Übung 16 - Lehrstuhl Informatik 1

Ausgabedatum:
Abgabedatum:
19.04.04
26.04.04
Name: ____________________
Trage nachfolgend bitte ein, wie lange du insgesamt für die Bearbeitung dieses
Übungsblattes gebraucht hast.
!! Nicht übersehen: Nach jeder Erklärung kommen zwei oder drei Aufgaben, die
ihr lösen müsst !!
Bearbeitungszeit: ____________________
Addition und Multiplikation von Dualzahlen
Bei der Addition und Multiplikation von Dualzahlen verfährt man genauso wie bei
der Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen:
Addition
Bei der Addition schreibt man die Zahlen passend untereinander und addiert
(Überträge beachten!) stellenweise.
Überträge entstehen so:
0+l=l
kein Übertrag
l+0=l
kein Übertrag
l+l=0
Übertrag 1
l+l+l=l
Übertrag 1
23+14=37 im Dualsystem:
l 0 l l l
+
l l l 0
1
1
1
1
l 0 0 l 0 l ßÜberträge!
Multiplikation
Bei der Multiplikation multipliziert man ziffernweise und addiert schließlich
stellenweise (Überträge beachten!).
5*6=30 im Dualsystem:
l 0 l •
l
l
0
l 0 l
l 0 l
0 0 0
ß keine Überträge nötig
l l
l
l
0
1. Aufgabe
Addiere im Zweiersystem.
a) ll0 + l0l
b) l00l + ll
c) ll00l + ll000
2. Aufgabe
d) 0l0l + l0l0
e) ll0l0 + llll
f) l0l0l0l + ll0000
Multipliziere im Zweiersystem. Wandle anschließend das Ergebnis ins
Dezimalsystem um.
a) ll0 • l0l
c) lll0 • l0l0l
b) l0ll • lll
d) ll • llll
Das Dreiersystem
Das Dreiersystem ist genauso wie das Dual- oder Dezimalsystem ein
Stellenwertsystem.
Schreibweise von Zahlen im Dreiersystem
Zahlen im Dreiersystem werden mit den Ziffern 0, l und 2 dargestellt. Genau wie
im Zweiersystem gibt es zwei Möglichkeiten, diese Zahlen aufzuschreiben:
1. ll02, 0l22, 2l0l2, …
2. (1102)3, (0122)3, (21012)3, …
Genau wie Dualzahlen liest du Zahlen im Dreiersystem, indem du die Ziffern
nacheinander nennst.
Stellenwertsysteme
Die Stellenwerte im Dreiersystem sind: Einer, Dreier, Neuner,
Siebenundzwanziger, …
Tipp: Der erste Stellenwert heißt Einer, um dann den nächsten zu finden, musst
du immer mit „3“ (Dreiersystem) multiplizieren: 1*3=3 (Dreier), 3*3=9 (Neuner),
9*3=27 (Siebenundzwanziger), ...
Beispiel im Dreiersystem:
111: Die letzte Ziffer steht für einen Einer, also 1.
111: Die mittlere Ziffer steht für einen Dreier, also 3.
111: Die erste Ziffer steht für einen Neuner, also 9.
Umrechnen...
... vom Dreiersystem ins Dezimalsystem
Mit einer Stellenwerttafel ist das Umrechnen vom Dreiersystem ins
Dezimalsystem einfach:
Stellenwert
81er
27er
9er
3er
1er
l
1
l2l
l0l2
20l2l
2
1
2
1
1
0
1
2
0
1
2
1
Im Dreiersystem steht...
... l für 1 Einer, also 1 • 1 = 1.
... l2l für 1 Neuner (=9) + 2 Dreier (=6) + 1 Einer (=1).
Also: 1 • 9 + 2 • 3 + 1 • 1 = 9 + 6 + 1 = 16.
... l0l2 für 1 Siebenundzwanziger (=27) + 1 Dreier (=3) + 2 Einer (=2).
Also: 1 • 27 + 0 • 9 + 1 • 3 + 2 • 1 = 27 + 3 + 2 = 32.
... 20l2l für 2 Einundachtziger (=162) + 1 Neuner (=9) + 2 Dreier (=6) + 1 Einer (=1)
Also: 2 • 81 + 0 • 27 + 1 • 9 + 2 • 3 + 1 • 1 = 162 + 9 + 6 + 1 = 178.
... vom Dezimalsystem ins Dreiersystem
Um eine Dezimalzahl in eine Zahl im Dreiersystem umzuwandeln, musst du sie
durch „3“ dividieren und den Rest der Division (0, 1 oder 2) aufschreiben.
Dann dividierst du das Ergebnis durch „3“ und schreibst den Rest dieser Division
wieder auf. So verfährst du, bis du als Ergebnis der Division „0“ erhälst.
Dann schreibst du die Reste der Divisionen von unten nach oben hintereinander
auf, das ergibt die gesuchte Zahl im Dreiersystem.
Beispiel: Umwandlung von 50 in eine Zahl im Dreiersystem:
50 : 3 = 16
16 : 3 = 5
5:3=1
1:3=0
Rest 2
Rest 1
Rest 2
Rest 1
50 = l2l2 bzw.
50 = (1212)3
3. Aufgabe
Wandle die folgenden Zahlen aus dem Dreiersystem in das Zehnersystem um.
a) 22l
d) 2l200
b) l2000
e) l002
c) 2ll0
f) l20021
4. Aufgabe
Wie werden die folgenden Zahlen im Dreiersystem dargestellt?
a) 128
d) 13
b) 63
e) 211
c) 301
f) 99
5. Aufgabe
a) Du hast jetzt das Zweiersystem und das Dreiersystem kennen gelernt. Kannst
du beim Umrechnen vom Dezimalsystem in diese Systeme eine Regel erkennen?
Wie würde man eine Zahl aus dem Dezimalsystem in das Vierersystem
umwandeln?
b) (freiwillig) Erkläre, wie man eine Zahl aus dem Vierersystem ins
Dezimalsystem umwandelt.
Römische Zahlen
Die Römer hatten damals ganz andere Zahlzeichen als vier sie heute benutzen.
Wenn also Aterix und Obelix unterwegs auf einen Wegweiser gestoßen sind,
mussten sie erstmal Miraculix fragen, was es mit der Angabe darauf auf sich
hat.
Asterix: Hey, Miraculix! Was bedeutet dccxvi? Ist das nicht ein komisches
Wort?
Miraculix: Die Römer benutzen diese und andere Buchstaben als
Zahlzeichen. Sie haben davon 7 verschiedene. 4 Grundzahlen und 3
Zwischenzahlen.
Obelix: Welche Buchstaben sind denn die Grundzahlen?
Miraculix: Man spricht in diesem Zusammenhang nicht von
Buchstaben, sondern von Ziffern. Die Grundzahlen sind: I = 1
X = 10
C = 100
M = 1000
Obelix: Und welche Zwischenzahlen gibt es?
Miraculix: Die Zwischenzahlen sind:
V
L
D
= 5
= 50
= 500
Obelix: Hmh, wie sind die Römer denn auf so was gekommen?
Miraculix: Manche der Ziffern leiten sich von lateinischen Wörtern
ab. C steht für das lateinische Wort für hundert: centum.
Und M steht für das lateinische Wort für tausend: mille.
Asterix: Und wie lese ich aus dieser Ziffernfolge eine Zahl ab?
Miraculix:
Da gibt es einige Regeln, die du beachten musst.
1. Wenn gleiche Ziffern nebeneinander stehen, werden sie
addiert. Dabei dürfen immer nur höchstens drei gleiche
Grundzahlen nebeneinander stehen.
Bsp.: III = 1+1+1 = 3
2.a) Wenn kleinere Ziffern hinter größeren stehen, werden die
beiden Ziffern addiert.
Bsp.: XI = 10 + 1 = 11
b) Wenn kleinere Ziffern vor größeren stehen, wird die kleinere
Ziffer von der größeren subtrahiert.
Bsp.: IX = 10 – 1 = 9
Beachte: Zwischenzahlen dürfen nicht subtrahiert werden!
Bsp.: XLV = 50 – 10 +5 = 45
3. Die Grundzahlen I, X, C dürfen nur von der vorhergehenden
Ziffer subtrahiert werden, wenn diese die nächsthöhere
Zwischen- oder Grundzahl ist.
Bsp.: CD = 400
CM = 900
Asterix: Achso dann steht DCCXVI für 716?!
Miraculix: Ja, richtig!
Was für euch noch interessant ist: Halt, es gibt noch ein paar interessante
Dinge über römische Zahlen zu erzählen.
Wusstet ihr zum Beispiel, dass es die Zahl 0 im Römischen nicht gab?
Außerdem ist das römische Zahlensystem nicht ganz eindeutig. So kann die Zahl
28 beispielsweise als XXVIII oder als XXIIX dargestellt werden.
Ein Beispiel, das euch öfter begegnet, wenn ihr darauf achtet, ist, dass auf
Uhren die vier oft als IIII anstatt als IV dargestellt wird.
6. Aufgabe
Schreibe mit römischen Ziffern.
a) 15
d) 1524
b) 23
e) 2004
c) 111
f) 999
7. Aufgabe
Schreibe mit arabischen Ziffern.
a) MMIII
d) DCLXXIX
b) CLXXV
e) MCCIII
c) LXI
f) XXXIV
8. Aufgabe (freiwillig)
Findest du zu jeder Zahl die passende römische Schreibweise?
8
31
56
1204
217
58
28
406
53
118
XIX
XXXI
19
CXVIII
VIII
LVI CDVI
XXVIII
LIII
CCXVII
MCCIV LVIII