Mathematik für Studierende der Bioinformatik 1 - G-CSC

Goethe-Center for Scientific Computing (G-CSC)
Goethe-Universität Frankfurt am Main
Mathematik für Studierende der Bioinformatik 1
(Übung zu B-MBI-1, Wintersemester 2015/2016)
Dr. S. Reiter, Dr. A. Vogel, Prof. Dr. G. Wittum
Aufgabenblatt 5 (Abgabe: Mo., 23.11., 10:15h)
Aufgabe 1 (Komplexer Betrag, 6 Punkte)
Seien z, w ∈ C komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass für die komplexe Konjugation gilt:
(i) (z + w) = z + w,
(ii) (z · w) = z · w,
(iii) z + z = 2 · Re z.
Zeigen Sie, dass für den Absolutbetrag |z| :=
√
z · z gilt:
(iv) | Re z| ≤ |z|,
(v) |z · w| = |z| · |w|,
(vi) |z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung).
Hinweise:
Zeigen Sie bei (v): |z · w|2 = |z|2 · |w|2 .
Zeigen Sie bei (vi): |z + w|2 ≤ (|z| + |w|)2 . Verwenden Sie dazu die vorher
gezeigten Abschätzungen und Gleichungen.
Aufgabe 2 (Konvergenz, 2P)
Betrachten Sie die Folge
(−1)n
(n ≥ 1, n ∈ N),
n2
die gegen den Grenzwert a := limn→∞ an = 1 konvergiert. Geben Sie für die
folgenden > 0 jeweils das minimale n ∈ N an, ab dem die Abstandsabschätzung
an = 1 −
|an − a| < für alle n ≥ n
gilt:
(i) = 1, (ii) =
1
,
18
(iii) =
1
,
1000
(iv) =
1
.
100000
Aufgabe 3 (Grenzwerte von Folgen, 6P)
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen:
(i)
an :=
n2 + 6n
3n2 + 7
(ii)
an :=
√
n+1−
√
n
(iii)
n10
n!
an :=
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass schon bekannt ist:
1
→ 0 (n → ∞), und
n
s
1
→ 0 (n → ∞).
n
Aufgabe 4 (Bernoullische Ungleichung, 6P)
(i) Zeigen Sie, dass die sogenannte Bernoullische Ungleichung gilt:
Für jede reelle Zahl x ≥ −1 und jedes n ∈ N gilt:
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
(Hinweis: vollständige Induktion)
(ii) Zeigen Sie: Für a ∈ R, a > 1 konvergiert die Folge
√
(n ≥ 1, n ∈ N)
an := n a
√
gegen 1 (mit n a ist Lösung von xn = a).
(Hinweis: Schreiben Sie an = 1 + hn und verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung. Was gilt für hn ?)
(iii) Zeigen Sie: Die Folge
an := q n (n ∈ N)
mit |q| < 1
konvergiert gegen 0.
(Hinweis: Schreiben Sie
Ungleichung.)
1
|q|
= 1+h und verwenden Sie die Bernoullische