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Dualsystem
Lektion 4, Seite: 1
Einführung in das Dualsystem
In der Geschichte der Rechnerentwicklung gab es, wie wir schon hörten einen
Übergang von der mechanischen Maschine zur elektromagnetischen Maschine. Ein Relais ist
eigentlich nichts weiter als ein Magnetschalter. Er kennt zwei Zustände. Entweder ist er
eingeschaltet und dann kann ein Strom fließen, oder ausgeschaltet und es fließt kein Strom.
Das Umschalten erfolgt durch einen Stromstoss. Bei unserem normalen Lichtschalter müssen
wir es übernehmen, die Position des Schalters zu verändern.
Die Frage ist, wie kann man mit nur zwei Zustandsmöglichkeiten rechnen?
Das Dezimalsystem
Unser Dezimalsystem besteht aus einem Wertebereich von zehn verschiedenen
Ziffern {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Aus diesen Ziffern bilden wir diejenige Zahl, der wir
einer Menge von Objekten zuordnen.
Beispiel:
Die Ziffer {4} wird der Zahl 4 von vier Äpfeln (Objekte) in unserem Korb.
Die Ziffern {1, 5} werden in dieser Reihenfolge der Zahl 15 zugeordnet, was einer Gruppe
von 15 Schülern entsprechen könnte.
Die Ziffern {1,1,7} in der Reihenfolge 1, 7, 1 werden einer Menge von 171 gleichen Objekten
als Zahl zugeordnet.
In allen drei Beispielen wählten wir ständig, neu eine Ziffer aus dem Wertebereich aus.
Die Potenzrechnung
Beim Aufschreiben einer Zahl ordnen wir jeder Stelle (Position) eine 10-Potenz zu. So stehen
ganz rechts die Einerstellen. Wenn wir nach links gehen werden die Potenzen größer. Dann
kommen die Zehnerstellen, die Hunderter, usw.
Ein Potenzausdruck sieht folgendermaßen aus: ax = b . Hierbei bezeichnen wir „a“ als die
Basis, x als Exponent. Der Exponent x gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert
wird. In unserem Zahlensystem ist die Basis 10 und für unsere Betrachtungen sind die
Exponenten entweder natürliche oder ganze Zahlen.
Beispiel:
104 = 10 000
103 = 1 000
102 = 100
Wir lesen: zehn hoch vier ist gleich zehntausend.
101 = 10
100 =1
Die Zahl mit der wir eine gegebene Potenz multiplizieren, gibt an, wie oft diese Potenz
enthalten ist.
Beispiel: Die Zahl 37 hat als Zehnerstelle den Wert 3 und als Einerstelle den Wert 7. Als
Summe von Potenzen stellt sich die Zahl wie folgt dar: 3  101 + 7  100 = 37
Aufgabe: Stellen Sie die Zahlen als Summe von Zehnerpotenzen dar:
3 505, 421, 8, 61
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Burmeister
letzte Änderung: 2004.02.15
Dualsystem
Lektion 4, Seite: 2
Das Dualzahlensystem
Im Gegensatz zu unserem Dezimalsystem besitzen wir hier nur zwei Ziffern. Deshalb
bezeichnen wir es als Binär- oder auch Dualzahlensystem.
Betrachten wir zwei Zustände, so können sie wie folgt aussehen:
 Die Aussage ist entweder wahr oder falsch.
 Die Behauptung kann richtig oder falsch sein.
 Der Strom kann ein- oder ausgeschaltet sein.
Welche zwei Symbole stehen für diese zwei Zustände:
So benutzt man in der Rechentechnik für eine logisch Aussage, die wahr ist, ein „T“ (englisch
true), ist sie falsch ein „F“ (englisch false).
Beim Stromfluss sehen wir eine „1“ auf unserem Lichtschalter und eine „0“, falls der Strom
ausgeschaltet ist.
Grundlage eines jeden Binärcodes ist ein sogenanntes Binäres System, d.h. ein System, in
dem nur ausschließlich zwei gegensätzliche Zustände herrschen, zum Beispiel An/Aus ,
Wahr/Falsch, 0/5 Volt im Stromkreislauf oder - eben beim Binärcode - 1 oder 0. Einen
solchen Dualismus kennt man auch aus der Pascalprogrammierung durch den Umgang mit
dem Datentyp BOOLEAN (nach Georg Boole, 1815-1864, engl. Logiker und Mathematiker).
Der Ziffernbereich des binären Zahlensystems ist {0, 1}.
Aus der Mathematik ist eine Methode bekannt, wie man mit nur 2 Ziffern allen Zahlen
darstellen und danach mit ihnen rechnen kann.
210 = 1024
24 = 16
29 = 512
25 = 8
28 = 256
22 = 4
27 = 128
21 = 2
26 = 64
20 = 1
25 = 32
23 = 2  2  2 = 8
3
Aufgabe: Berechnen Sie die Zweierpotenzen weiter bis 215 = !
Analog zum Dezimalsystem ist auch hier die kleinste Potenz rechts, der Wert mit der größten
Potenz steht dementsprechend links. Bei der Zahlendarstellung müssen wir uns daran
gewöhnen, dass wir nur zwei Ziffern zur Verfügung haben, mit denen wir die Potenz
multiplizieren. Eine null zeigt uns an, dass die Potenz (oder Potenzstelle – beim
Dezimalsystem Einer-, Zehner-, Hunderterstelle, ….) nicht vorhanden ist, bei einer eins
jedoch ist die Potenz da.
Beispiel: 10012 zeigt uns an, dass die Dreierpotenz und die Nullpotenz vorhanden sind.
1  23
+ 0  22
+ 0  21
+ 1  20
= 910
1222
+022
+02
+11
=910
1
0
0
1
8
+0
+0
+1
=9
Um bei den durchzuführenden Übungen, die Zahlenwerte eindeutig unterscheiden zu können,
führen wir folgende Konvention ein.
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Burmeister
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Lektion 4, Seite: 3
 Zahlen des Dezimalsystem werden mit dem unteren Index 10,
 binäre Zahlen mit dem unteren Index 2 versehen.
Beispiel:
10012 = 910
Rechenoperationen im Binärsystem
 Addition:
Die Addition im Dualsystem erfolgt wie im Dezimalsystem stellenweise und mit
Übertrag.
1001001

100101
Beispiel:
1101110
Die Überprüfung des Rechenbeispiels überlasse ich Ihnen.
 Multiplikation:
Die Multiplikation ist sozusagen eine Verschiebung im Register.
101 101
Beispiel:
101
0
101
11001
 Subtraktion:
Da die Addition die Umkehrung der Addition ist, gibt es keine zusätzlichen
Rechenwerke, sondern man nutzt die vorhandenen Addierwerke aus. Dazu braucht
man eine geeignet Darstellung von negativen Zahlen: a + (-a) = 0, d.h. berücksichtigt
man, dass die Subtraktion einer Zahl ist gleich der Addition des inversen Elements
dieser Zahl.
Um dieses Element zu erhalten, bildet man das Zweierkomplement der Zahl:
Dazu wird die Zahl zunächst durch bitweises Negieren in ihr
Einerkomplement verwandelt, dann wird 1 addiert und man erhält das
Zweierkomplement.
Beachten Sie: Bei der Bildung des Komplements, müssen wir uns vorher auf eine
Bitlänge einigen, damit man nicht unendlich viele digitale Ziffern schreiben muss.
Alles was darüber hinausgeht, fällt unter den Tisch. 
Beispiel:
7 –4 =3
Binärdarstellung:
111
für 710
011
für 310
unsere Bitlänge ist hier drei, da die Zahl ja nicht größer wird, wenn wir subtrahieren.
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Burmeister
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Dualsystem
Zweierkomplement:
Einerkomplement von 310: 0112 ist
Addieren von 1 zum Einerkomplement
Lektion 4, Seite: 4
100
101
Probe: 3 + (-3) = 0
011
+101
10002
die führende 1 fällt weg, da wir oben die Länge auf 3
festlegten!
Subtraktion:
111
+101
11002 , wie wir sehen, ist das Ergebnis 410. Nach Adam Ries sollte dies auch so sein.
Für die Rechenkünstler unter Euch:
Es gilt, um es an dieser Stelle noch einmal zu betonen:
a+ (-a) = 2n , wobei n die Stellenanzahl von a ist. a+(-a) ist also eine Zahl mit einer führenden
1 und n Nullen. Da die Stellenzahl in Rechenwerken beschränkt ist, in diesem Fall also auf n
Stellen, fällt die führende 1 weg , -a ist somit das inverse Element, a+(-a) ist jetzt tatsächlich
null.
Wie wäre es mit 8 – 3 = 5 (wie gut, dass wir die Darstellung von –3 schon kennen,
10002
+11012 wo kommt auf einmal die führende 1 her? Noch einmal Einerkomplement:
101012 ist wohl 510
Einerkomplement:
00112 ist ebenfalls 3
11002 das Einerkomplement
11012 nach Addition mit 1
Für 3 = 112 ist die binäre (–3) = 012
Wichtige Feststellung:
Wie wir wissen sind die Bitlängen begrenzt. Heute arbeiten wir mit einer Bitlange von 8 Bit
für 1 Byte, bzw. auf ein Vielfaches der Bytelänge (Halbwort, Wort, Doppelwort). Weiterhin
beschäftigten wir uns nur mit ganzen Zahlen!
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Burmeister
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