Kapitel 2: Primzahlen

2 Primzahlen
2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktoren
(10.11.2011)
Satz 2.1 (Wohlordungssatz) Jede nichtleere Menge M ⊂ N enthält ein kleinstes Element.
Satz 2.2 (Hauptsatz der Arithmetik) Variante I: Jede natürliche Zahl n ≥
2 ist eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen
n=
k
Y
α
pj j
j=1
darstellbar, wobei p1 , . . . , pk ∈ P mit p1 < · · · < pk und α1 , . . . , αk ∈ N gelte.
Diese Darstellung heißt Primfaktorenzerlegung.
Variante II: Es seien p1 , p2 , p3 , . . . die Folge aller (der größe nach geordneter) Primzahlen (also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . ). Zu jeder natürliche Zahl
n ≥ 2 gibt es ein k ∈ N und eindeutige α1 , . . . , αk ∈ N0 , so dass
n=
k
Y
α
pj j .
j=1
Korollar 2.3 (Lemma von Euklid) p ∈ N \ {1} ist genau dann eine Primzahl, wenn für alle n, m ∈ N gilt
p|nm ⇒ p|n oder p|m
Definition 2.4 Es seien n und m natürliche Zahlen.
a) Der größte gemeinsame Teiler von n und m ist definiert als
ggT(m, n) := max{k ∈ N | k|m ∧ k|n}.
b) Das kleinste gemeinsame Vielfache von n und m ist definiert als
kgV(m, n) := min{k ∈ N | m|k ∧ n|k}.
Wir sagen, dass m und n teilerfremnd sind, falls ggT(m, n) = 1.
11
2 Primzahlen
Korollar 2.5 Es seien n, m ∈ N. Weiter seien N ∈ N, p1 , . . . , pN Primzahlen
und α1 , . . . , αN ∈ N0 ; β1 , . . . , βN ∈ N0 , so dass
n=
N
Y
α
pj j
und m =
N
Y
β
pj j .
j=1
j=1
a) Es gilt:
ggT(m, n) =
N
Y
min{αj ,βj }
pj
j=1
und
kgV(m, n) =
N
Y
max{αj ,βj }
pj
j=1
b) m und n sind genau dann teilerfremnd, wenn für alle k = 1, . . . , N gilt:
min{αk , βk } = 0.
12
2 Primzahlen
2.2 Über die Verteilung von Primzahlen
(11.11.2011)
Satz 2.6 (Euklid, ca 300 v.C) Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz 2.7 Zu jedem n ∈ N gibt es eine Zahl k, so dass die Zahlen k, k + 1, k +
2, . . . , k + n keine Primzahlen sind.
Satz 2.8 Es seien p1 , p2 , p3 , . . . die Folge aller (der größe nach geordneter)
Primzahlen (also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . ). Dann gilt
pn ≤ 22
n−1
.
Korollar 2.9 Für n ∈ N gibt es mindestens n + 1 Primzahlen unterhalb von
n
22 .
Satz 2.10 Es gibt keine Formel vom Typ f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
mit a0 , . . . , an ∈ N0 und an 6= 0, so dass f (n) ∈ P für alle n ∈ N.
13
2 Primzahlen
2.3 Unbekanntes über Primzahlen (17.11.2011)
Definition 2.11 (Mersenne, Fermat und Germain Primzahl)
a) Eine
n
Zahl der Form Mn = 2 − 1 nennt man Mersenne-Zahl. Ist eine MersenneZahl eine Primzahl, so nennt man Sie Mersenne Primzahl.
b) Eine Zahl der Form Fn = 2n + 1 nennt man Fermat-Zahl. Ist eine FermatZahl eine Primzahl, so nennt man Sie Fermat Primzahl.
c) Eine Primzahl p für die die Zahl 2p + 1 auch eine Primzahl ist, nennt man
Germain-Primzahl.
Satz 2.12 Ist Mn = 2n − 1 eine Primzahl so ist n eine Primzahl.
Satz 2.13 Ist Fn = 2n + 1 eine Primzahl, so ist n eine Zweierpotenz.
Satz 2.14 Ist p > 3 eine Germain-Primzahl, so ist p = 6k − 1 für ein k ∈ N.
Bemerkung: Ob es endlich oder unendlich viele Mersenne-Primzahlen, FermatPrimzahlen bzw. Germain-Primzahlen gibt ist unbekannt.
Definition 2.15 (Primzahlzwillinge) Zwei Primzahlen p1 , p2 mit p2 −p1 = 2
nennt man Primzahlzwilling.
Bemerkung: Ob es endlich oder unendlich viele Primzahl-Zwillinge gibt ist
unbekannt.
Vermutung 2.16 (Goldbachsche Vermutung (seit 1742 ungelöst)) Jede
gerade Zahl n ≥ 4 ist die Summe zweier Primzahlen.
14