Aufgabenblatt - TU Darmstadt
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Theoretische Physik II: Quantenmechanik Hans-Werner Hammer Marcel Schmidt ([email protected]) Wintersemester 2016/17 7. Übung 8./9. Dezember 2016 Aufgabe 1 Auf- und Absteigeoperatoren des harmonischen Oszillators Die Eigenzustände |n⟩ , n ∈ N0 des eindimensionalen harmonischen Oszillators sind durch die Auf- und Absteigeoperatoren Ç Ç Mω i Mω i † â ≡ x̂ − p̂ und â ≡ x̂ + p̂ 2ħ h Mω 2ħ h Mω verbunden. Dabei gilt ↠|n⟩ = p n + 1 |n + 1⟩ und â |n⟩ = p n |n − 1⟩ . Insbesondere „vernichtet“ der Absteigeoperator â den Grundzustand |0⟩ , d. h. â |0⟩ = 0 . In der ersten Aufgabe soll zunächst der rechnerische Umgang mit â und ↠geübt werden. a) Drücken Sie die Operatoren x̂ und p̂ durch ↠und â aus. Benutzen Sie die Resultate, um weitere Ausdrücke für x̂ 2 , p̂2 und x̂ p̂ + p̂ x̂ zu erhalten. ¬ ¶ b) Berechnen Sie die Matrixelemente n Ô m für Ô = x̂, p̂, x̂ 2 , p̂2 , x̂ p̂ + p̂ x̂ . c) Zeigen Sie, dass x̂ und p̂ hermitesch sind, indem Sie die Relation ¬ ¶ ¬ ¶∗ ϕ1 Ô ϕ2 = ϕ2 Ô ϕ1 für Ô = x̂, p̂ und beliebige Zustände ϕ1 , ϕ2 beweisen. HINWEIS: Rechnen Sie in der Eigenbasis des harmonischen Oszillators und verwenden Sie die Resultate aus Teilaufgabe b). Aufgabe 2 Eigenzustände des harmonischen Oszillators im Ortsraum Wir verwenden nun ↠und â , um die Ortsraum-Darstellungen ψn (x) ≡ ⟨x | n⟩ der Eigenzustände |n⟩ des eindimensionalen harmonischen Oszillators zu bestimmen. ¬ ¶ a) Benutzen Sie die Definitionen der Auf- und Absteigeoperatoren, um x ↠n und ⟨x | â | n⟩ durch ψn (x) auszudrücken. b) Benutzen Sie das Resultat für ⟨x | â | n⟩, um die Grundzustands-Wellenfunktion ψ0 (x) zu bestimmen. Vergessen Sie nicht, den Zustand zu normieren. HINWEIS: Es gilt Z ∞ dx e −∞ −αx 2 +β x+γ = Ç π α β2 e 4α +γ , mit α, β, γ ∈ C, Re α > 0. 1 c) Beweisen Sie schließlich durch vollständige Induktion, dass die Eigenzustände des harmonischen Oszillators im Ortsraum die Form Ç r M ω 1/4 1 Mω Mω 2 ψn (x) = Hn x e− 2ħh x , n ∈ N0 n ħ hπ 2 n! ħ h besitzen. ¬ ¶ HINWEIS: Benutzen Sie im Induktionsschritt den in a) ermittelten Ausdruck für x ↠n sowie die Rekursionsbeziehungen ∂ ∂z H n (z) = 2n H n−1 (z) und H n+1 (z) = 2z H n (z) − 2n H n−1 (z) der hermiteschen Polynome H n (z). Dabei gilt insbesondere H0 (z) = 1 . 2
