falls der Herausforderer immer in A zieht. Wir bezeichnen eine Formel erster Stufe als existentiell,
wenn sie von der Form ∃x1 ∃2 . . . ∃xn : ψ ist und ψ keine Quantoren enthält. Für zwei
Strukturen A und B schreiben wir A ≡∃m B, wenn A |= ϕ ⇐⇒ B |= ϕ für alle
existentiellen Formeln ϕ erster Stufe mit qr(ϕ) ≤ m gilt.
(a) Erklären Sie, an welcher Stelle der Beweis zu Proposition 4.5 scheitert, wenn wir
einseitige Spiele betrachten.
(b) Zeigen Sie, dass der Herausforderer eine Gewinnstrategie für m Runden von (ε, ε)
hat, wenn A 6≡∃m B gilt.
(c) Skizzieren Sie den Beweis der Umkehrung der Implikation aus (b).
(4) Betrachten Sie das folgende Entscheidungsproblem für eine Signatur τ :
Eingabe: endliche τ -Strukturen A, B, m ≥ 0
Frage: Gilt A ≡m B?
Skizzieren Sie einen Beweis dafür, dass obiges Problem in PSPACE ist.