7. Übung zur Analysis I im WS 2013/14 Hausübungen

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Patrizio Neff
Christian Thiel
26.11.2013
7. Übung zur Analysis I im WS 2013/14
Präsenzaufgabe 1:
Beweisen Sie:
⇔
lim an = a
n→∞
∀ε > 0 ∃x ∈ R ∀n ∈ N : n > x ⇒ |an − a| < ε .
Präsenzaufgabe 2:
Beweisen Sie mit Hilfe der ε-Definition eines Grenzwertes, dass die Folge (an )n∈N mit
an =
2n
n+1
gegen 2 konvergiert. Bestimmen Sie eine Zahl n0 , sodass für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 die Ungleichung
1
|an − 2| < 1000
gilt.
Präsenzaufgabe 3:
Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergieren. Falls ja, bestimmen Sie den Grenzwert.
a) an :=
c) cn :=
√
n
√
n+1−
√ n
2n + 5n
3n+1 + 42
b) bn :=
(n + 2)3 − (n − 1)3
(n − 1)(2n + 3)
d) dn :=
6n
n!
Benutzen Sie ohne Beweis:
Konvergiert eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen (xn )n gegen x,
√
√
so gilt lim xn = x.
n→∞
Präsenzaufgabe 4:
Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge mit an 6= 0 für alle n ∈ N. Dann ist ( a1n )n∈N genau dann eine Nullfolge,
wenn (an )n∈N unbeschränkt ist.
b) Sei (bn )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen. Dann hat (bn )n∈N genau dann keine beschränkte Teilfolge, wenn
es für jedes l ∈ R ein n0 ∈ N gibt, sodass bn ≥ l für alle n ≥ n0 gilt.
Hausübungen
Aufgabe 1: (2+2+2+2 Punkte)
Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergieren. Falls ja, bestimmen Sie den Grenzwert.
a) an :=
√
n2 + 3
√
n2 + 2 − n
b) bn := ((−1)n − 1)
d) dn :=
c) cn := (1 − n1 )3n
(n2 + 1)(1 − 2n)
3n3 + 5n2 − 1
n2 + 1 n2 + 2
n2 + n
+ 3
+ ... + 3
3
n +2 n +4
n + 2n
Aufgabe 2: (2+2+2 Punkte)
Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Eine Folge (an )n∈N konvergiert genau dann gegen a, wenn jede Teilfolge von (an )n∈N eine Teilfolge besitzt, die
gegen a konvergiert.
b) Konvergiert eine Teilfolge einer monotonen Folge, so konvergiert auch die Folge selbst.
1
c) Sei (bnS
)n∈N eine reelle Zahlenfolge und seien M1 , . . . , Mr paarweise disjunkte, unbeschränkte Teilmengen von
r
N mit i=1 Mi = N. Dazu konvergieren alle (bn )n∈Mi gegen ein b ∈ R. Dann konvergiert auch die Folge (bn )n∈N
und zwar gegen den gleichen Grenzwert, also limn→∞ bn = b.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Eine Zahlenfolge (xn )n∈N ist durch x1 = 1 und das rekursive Bildungsgesetz
xn+1 = 1 +
1
,
xn
n = 1, 2, 3, . . .
gegeben. Untersuchen sie, ob es keine, genau eine oder mehrere Zahlen gibt, die größer sind als alle Glieder mit
ungeradem Index, aber kleiner als alle Glieder mit geradem Index.
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Gegeben seien die reellen Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N mit mit
an :=
1
1+
n
n
und
bn :=
1
1+
n
n+1
.
Wir wollen nun beweisen, dass beide Folgen konvergieren, und das sogar gegen den selben Grenzwert! Diesen Grenzwert nennen wir die eulersche Zahl e.
und nutzen
Dazu zeigen Sie zunächst, dass (an )n∈N monoton wachsend ist. Hierzu betrachen Sie den Quotienten aan+1
n
Sie die bernoullische Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx
für x ≥ −1 und n ∈ N .
Das Gleiche machen Sie mit (bn )n∈N , hier müssen Sie zeigen: (bn )n∈N fällt monoton. Dadurch wird auch die Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung etwas trickreicher, da Sie bn+1
bn nach oben abschätzen müssen.
Können Sie zudem noch nachweisen, dass an nach oben beschränkt ist? Versuchen Sie an < b1 zu zeigen! Analog
weisen Sie bn > a1 nach.
Argumentieren Sie nun, dass beide Folgen konvergieren, also limn→∞ an = a und limn→∞ bn = b gilt. Zweifelsohne
gilt dann a ≤ b. Nehmen Sie nun a < b an und betrachten bn − an . Wie können Sie den Grenzwert dieser Differenzenfolge nutzen, um einen Widerspruch zu erhalten? Welches Ergebnis auf die ursprüngliche Fragestellung haben
Sie nun erzielt? Können Sie den Grenzwert explizit angeben?
Aufgabe 5: (4 Punkte)
Seien a, b, c ∈ R und es gelte
a + b + c > 0,
ab + ac + bc > 0 ,
abc > 0 .
Zeigen Sie: Es gilt a, b, c ∈ R>0 .
Abgabe: Bis Mittwoch, 04.12.2013, 18 Uhr, im Übungskasten im Foyer des WSC. Bitte benutzen Sie
für alle Hausaufgaben ausschließlich weißes Blankopapier, einseitig beschriftet in blau oder schwarz,
durchgehend nummeriert und links oben getackert. Bitte verwenden Sie keine Hefter, Ordner oder
Klarsichthüllen. Achten Sie auf Ihre Handschrift und Leserlichkeit. Für viele von Ihnen könnte es
sinnvoll sein mit Füller zu schreiben. Pro Hausübung gibt es 3 Zusatzpunkte für Ordnung, Handschrift
und Leserlichkeit.
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