Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2012
Blatt 4
Abgabetermin: 15.05.2012
Aufgabe 13
(2+4=6 Punkte)
(a) Berechnen Sie die Grenzwerte der nachstehenden Folgen (an )n∈N mit Hilfe des Satzes
über das Rechnen mit konvergenten Folgen:
n2
n5 − 4n2 + 3n − 2
n2 + 2n + 1 n∈N
−2n5 + n3 − 6n2 + 2n − 3 n∈N
(b) Zeigen Sie die Konvergenz der angegebenen Folgen mit Hilfe des Satzes über das
Rechnen mit konvergenten Folgen und des Sandwich-Kriteriums:
!
p
n
n · (n − 1)
(2 ) + (−2)n
sin2 (n)
2 + 3 · cos(n)
n+1
n
3n
2n + 1 + cos(n) n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
Aufgabe 14
(3+2=5 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a, b ∈ R die folgenden Ungleichungen gelten:
(1) |a + b| ≤ |a| + |b|
(2) |a − b| ≤ |a| + |b|
(3) |a| − |b| ≤ |a − b|
Hinweis: (1) kann man mit Fallunterscheidung nach den Vorzeichen von a und b zeigen. (2)
und (3) kann man aus (1) folgern, wobei bei (3) erneut eine Fallunterscheidung hilfreich ist.
(b) Zeigen Sie für alle Folgen (an )n∈N und alle Zahlen a ∈ R die Implikation
lim an = a
n→∞
⇒
lim |an | = |a|
n→∞
Gilt auch die umgekehrte Implikation “⇐“ ? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Aufgabe 15
(3+2=5 Punkte)
(a) Sei (an )n∈N eine Folge in R mit an ≥ 0 und lim an = a ∈ [0, ∞). Zeigen Sie mit der
n→∞
√
√
ε-n0 -Definition, dass dann auch lim an = a gilt.
n→∞
√
√ Hinweis: Im Fall a > 0 kann man an − a geschickt erweitern, vereinfachen und dann
nach oben abschätzen. Der Fall a = 0 ist einfacher.
(b) Zeigen Sie, dass die Folge
√
n+5−
√ n n∈N eine Nullfolge ist.
Hinweis: Man kann zunächst geschickt erweitern, dann vereinfachen und schließlich das
Sandwich-Kriterium und Teil (a) anwenden.
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/analysis-sose12