Blatt 9 - staff.uni

Institut für Physik
SS 2012
Friederike Schmid
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik
Blatt 9
Fragen zur Vorlesung:
90. Was versteht man unter einem “trunkierten statistischen Operator”? Welcher Zusammenhang
besteht zwischen einem trunkierten statistischen Operator und dem vollen statistischen Operator? In welchem Kontext werden trunkierte Operatoren eingeführt und wofür können sie verwendet werden?
91. Was ist eine unitäre Zeitentwicklung? Entwickelt sich der statistische Operator unitär? Wie sieht
es bei trunkierten statistischen Operatoren aus?
92. Erläutern Sie den Vorgang der Dekohärenz.
93. Was geschieht nach dem Reduktionspostulat bei einer Messung? Wie hängen Reduktionspostulat
und Dekohärenz miteinander zusammen?
94. Wie lautet der Hamiltonoperator des eindimensionalen harmonischen Oszillators? Welche Eigenwerte hat er?
95. Was sind Aufsteige- und Absteigeoperatoren?
Aufgaben (Abgabe bis 10:15 Uhr am 25. Juni im roten Postfach 40 im Staudingerweg 7)
Aufgabe 23) Harmonischer Oszillator (6 Punkte)
Betrachten Sie einen eindimensionalen harmonischen Oszillator.
(a) Konstruieren Sie aus den beiden niedrigsten Energieeigenzuständen |0i und |1i einen kombinierten Zustand |ψi = α|0i + β|1i derart, daß der Erwartungswert hxi im reinen System
p
|ψihψ| maximal wird. (Sie erhalten α = β = 1/2).
(b) Betrachten Sie ein reines System, daß zur Zeit t = 0 durch den statistischen Operator |ψihψ|
beschrieben wird. Berechnen Sie hx(t)i.
(c) Berechnen Sie h∆x2 i als Funktion der Zeit.
Hinweis: Drücken Sie den Ortsoperator durch Auf- und Absteigeoperatoren (Leiteroperatoren)
aus.
24) von-Neumann Ergodizität (6 Punkte)
Betrachten Sie ein beliebiges abgeschlossenes quantenmechanisches System mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator H.
a) Wie entwickelt sich der statistische Operator ρ(t) im Schrödingerbild?
b) Zeigen Sie: Für beliebige ρ(t) und beliebige Messgrössen A ist das Zeitmittel über A gleich
dem Erwartungswert über dem Anteil von ρ(0), der in Energiedarstellung diagonal ist:
1
lim
T →∞ 2T
Z
T
dt hA(t)i = Sp(ρA) mit ρ = ρnn |En ihEn |,
ρnn = hEn |ρ(0)|En i
−T
c) Berechnen Sie ρ konkret für den harmonischen Oszillator in einem reinen Zustand mit
ρ(0) = |ψihψ|, dessen Zustandsvektor zur Zeit t = 0 in Ortsdarstellung die Form
16 1/4 mω 5/4
2
2
ψ(x) = ( 9π
) ( ~ ) exp(− mω
2~ x ) x hat.
Hinweis: Entwickeln
|ψi in Eigenfunktionen |ni des harmonischen Oszillators.
q
qSie zunächst
Sie erhalten |ψi = 13 |0i + 23 |2i.
Aufgabe 25) Summenregel (6 Punkte)
Betrachten Sie einen eindimesionalen Hamiltonoperator H =
Zustände H|ni = En |ni
(a) Zeigen Sie: [[x, H], x] =
p2
2m + V (x).
Er habe nur gebundene
~2
m.
(b) Werten Sie hn|[[x, H], x]|ni durch Einschieben eines vollständigen, orthnormierten Satzes
von Eigenfunktionen aus. Beweisen Sie damit mit Hilfe von (a) die Summenregel
X
~2
(En′ − En )|hn|x|n′ i|2 =
2m
′
n
(c) Überprüfen Sie die Summenregel für die Eigenzustände und Eigenwerte des harmonischen
Oszillators.
Hinweis: Die Matrixelemente hn|x|ni ergeben sich direkt, wenn man den Ortsoperator über
Auf- und Absteigeoperatoren (Leiteroperatoren) beschreibt.