Logik in der Informatik, ¨Ubungsblatt 5

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
Besprechung der Aufgaben am 10.06.2014
Logik in der Informatik, Übungsblatt 5
(1) Seien τ eine Signatur und A und B τ -Strukturen. Das Produkt A × B von A und B ist die
τ -Struktur mit Universum ||A|| × ||B||,
• RA×B = {((a1 , b1 ), . . . , (an , bn )) | (a1 , . . . , an ) ∈ RA , (b1 , . . . , bn ) ∈ RB } für alle Relationssymbole R von τ mit ar(R) = n und
• cA×B = (cA , cB ) für alle Konstantensymbole c von τ .
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:
(a) Seien A1 , A2 , B1 und B2 τ -Strukturen mit A1 ≡m B1 und A2 ≡m B2 . Zeigen Sie, dass
A1 × A2 ≡m B1 × B2 gilt.
(b) Sei [n] = {1, 2, . . . , n} für alle n ≥ 1. Ein Gitter G(n, m) (mit n Zeilen und m Spalten) ist
ein Graph mit Knotenmenge {(i, j) | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} und Kantenmenge
{((i, j), (i + 1, j)) | i ∈ [n − 1], j ∈ [m]} ∪ {((i, j), (i, j + 1)) | i ∈ [n], j ∈ [m − 1]} .
Folgern Sie aus Teilaufgabe (a), dass es keinen Satz ϕ erster Stufe mit folgender Eigenschaft
gibt: G(n, m) |= ϕ genau dann, wenn n = m für alle Gitter G(n, m).
(2) Ein Ehrenfeucht-Fraı̈ssé-Spiel über den Strukturen A und B ist einseitig, falls der Herausforderer immer in A zieht. Wir bezeichnen eine Formel erster Stufe als existentiell, wenn sie von
der Form ∃x1 ∃2 . . . ∃xn : ψ ist und ψ keine Quantoren enthält. Für zwei Strukturen A und B
schreiben wir A ≡∃m B, wenn A |= ϕ ⇐⇒ B |= ϕ für alle existentiellen Formeln ϕ erster Stufe
mit qr(ϕ) ≤ m gilt.
(a) Erklären Sie, an welcher Stelle der Beweis zu Proposition 4.5 scheitert, wenn wir einseitige
Spiele betrachten.
(b) Zeigen Sie, dass der Herausforderer eine Gewinnstrategie für m Runden von (ε, ε) hat,
wenn A 6≡∃m B gilt.
(c) Skizzieren Sie den Beweis der Umkehrung der Implikation aus (b).
(3) Betrachten Sie das folgende Entscheidungsproblem für eine Signatur τ :
Eingabe: endliche τ -Strukturen A, B, m ≥ 0
Frage: Gilt A ≡m B?
Skizzieren Sie einen Beweis dafür, dass obiges Problem in PSPACE ist.