Das duale Zahlensystem
von Ulrich Borchert
Geschichte
(Quelle Wikipedia)
• Der alt-indische Mathematiker Pingala stellte die
erste bekannte Beschreibung eines
Zahlensystems bestehend aus zwei Zeichen im
3. Jahrhundert v. Chr. vor. Dieses Zahlensystem
kannte allerdings keine Null.
• Das Dualsystem, also das Stellenwertsystem mit
der Basis Zwei, wurde von Gottfried Wilhelm
Leibniz am Anfang des 18. Jahrhunderts in
seinem Artikel Explication de l'Arithmétique
Binaire vollständig dokumentiert
Das Dezimalsystem
• Am Anfang stand das Rechnen überhaupt
nicht im Mittelpunkt sondern das Zählen
oder abzählen.
Das Dezimalsystem 2
• Da der Mensch (üblicherweise) 10 Finger hat konnte man bequem
bis zehn zählen. Dabei nimmt die 10 eine Sonderstellung ein- weil
sie die erste zweistellige Zahl ist.
In unserem Zahlensystem ist nicht nur die Ziffer wichtig, sondern
auch deren Position. In diesem positionellen Zahlensystem werden
die Ziffern zu einer Zahl zusammengefügt und haben einen
Stellenwert. So ist die am weitesten rechts stehende Ziffer der
Einerwert- die links davon stehende Ziffer der Zehnerwert, die
nächste der Hunderterwert usw.
Das Dezimalsystem 3
• Dabei ist die allgemein geläufige Darstellung
einer Dezimalzahl die Kurzform
Beispiel
Kurzform : 234
eigentlich : 2*100+3*10+4*1
• Da es bei dieser Schreibweise außerordentlich
mühsam ist Zahlen mit einem bedeutend
höheren Stellenwert zu schreiben bedient man
sich der Potenz. Das die Basis 10 ist kann als
Axiom aufgefasst werden.
Das Dezimalsystem 4
• Da im Einer-Bereich noch kein Vielfaches
der Basis 10 vorliegt ist hier die Potenz =0
(10 0 ist 1) und im Zehner-Bereich =1
(10 1 ist 10). Die Darstellung der
Dezimalzahl sieht jetzt so aus.
Beispiel
Kurzform: 234
Darstellung in der Potenzschreibweise:
2*102 + 3*101 + 4*100
Das Dualsystem
• Der Computer (vermenschlicht) hat nur 2 Finger. Seine Basis ist
daher 2. Da das Dualsystem ebenfalls mit den Stellenwert arbeitet
lassen sich auch hier Zahlen mit beliebiger Größe darstellen. (Als
Gegenbeispiel – Das Römische Zahlensystem hat kein
Stellenwertsystem. Das Rechnen gestaltet sich damit ziemlich
schwierig)
Das Dualsystem 2
• Es lassen sich mit der Basis 2 nur zwei
Zustände definieren die aber verschieden
definiert werden können
Strom<> kein Strom
Wahr <> Falsch
magnetisiert <> nicht magnetisiert
Low <> High
• Da wir mit Zahlen arbeiten wollen
0 und 1
Das Dualsystem 3
• Die Definitionen der beiden möglichen
Zustände weisen deutlich auf eine
Praktische Einsatzfähigkeit hin. Also seien
drei Lampen gegeben die unabhängig
voneinander leuchten bzw. dunkel bleiben.
Betrachten wir diese drei Lampen als
Kombination können wir uns fragen wie
viele mögliche Zustände diese
Kombination haben kann.
8
Das Dualsystem 4
Kombination
Zahlenwert
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
0
1
0
3
2
0
1
1
4
3
1
0
0
5
4
1
0
1
6
5
1
1
0
7
6
1
1
1
8
7
zurück
Vom Zustand zur Zahl
• Wie kommt man von einen KombinationsZustand zu einer Zahl?
• Der Links nach Rechts Lese- bzw.
Schreibweise folgend könnte man
definieren
=1
=2
=3
Und jede weitere
Kombination könnte
mit einer anderen
Zahl belegt werden
Vom Zustand zur Zahl 2
• Diese Variante würde für die Zahlen 1 bis 3 logisch
erscheinen ab dann willkürlich und unlogisch.
• Besser wäre es man bezieht sich auf das Stellensystem,
das vom Dezimalen Zahlensystem her bekannt ist.
• Demnach würde die am weitesten rechts liegende Stelle
(Einerstelle) mit dem Zahlenwert (0 oder 1) und der
Potenz 0 auf der Basis 2 dargestellt werden können.
• Für jeden weitere Ziffernwert an der entsprechenden
Position kann mittels der Potenz ein dezimaler Wert
zugeordnet werden.
Vom Zustand zur Zahl 3
1
0
1
22
21
20
4
2
1 (dezimaler Zahlenwert)
(1*4) + (0*2) + (1*1) = 5 (Tabelle)
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Das duale Zahlensystem.