V8.1_Entwicklung der Zahlen

Vorlesung zur Arithmetik
• V1 18./19.04.
• V2 -./26.04.
•
V3
02./03.05.
•
V4
09./10.05.
•
V5
16./17.05.
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•
•
V6
V7
V8
V9
V10
23./24.05.
30.05./31.05.
06./07.06.
20./21.06.
27./28.06.
•
•
•
V11 04./05.07.
V12 11./12.07.
V13 18. 07.
Arithmetik in der Grundschule
Die Entwicklung des Zahlbegriffs
beim Kind/Konzepte für den
Anfangsunterricht
Natürliche Zahlen im
Anfangsunterricht
Die Grundrechenoperationen Addition
und Subtraktion
Die Grundrechenoperationen
Multiplikation und Division
Rechengesetze und Rechenstrategien
Rechenfakten automatisieren
Entwicklung von Zahlen und Zahlsystemen
Schriftliche Rechenverfahren
Rechenschwäche und
Rechenbegabung
Aufgabenformate und Übungsangebote
Zusammenfassung und Überblick
Klausur
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V 8.1
Entwicklung der Zahlen und
Zahlsystemen
1 Entwicklung von Zahlen und
Zahlsystemen
2 Merkmale eines dekadischen
Stellenwertsystems
3 Römische Zahlzeichen
2
1 Entwicklung von Zahlen und
Zahlsystemen
Was sind Zahlen?
• Der menschliche Intellekt hat sie zum Zählen
ersonnen. Erst allmählich emanzipierte sich
der Begriff „Zahl“ von der jeweiligen Natur der
Dinge. Dafür war ein langer Evolutionsprozess
nötig.
Quellen: Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen;
Kaiser/Nöbauer, Geschichte der Mathematik
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Wie entwickelten sich die Zahlen?
• „Für diesen Hirsch will ich drei Speerspitzen haben“, mit ähnlichen
Worten mögen die ersten Menschen unserer Art, die vor rund 25 000
Jahren lebten, ein Geschäft eingeleitet haben. Und sie brauchten dafür
nicht einmal Zahlen – nur ihre Hände.
• Mit einem Finger deuteten sie auf das Wild, mit drei Fingern auf
Speerspitzen.
• Für tausende von Jahren war für die Menschen eine Anzahl, die über
drei hinausging, eine Menge, die mit Worten nicht genau fassbar war.
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• Die Informationen aus der Frühzeit der Menschen zeigt, dass die
Zählreihe nicht fertig in die Wirklichkeit sprang, sondern sich von
einer Zählgrenze zur nächsten verschob.
• Ein Zwergvolk, das nur mit sich im Urwald lebt, musste nicht über
‚zwei‘ hinauszählen. Alles, was darüber war, war „viel“.
• Den Viehzüchter aber zwingt seine Herde, Stück für Stück bis 100
oder darüber hinaus zu zählen. „Viel“ wird für ihn erst, was weit über
die Anzahl seiner Herdentiere hinaus geht und damit den
wirtschaftlichen Wert für ihn verliert.
• Jäger und Sammler brauchten für ihr normales Leben keine größeren
Zahlen, aber die Orientierung an Mondrhythmen und Jahreszeiten
führte vermutlich zur Weiterentwicklung des Zahlbegriffs.
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Der
Stammeshäuptling
hat einige seiner
Leute um sich
versammelt und
hat sich, um das
Vieh zu zählen,
folgendes
Verfahren
ausgedacht...
Wenn 627 Tiere vorbeigegangen sind, ergibt sich
folgendes Bild:
-Der erste Helfer hat 7 Finger ausgestreckt.
-Der zweite Helfer hat 2 Finger ausgestreckt.
-Der dritte Helfer hat 6 Finger ausgestreckt.
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• Die Zeit dagegen ist etwas Flüchtiges - man kann sie nicht vor sich
aufreihen und mit Hilfe der Finger zusammenzählen.
• Unsere Ahnen haben dieses Problem wahrscheinlich auf die Weise
gelöst, dass sie eine Kerbe (z.B. für einen Tag) in einen Baum, einen
Stock oder einen Stein ritzten.
• Mit den „Kerbhölzern“ hat man die ersten Zeugen für Zahlzeichen
gefunden.
• Es folgten in den frühen Hochkulturen (Mesopotamien, Ägypten,
China, Indien) die Ideen der Bündelung und der Stufung, die es
ermöglichten, auch größere Zahlen darzustellen.
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Im 3. Jahrtausend v. Chr. haben die Sumerer (Südirak) die
Keilschriftziffern entwickelt. Etwa im 18. Jahrhundert v. Chr.
führten Babylonische Gelehrte für den wissenschaftlichen
Gebrauch das älteste bekannte Stellenwertsystem ein, das auf
der Basis 60 beruhte.
Zahlzeichen aus Keil/Nagel und Winkel
Zahlzeichen
der Babylonier
Die Babylonier verwendeten ein
Sechzigersystem mit 59 Ziffern.
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• Sowohl das Prinzip des Stellenwertsystems als auch das 60erSystem blieben dauerhafter Besitz der Menschheit.
• Unsere heutige Einteilung der Stunde in 60 Minuten, der
Minute in 60 Sekunden gehen auf die Sumerer und deren
hoch entwickelte Astronomie zurück. Ebenso die Einteilung
des Vollkreises in 360 Grad.
• Vielleicht lag die Wahl der Basis 60 im Wunsch begründet, die
Maßsysteme zu vereinheitlichen. Vielleicht hat auch eine Rolle
gespielt, dass 60 viele natürliche Teiler hat.
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Positionssysteme kamen in vier Zivilisationen
mit geschriebener Sprache vor:
– Mesopotamien
– China
– Indien
– Ägypten
• Unser dekadisches Positionssystem geht auf
den indischen Kulturkreis zurück.
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Weg unserer „arabischen“ Ziffern
• Die ältesten bekannten Texte, in denen eine Zahlschrift mit 9
Ziffern und der Null vorkamen (Indien und Kambodscha), stammen
aus dem Jahre 600 n. Chr.
• Im Jahr 773 kamen die Zahlzeichen in astronomischen Schriften
von Indien nach Bagdad.
• Im Jahr 820 erklärte und verwendete ein arabischer Mathematiker
(al-Khuwarizmi) indische Ziffern in einem Lehrbuch.
• Im 12. Jahrhundert wurde dieses Lehrbuch in Spanien ins
Lateinische übersetzt (allmähliche Verbreitung in Europa).
• Um 1500 verdrängten die „figurae indorum“ dann auch im
deutschen Raum die römischen Ziffern.
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Siegeszug der arabischen Ziffern
• vor allem, weil man mit ihnen leicht rechnen konnte
(„indische Positionsarithmetik“)
• Entscheidend für unser Zahlsystem war die
Verwendung der Null als Zeichen für unbesetzte
Stellen.
• Die Form der Ziffern wurde mehrfach verändert.
• Ihre heutige Gestalt geht auf Albrecht Dürer (14711528) zurück.
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Al-Khuwarizmi über die Null:
„Wenn beim Subtrahieren nichts übrigbleibt, schreib
dann einen kleinen Kreis, damit der Platz nicht leer
bleibt. Der kleine Kreis muss den Platz einnehmen,
weil es sonst weniger Stellen werden und zum
Beispiel die zweite für die erste gehalten wird.“
Wahrscheinlich haben die Inder den kleinen runden
Kreis als Zeichen für eine Leerstelle von den Griechen
übernommen.
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• Schon die Babylonier ließen für nichtbesetzte Stellen Lücken
in ihren Zahldarstellungen
• Im letzten Jahrtausend v. Chr. wurde ein Sonderzeichen für
nichtbesetzte Stellen eingeführt, das aber noch nicht an das
Ende eines Zahlwortes geschrieben wurde.
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Entwicklung unserer heutigen Ziffernsymbole
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Zwei große geschriebene Rechensysteme:
1. Additive Systeme:
Jede Zahl entsteht durch direkte Addition (z.T. auch
Subtraktion) der numerischen Werte einzelner Ziffern
(Beispiel: Römische Zahlzeichen).
2. Positions- oder Stellenwertsysteme:
Jede Ziffer einer Zahl hat zusätzlich zu ihrem
Ziffernwert einen Stellenwert.
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2 Merkmale eines dekadischen
Stellenwertsystems (Dezimalsystems)
deka (griech.) – zehn
decem (lat.) – zehn
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Das Dezimalsystem
• Das am meisten verbreitete Zahlensystem beruht auf
der Zahl 10.
• Innerhalb dieses Systems erhalten alle ganzen Zahlen
bis 10 einen eigenen Namen. Auch die
Zehnerpotenzen (1, 10, 100, 1000, ...) werden
eigenständig benannt.
• Die Namen der übrigen Zahlen werden durch
Addition der Namen der vorangegangenen Zahlen
zusammengesetzt.
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Würde es keinerlei Abweichungen geben, würde
man auf diese Weise folgende Zahlennamen
erhalten:
Quelle: Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen. 1981
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Grundidee: systematisches Bündeln kleinerer Einheiten zu
größeren (Bündelungsverfahren mit der Zahl 10)
– zehn Grundziffern: die ersten neun Zahlen und die Null für
unbesetzte Stellen (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)
– Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Folge von
Grundziffern darstellen. Jeder Ziffer kommt zusätzlich zu ihrem
Ziffernwert ein dekadischer Stellenwert zu. (123, 444, 603)
– Stellenwerte im dekadischen Positionssystem sind die Potenzen
der Grundzahl 10:
• 100= 1; 101= 10; 102= 100; 103 = 1000; 104 = 10 000 usw.
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„46 783“
• Die Stelle, an der eine Grundziffer steht, gibt an, mit
welcher Potenz von 10 sie zu multiplizieren ist.
• Demzufolge können mehrstellige Zahlen auch als Summe
solcher Produkte aufgefasst werden:
– 46 783 = 4 ∙ 104 + 6 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 8 ∙ 101 + 3 ∙ 100
– 46 783 = 4 ∙10 000 + 6 ∙ 1000 + 7 ∙ 100 + 8 ∙ 10 + 3 ∙ 1
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An Stelle der 10 kann man auch jede andere Zahl als Basis
eines Positionssystems wählen.
z. B. für die Rechentechnik verwendet:
• das Dualsystem: zwei Grundziffern 0 und 1;
Stellenwerte sind Potenzen von 2
•
•
•
•
12 =
13 =
15 =
128=
• Hexadezimalsystem: 16 Grundziffern, die 10 Ziffern
des Dezimalsystems und weitere sechs (A-10; B-11;
C-12; D-13; E-14; F-15)
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Übungsvorlage
Zehnersystem
• 10 Grundziffern: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9
• Potenzen von 10 (1, 10, 100,
1000, 10000, ...)
Vierersystem
• 4 Grundziffern:
0, 1, 2, 3
• Potenzen von 4 (1, 4, 16, 64,
256, 1024, ...)
s. auch Padberg, S. 59
Zweiersystem
• 2 Grundziffern: 0,1
• Potenzen von 2 (1, 4, 8, 16,
32, 64, 128, 256, ...)
Fünfersystem
• 5 Grundziffern:
0, 1, 2, 3, 4
• Potenzen von 5 (1, 5, 25, 125,
625, 3125, ...)
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Bei kleinen Basiszahlen verlängert sich die
Zahldarstellung:
„dreihundert“
• Dezimalsystem:
• Hexadezimalsystem:
• Dualsystem:
300
12C
100101100
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Verfahren zur Umrechnung einer im Dezimalsystem
gegebenen Zahl in ein System mit einer Basis = 10
579 soll mit der Basis b=6 dargestellt werden.
Vorgehen über Reste
• 579 = 96 · 6 + 3
• 96 = 16 · 6 + 0
• 16 = 2 · 6 + 4
•
2= 0·6+2
• 579 = 24036
Darstellen als Summe von
Vielfachen der Potenzen
579 = 2 · 216 + 147
579 = 2 · 216 + 4 · 36 + 3
579 = 2 · 216 + 4 · 36 + 0 · 6 + 3 · 1
579 = 2 · 63 + 4 · 62 + 0 · 61 + 3 · 60
579 = 24036
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3 Römische Zahlzeichen
(Additionssystem)
Die römischen Zahlen bestehen aus 7
einfachen Zeichen.
Padberg, S. 53-55
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• Abwechselnd werden 5
und 2 Einheiten zu einer
neuen Einheit
zusammengefasst
(alternierende Fünferund Zweierbündelung).
• Zahlen ohne eigenes
Zeichen werden durch
Reihung gebildet. So
bedeutet CCCXXIII 323.
Quelle: Gorski/Müller-Philipp,
Leitfaden Arithmetik
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Kerbhölzer von Hirten
Eine Kerbe an die andere gereiht,
war zu unübersichtlich und so
dachten sich die Römer etwas
aus, dass die Ziffernreihe
überschaubarer machte:
Wenn sie bei der fünf
angekommen waren, schnitzten
sie zwei schräge Kerben ein und
bei der zehn zwei Kerben, die
sich überschnitten.
Entwicklung des Zeichens für 50:
Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen
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Römischer
Abakus
(Rechenbrett)
Das Rechnen mit
römischen Zahlen ist
kompliziert. Deshalb
nutzten die Römer
ein Rechenbrett,
welches ein
Stellenwertsystem
repräsentierte.
Ifrah:
Universalgeschichte
der Zahlen
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Regeln für den Gebrauch römischer Zahlen
wurden immer wieder geändert oder
ergänzt.
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Einige („aktuelle“) Regeln für den Gebrauch der Römischen
Zahlen
• Aus den 7 Zahlzeichen I, V, X, L, C, D, M werden alle
Zahlen durch Addition und Subtraktion
zusammengesetzt.
• I, X, C, M höchstens dreimal hintereinander verwenden
• V, L, D nicht mehrfach hintereinander verwenden
• Steht ein Zeichen mit einem geringeren Wert links von
einem Zeichen mit einem höheren Wert, wird der
kleinere Wert vom größeren subtrahiert.
• I, X, C darf nur vom jeweils Fünf- oder Zehnfachen
abgezogen werden.
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Beispiele
• XCV
• MCMLXXIX
• MMCMXLIII
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Wo begegnen uns heute noch römische
Ziffern?
•
•
•
•
•
als Nummerierungen auf alten Wegsteinen
bei Königs- und Königinnennamen: Elisabeth II.
bei Papstnamen: Pius XII., Johannes Paul XXIII.
auf Ziffernblättern (sogar bei modernen Uhren)
als Jahreszahlen auf alten Denkmälern und in
manchen Büchern
Quelle: Ch. Erichson, Von Giganten, Medaillen …
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Studienaufgabe zur Übung
Woche vom 20.06.11
Wählen Sie aus:
• Schreiben Sie einen kleinen Text zur Entwicklung unserer
Zahlen für Viertklässler. (Illustrieren Sie diesen.)
oder
• Erstellen Sie eine Lehrbuchseite zur Entwicklung unserer
Zahlen für Klasse 4.
oder
• Entwickeln Sie ein Arbeitsblatt zur Geschichte der Zahlen (Kl.
4).
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