Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2012
Blatt 10
Abgabetermin: 03.07.2012
Definition: Ist f : D → R eine Funktion, so heißt eine Stelle x0 ∈ D
• globale Maximumstelle von f , falls f (x0 ) ≥ f (x) für alle x ∈ D gilt.
• globale Minimumstelle von f , falls f (x0 ) ≤ f (x) für alle x ∈ D gilt.
• lokale Maximumstelle von f , falls ein δ > 0 existiert, so dass f (x0 ) ≥ f (x) für alle
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ D gilt.
• lokale Minimumstelle von f , falls ein δ > 0 existiert, so dass f (x0 ) ≤ f (x) für alle
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ D gilt.
In der Vorlesung wurde gezeigt: Ist f differenzierbar mit f 0 (x0 ) = 0, so gilt:
∃δ > 0 so dass [f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) und f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (x0 , x0 + δ)]
⇒
x0 ist lokale Minimumstelle von f
0
(Falls f an der Stelle x0 einen Vorzeichenwechsel von − nach + macht, muss x0 eine lokale Minimustelle von f sein.)
Aufgabe 34 beschäftigt sich mit der Frage, ob auch die Umkehrung dieser Aussage richtig ist.
Aufgabe 34
(1+2+2+2=7 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
(
f : R → R, f (x) =
1
x
x2 · sin
+2
0
, falls x 6= 0
, falls x = 0
(a) Zeigen Sie, dass 0 eine (globale) Minimumstelle für f ist.
(b) Zeigen Sie, dass f auf ganz R differenzierbar ist und berechnen Sie f 0 (x) für alle x ∈ R.
(c) Existiert eine Zahl δ > 0 mit
f 0 (x) < 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0 )
und f 0 (x) > 0 für alle x ∈ (x0 , x0 + δ)
?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(d) Sei g : D → R eine differenzierbare Funktion und x0 ∈ Int(D) mit g 0 (x0 ) = 0. Zeigen Sie:
Falls eine Zahl δ > 0 mit
g 0 (x) < 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0 )∪(x0 , x0 +δ)
oder g 0 (x) > 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0 )∪(x0 , x0 +δ)
0
f hat konstantes Vorzeichen nahe x0
existiert, so ist x0 keine lokale Extremstelle von g.
Hinweis: Mittelwertsatz
Aufgabe 35
(3 Punkte)
Sei f : R → R eine differenzierbare Funktion und a ∈ R. Zeigen Sie, dass die folgenden
beiden Aussagen äquivalent zueinander sind.
(i) Für alle x ∈ R gilt f 0 (x) = a · f (x).
(ii) Es existiert eine Zahl c ∈ R mit f (x) = c · exp(ax) für alle x ∈ R.
Hinweis zu (i) ⇒ (ii): Betrachten Sie die Hilfsfunktion g : R → R, g(x) = exp(−ax) · f (x) und
nutzen Sie Aufgabe 33.
Aufgabe 36
(1+1+1+1=4 Punkte)
Bestimmen Sie mit der Regel von L’Hospital die folgenden Grenzwerte:
(i)
ln(x)
x→∞ x
lim
(ii)
2(x−5) − 1
x→5 sin(x − 5)
lim
(iii)
lim x2 ·exp(−x)
x→∞
Aufgabe 37
(iv)
limπ
x→ 2
tan(3x)
tan(x)
((1+2)+1=4 Punkte)
Sei f : I → J eine stetige, bijektive Funktion auf einem Intervall I ⊆ R mit der Umkehrfunktion f −1 : J → I.
(a) Zeigen Sie:
(i) f ist streng monoton (wachsend oder fallend).
Hinweis: Ein Widerspruchsbeweis mit Anwendung des Zwischenwertsatzes ist möglich.
(ii) f −1 ist ebenfalls stetig.
Hinweis: Untersuchen Sie zunächst den Fall, dass f streng monoton wachsend ist:
Um die Stetigkeit in einem beliebigen y0 = f (x0 ) ∈ J (mit einem x0 ∈ I) zu zeigen,
betrachten Sie zu einem beliebigen ε > 0 die Zahlen y1 = f (x0 − ε) und y2 = f (x0 + ε)
(falls x0 − ε, x0 + ε ∈ I sind) und finden Sie damit ein “passendes“ δ.
(b) Zeigen Sie am Beispiel einer bijektiven stetigen Funktion f : D → W , dass weder f
streng monoton noch f −1 stetig sein muss, wenn der Definitionsbereich D ⊆ R kein
Intervall ist.
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/analysis-sose12