Quantenmechanik I Lösung 7

Quantenmechanik I
Lösung 7
Übung 1.
HS 2014
Prof. Gianni Blatter
Eichinvarianz der Stromdichte
Setzt man die Transformation ψ̃ = ψe(iq/~c)χ und à = A + ∇χ in die Definition der Stromdichte
ein, findet man sofort
i~ ∗
iq
−iq
q
j̃ = −
ψ ∇ψ + |ψ|2 ∇χ − ψ∇ψ ∗ − |ψ|2
∇χ −
(A + ∇χ)|ψ|2 = j.
(L.1)
2m
~c
~c
mc
Für die zeitabhängige Schrödingergleichung finden wir einerseits (für den zeitabhängigen Teil
der Schrödingergleichung)
i
h
q
(L.2)
i~∂t ψ̃ = i~(∂t ψ) − (∂t χ)ψ e(iq/~c)χ
c
und andererseits (für den zeitunabhängigen Teil)
i
nh 1
h 1
i o
q
q
q
(p − Ã)2 + q φ̃ ψ̃ =
(p − A)2 + qφ − (∂t χ) ψ e(iq/~c)χ .
2m
c
2m
c
c
Im letzten Schritt haben wir genutzt, dass φ̃ = φ − (∂t χ)/c und
p − (q/c)(∇χ) e(iq/~c)χ = 0 und somit
p − (q/c)(∇χ) f e(iq/~c)χ = (pf )e(iq/~c)χ .
(L.3)
(L.4)
Wir entnehmen den Gleichungen (L.2) und (L.3) sofort, dass ψ̃ die Schrödingergleichung zu Ã
und φ̃ erfüllt, falls ψ eine Lösung der Schrödingergleichung zu A und φ ist.
Übung 2.
Freies Elektron im Magnetfeld: Landau Quantisierung
(a) Zuerst substituieren wir den Ausdruck für das Vektorpotential in den Hamilton Operator
und finden
1
eB 2
H=
p2x + py +
x
.
(L.5)
2m
c
Bemerke, dass y nicht in H vorkommt und dass py deswegen mit H kommutiert. Eigenfunktionen von py sind daher auch Eigenfunktionen von H und wir können deswegen annehmen,
dass ψ(x, y) = χ(x)eiky y . Für χ(x) erhalten wir noch die folgende Diff. Gleichung
p y c 2
~2 2 m eB 2 ∂ +
x+
χ(x) = Eχ(x).
(L.6)
Hχ(x) = −
2m x
2 mc
eB
Dies ist genau der Fall des harmonischen Oszillators mit Frequenz ωc = eB/mc (Zyklotronfrequenz) verschoben vom Ursprung um py c/eB = ky `2 (py = ~ky ). Das Spektrum
ist deswegen jenes des harmonischen Oszillators: En = ~ωc (n + 1/2). Sei χn (x) also eine
normalisierte Eigenfunktion des harmonischen Oszillators (die expliziete Form von χn (x)
ist nicht wichtig für den Rest dieser Lösung), so ist die totale Lösung
ψn,ky (x, y) = eiky y χn (x + ky `2 ).
(L.7)
Beachte noch, dass die Eigenwerte En nicht von ky abhängig sind und daher ist die Entartung genau so gross wie es verschiedene erlaubte ky -Werte gibt.
1
(b) Die Frage der Entartung Nn lässt sich einfach beantworten, da wir uns aus a) wissen, dass
sie genau der Anzahl erlaubter ky -Werte entspricht. Für ein System der Länge Ly , sind die
zugehörigen k-Werte quantisiert mit ky = 2πm/Ly , wobei m ∈ Z. Da das System aber auch
in x-Richtung endlich ist, gilt zudem, dass die Wellenfunktionen zu ky bei x um x0 = −ky `2
lokalisiert ist. Mit der Bedingung −Lx /2 < x0 < Lx /2 folgt daraus, |ky | ≤ Lx /2`2 und
somit sind nur nmax = Nn = Lx Ly /2π`2 Zustände erlaubt. Der magnetische Fluss durch
das System ist Φ = Lx Ly B = Nφ Φ0 , mit dem Flussquantum Φ0 = hc/e. Wir finden dann
sofort Nn = Φ/Φ0 = Nφ , d.h. den Entartung des Landauniveaus ist genau so gross wie die
Anzahl Flussquanten die das System durchdringen.
(c) In diesem Fall ist der Hamiltonoperator
1
eB 2
H=
p2x + py +
+ eEx,
x
2m
c
(L.8)
und hängt immer noch nicht von y ab. Für χ(x) finden wir jetzt die Differentialgleichung
~2 2 m 2
eE 2
Ec m E 2 c2
2
Hχ(x) = −
χ(x) = Eχ(x). (L.9)
∂ + ωc (x + ky ` +
) − py
−
2m x
2
mωc2
B
2 B2
Dies ist wiederum die Differentialgleichung eines verschobenes harmonischen Oszillators.
Allerdings kommt es nun zu einer Aufspaltung der Energieeigenwerte, da En von py
abhängt
1
Ec m E 2 c2
En = ~ωc (n + ) − py
−
.
2
B
2 B2
(L.10)
(d) Wir berechnen zuerst den Ausdruck für die Stromdichte aus Gl. (1) auf dem Übungsblatt
mit q = −e
~ky
eE 2
1 eB
x+
|χ(x + ky `2 +
)| ,
(L.11)
jy =
Ly mc
m
mωc2
p
eE
wobei wir als Wellenfunktion ψn,ky (x, y) = (1/ Ly )eiky y χn (x+ky `2 + mω
2 ) benutzt haben,
c
und die Form von χn unwichtig ist da sie nicht von y abhängt. Der totale Strom Iy lässt
sich dann wie folgt schreiben
Z
~ky eωc ∞
eE 2 x
+
Iy = −
dx|χn (x + ky `2 +
)|
(L.12)
Ly −∞
mωc2
mωc
Z
eωc ∞
eE 2
2
=−
dx|χn (x + ky `2 +
)|
x
+
k
`
(L.13)
y
Ly −∞
mωc2
Z
eE eωc ∞
dX|χn (X)|2 X −
,
(L.14)
=−
Ly −∞
mωc2
wobei wir im letzten Schritt X = x + ky `2 + eE/mωc2 substituiert haben. Da |χ(X)|2
eine symmetrische Funktion ist, ist |χ(X)|2 X antisymmetrisch und integriert sich zu 0.
Der zweite Term ergibt −eE/mωc2 Ly weil χ(X) normalisiert ist, und finden also Iy =
e2 E/mωc Ly . Die Driftgeschwindigkeit v der Elektronen lässt sich im klassischen Hall-Effekt
ermitteln aus Iy = ρv. Mit der Ladungsdichte ρ = −e/Ly ist v = −Ec/B = −eE/mωc und
wir finden das klassische Resultat wieder. Die Stromdichte eines gefüllten Landauniveaus
lässt sich nun schreiben als
Iy
Lx Ly B
e2 E
e2 EB
e2
Jn =
Nn =
=
=
E,
(L.15)
Lx
mωc Lx Ly 2π`2
2πmωc `2
h
n = e2 /h. Damit sehen wir wie die Entartung der Landauniveaus zur Quantisieso dass σxy
rung der elektrischen Leitfähigkeit führen. Dies ist der bekannte ‘Quanten-Hall Effekt’.
2
Übung 3.
Kohärente Zustände zum harmonischen Oszillator
†
(a) Wir entwickeln eαa und benutzen
a|αi = e−|α|
= e−|α|
= e−|α|
2 /2
2 /2
2 /2
(a† )n
√ |0i
n!
= |ni, um zu schreiben:
∞
∞
X
X
(αa† )n
αn
2
√ a|ni
a
|0i = e−|α| /2
n!
n!
n=0
∞
X
n=0
αn
√
n=1
∞
X
α
(L.16)
√
n!
n|n − 1i = e−|α|
2 /2
∞
X
αm+1 √
p
m + 1|mi
(m
+
1)!
m=0
αm
√ |mi = α|αi
m!
m=0
(L.17)
(L.18)
(b) Es ist zu zeigen, dass gilt
Z
hm|
dxdy
|zihz|ni = δm,n .
π
(L.19)
Also berechnen wir
Z
Z ∞ Z 2π
Z
m+n
dxdy −|z|2 z m (z ∗ )n
dxdy
2 r
√
√
dr
dφ r e−r √
|zihz|ni =
e
=
eimφ e−inφ
hm|
π
π
m! n!
m!n!
0
0
(L.20)
Z ∞
Z ∞
2n
n
t
2r
= 2δm,n
dr r e−r
= δm,n
= δm,n ,
(L.21)
dt e−t
n!
n!
0
0
wobei wir im dritten Schritt das Integral über φ ausgewertet haben. Für den letzten Schritt
2
substituieren
R ∞wirn t−t= r , und benutzten wir die Definition2 der Gamma funktion n! =
Γ(n + 1) = 0 t e dt. Nun berechnen wir noch hni und hn i
hα|a† a|αi = |α|2
(L.22)
hα|(a† a)2 |αi = hα|(a† a† aa + a† a)|αi = |α|2 + |α|4 .
(L.23)
und
Somit finden wir (∆n)2 = hn2 i − hni2 = |α|2 . Also ist hni = (∆n)2 , eine Eigenschaft die
kohärente Zustande mit einer Poission-Statistik gemeinsam haben.
(c) Wir
Positionsoperator x̃ und Impulsoperator p̃ ein, mit x̃ =
p führen den dimensionslosen
√
mω/~ x und p̃ = p/ mω~. Diese Operatoren lassen sich wie folgt in a und a† ausdrücken
1
x̃ = √ (a + a† ),
2
1
p̃ = √ (a − a† ),
2i
(L.24)
wobei gilt das [a, a† ] = 1. Somit finden wir
1
hα|x̃|αi = √ (α + α∗ )
2
1
hα|p̃|αi = √ (α − α∗ )
2i
1
hα|x̃2 |αi = (α2 + (α∗ )2 + 2|α|2 + 1)
2
1
hα|p̃2 |αi = − (α2 + (α∗ )2 − 2|α|2 − 1).
2
(L.25)
(L.26)
Wir finden dann, dass (∆x̃)2 = (∆p̃)2 = 1/2, woraus folgt, dass (∆x)2 = ~/2mω und
(∆p)2 = m~ω/2, so dass ∆x∆p = ~/2.
3
(d)
ψ(x) = eip0 x/~ hx|e−ix0 p̂/~ |0i = eip0 x/~ hx − x0 |0i = eip0 x/~ ψ0 (x − x0 ),
(L.27)
wobei wir gebraucht haben, dass hx|eix0 p̂/~ = hx − x0 | (via Impulsdarstellung) und ψ0 (x)
der Grundzustand des harmonischen Oszillators ist (Gaussian). Wir finden also:
Z
Z
2
hx0 , p0 |x̂|x0 , p0 i = dx|ψ0 (x − x0 )| x = dx|ψ0 (x)|2 (x + x0 ) = x0
(L.28)
Z
hx0 , p0 |p̂|x0 , p0 i = dxψ0∗ (x − x0 )e−ip0 x/~ (−i~∂x ) ψ0 (x − x0 )eip0 q/~ = p0 .
(L.29)
Der Zustand |x0 , p0 i ist also der Grundzustand eines Harmonischen Oszillators am Ort x0
mit Impuls p0 . Wir lassen jetzt α = 21 (x̃0 + ip̃0 ), wobei x̃0 und p̃0 so definiert sind wie in
Teilaufgabe (c). Dann schreiben wir:
i
i
† −α∗ a
|x0 , p0 i = eip̃0 x̃ e−ix̃0 p̃ |0i = ei(p̃0 x̃−x̃0 p̃) e 2 x̃0 p̃0 |0i = e 2 x̃0 p̃0 eαa
=e
i
x̃ p̃
2 0 0
e
−|α|2 /2 αa† −α∗ a
e
e
|0i = e
| {z }
i
x̃ p̃
2 0 0
|0i
|αi,
(L.30)
(L.31)
=|0i
wobei wir im zweiten und vierten Schritt die Baker-Campbell-Hausdorff Formel aus Übungsserie 4 gebraucht haben.
(e) Wir berechnen die Zeitevolution für einen Zustand |ni wie folgt:
n
1
e−iHt/~ |ni = e−iω(n+ 2 ) |ni = e−iωt e−iωt/2 |ni.
(L.32)
†
Wir entwickeln eαa |0i (siehe Teilaufgabe a) und finden
X (α)n
√ |ni
n!
n
X (αeiωt )n
2
√
= e−|α| /2 e−iωt/2
|ni = e−ωt/2 |α(t)i,
n!
n
e−iHt/~ |αi = e−|α|
2 /2
e−iHt/~
(L.33)
(L.34)
was zu zeigen war. Für |x0 , p0 i(t) finden wir
|x0 , p0 i(t) = eip0 x0 /2~ e−iHt/~ |αi = eip0 x0 /2~ |α(t)ie−iωt/2 .
(L.35)
Für die klassische Bahn gilt:
x̃(t) = x̃0 cos ωt + p̃0 sin ωt,
p̃(t) = p̃0 cos ωt − x̃0 sin ωt,
(L.36)
und damit
1
√ (x̃0 (t) + ip̃0 (t)) = αe−iωt = α(t),
2
(L.37)
das heisst, |α(t)i = e−ix0 (t)p0 (t)/2~ |x0 (t), p0 (t)i, und
|x0 , p0 i(t) = |x0 (t), p0 (t)iei(x0 p0 −x0 (t)p0 (t))/2~ e−iωt/2 .
(L.38)
Da |x0 (t), p0 (t)i nichts anderes ist als der Grundzustand in x0 (t), p0 (t), sieht man, dass
ein kohärenter Zustand sich hin und her bewegt, ohne seine Form zu verändern. Im Phasenraum (x, p-Ebene) folgt der Zustand also einer klassischen Bahn, die mit einer GaussVerteilung ausgeschmiert ist.
4