Lösungen zu Kap. 03

Hinweise zu Lösungen 03
3.1 Natürliche Zahlen
1.
r r r f r f r
3.2 Induktion
1.
f f r r r f r
2.
Erste Aufgabe:
Induktionsanfang: Die erste ungerade Zahl ist 1, deren Summe also auch 1. Andererseits ist
auch die erste Quadratzahl 12 = 1.
Induktionsschritt: Sei n > 1, und sei die Aussage richtig für n–1. Das heißt
1 + 3 + 5 + (2n – 3) = (n – 1)2. (Beachte: 2n–1 ist die n-te ungerade Zahl, also 2n–3 die (n–
1)-te ungerade Zahl.)
Es gilt:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) + (2n – 1) = [1 + 3 + 5 + … (2n – 3)] + (2n – 1) = (n – 1)2 + (2n –
1) = (n2 – 2n + 1) + (2n – 1) = n2.
Das zweite Gleichheitszeichen gilt aufgrund der Induktionsannahme.
Zweite Aufgabe:
Induktionsbasis: Sei n = 2. Wenn zwei Menschen miteinander anstoßen, klingelt es genau
einmal. Andererseits ist 21/2 = 1.
Induktionsschritt: Sei n > 2, und sei die Aussage richtig für n–1. Wir können das Anstoßen
von n Menschen so organisieren, dass zunächst n–1 miteinander anstoßen; nach Induktion
klingelt es dabei genau (n–1)(n–2)/2 mal. Dann stößt der n-te Mensch mit alle andern an;
dabei klingelt es n–1 mal. Insgesamt ergibt sich die Zahl (n–1)(n–2)/2 + (n–1) = (n–1)n/2.
3.3 Primzahlen
1. Sei p eine Primzahl, die p1p2…ps +1 teilt. Dann ist p keine der Primzahlen p1, p2, …,
ps. (Wenn p = p1 wäre, würde p auch das Produkt p1p2…ps teilen. Da p auch
p1p2…ps +1 teilt, müsste p auch die Differenz dieser beiden Zahlen, also die Zahl 1 teilen:
ein Widerspruch!) Also ist p eine neue Primzahl.
2. Ja.
3.
851 = 900 – 49
1001 = 71113
1591 = 1600 – 1
Also ist keine dieser Zahlen eine Primzahl.
4. Man muss die Zahl n nur auf Teilbarkeit durch Primzahlen testen, welche kleiner oder
gleich n sind.
5.
Allgemein gilt: Die natürlichen Zahlen, die eine ungerade Anzahl von Teilern haben, sind
genau die Quadratzahlen. Die natürlichen Zahlen, die genau drei Teiler haben, sind die
Zahlen, die Quadrat einer Primzahl sind, also die Zahlen 4, 9, 25, 49, …
3.4 Primfaktorzerlegung
1.
24 = 233.
168 = 2337.
3600 = 243252.
86400 = 273352.
3628800 = 2834527.
3.5 Division mit Rest
1.
101 = 502 + 1
101 = 333 + 2
101 = 254 + 1
101 = 205 + 1
101 = 166 + 5
101 = 147 + 3
101 = 128 + 5
101 = 119 + 2
101 = 1010 + 1
2.
2, 7, 2, 0
3.
1, 0, 4, n–1, n–1, 1, 3, 0
3.6 Zn
3. a’ = n – a.
5. r f f r
6.
Z15* = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}
Z13* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
3.7 Rationale Zahlen
1. r r r f
2. f f r r
3.8 Addition von rationalen Zahlen
1. (2n+1)/n(n+1), 1/n(n+1)
2.
a * a' a * b'  a' b * a * b' a  a' b * a a * b' a  a' ba * b' a  a' b a a'
 



  .
b * b'
b * b'
b * b' a
ba * b'
bb'
b b'
3.9 Supremum
1. f f f r
2. r r f r
3. Das Infimum einer Menge reeller Zahlen ist ihre größte untere Schranke.
3.10 Zahlbereiche
1. r r f f f f f f
2. r f r r f f r
3. In der Primzahlzerlegung des Nenners dürfen nur die Primzahlen hmhm und hmhmhm
vorkommen.
3.11 i
2. Eine komplexe Zahl, deren Quadrat i ist, ist ½ + ½ i. Gibt es weitere?
3 1
 i . Gibt es
Zwei komplexe Zahlen, deren dritte Potenz gleich i ist, sind –i und
2
2
weitere?
3. Aus (a + bi)(c + di) = 1 erhält man ac – bd + (ad + bc)i = 1. Da die Realteile und
Imaginärteile auf beiden Seiten übereinstimmen müssen, folgt ac – bd = 0 und ad + bc = 1.
Daraus ergibt sich c = a/(a2 + b2) und d = – b(a2 + b2).
Zusatzfrage: Die reelle Zahl a2 + b2 ist stets ungleich Null, ja sogar größer Null. Warum?