V5_ Zahlenraum bis 100_Zahlsysteme

Sommersemester 2015
Arithmetik in der Grundschule
Di 08-10 Uhr
Audimax
V 1 14.04.
V 2 21.04
Arithmetik in der Grundschule – Anfänge und Ziele
Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind
V 3 28.04.
V 4 05.05.
Zahlenraum bis 20 (Kl. 1)
Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 20 (Kl. 1)
V 5 12.05.
V 6 19.05.
V 7 02.06.
V 8 09.06.
Ausbau des Zahlenraumes bis 100 (Kl. 2)
Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 2)
Multiplizieren und Dividieren (Kl. 2, 3)
Kleines Einmaleins (Kl. 2)
V 9 16.06.
V10 23.06.
V11 30.06.
V12 07.07.
Ausbau des Zahlenraumes bis 1000; bis 1 Million (Kl. 3, 4)
Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 3)
Schriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 3)
Schriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 4)
V13 14.07.
Zusammenfassung
Klausur 21.07.
8-10 Uhr, Audimax und HS 1
1
V5
Aufbau des Zahlenraums bis 100
1 Zahlenraum bis 100
1.1 Die Hundertermenge und ihre Strukturen
1.2 Zahlen und Zahlworte
1.3 Zahlbildung
1.3 Stellenwertverständnis
1.4 Ordnung zweistelliger Zahlen
2 Unser Zahlsystem – ein dekadisches Stellenwertsystem
2.1 Historisches
2.2 Merkmale des dekadischen Stellenwertsystems
2.3 Zahlsysteme mit einer anderen Basis
2.3 Römische Zahlzeichen
2
1 Zahlenraum bis 100
3
1.1 Die Hundertermenge und ihre Strukturen
• Wie viel ist 100?
4
„100“ in
Klasse 2
unstrukturierte
und
strukturierte
Mengen
5
Stäbchenbündel und
einzelne Stäbchen
Mehrsystemblöcke
Rechenrahmen
6
Unterrichtsidee zum Strukturieren des Hunderters
Schneide ein Hunderterfeld aus
Kästchenpapier.
Welche Muster im
Hunderterfeld kannst du
entdecken?
Quelle: I. Herklotz, Grundschulunterricht
Mathematik, 1/2013
7
• eigene Muster
interpretieren
8
Schätzen im Hunderterraum
• Wie viele sind es?
• Schätze.
• Wie bist du auf deine
Schätzzahl gekommen?
Quelle Abbildung: Ich kann Mathematik, Band 2. Lernbuchverlag
9
1.2 Zahlen und Zahlworte
Zweistellige Zahlen in der Umwelt wahrnehmen
• Kleine Texte mit zweistelligen
Zahlen verfassen
Quelle Abbildung: Ich kann Mathematik, Band 2. Lernbuchverlag
10
Zahlwörter schreiben
Das Zahlwort für 76 besteht aus
den drei Teilen sechs-und-siebzig.
Schriebe solche Zahlwortteile auf
Papierstreifen.
In welche Felder passen die Zahlwörter zu den
Zahlen 31, 38, 66, 97?
Quelle Abbildung: Ich kann Mathematik, Band 2. Lernbuchverlag
11
Vertauschst du bei einer Zahl die
Ziffern, bekommst du ihre
„Umkehrzahl“.
Die Umkehrzahl von 85 ist 58.
Schreibe Umkehrzahlen auf.
Markiere Umkehrzahlen in der
Hundertertafel.
Quelle Abbildung: Ich kann Mathematik, Band 2. Lernbuchverlag
12
• Alle Zahlen und Zahlwörter
von 1 bis 99
Formulieren Sie Aufträge
zum Arbeitsblatt.
Quelle Abbildung: Ich kann Mathematik, Band 2. Lernbuchverlag
13
1.3 Zahlbildung
Zahlen auffassen und darstellen
Lege zweistellige Zahlen mit Zehnerstangen
und Einerwürfeln. Stelle die Zahl an den
Zehnerstreifen dar.
Stelle mit dem Abdeckwinkel
zweistellige Zahlen am Punktefeld
dar und notiere die Zahl.
14
Quasisimultanes Erfassen von Zahlen
Übung „schneller Blick“
(Blitzblick):
– Ich stelle am
Rechenrahmen eine Zahl
ein und zeige sie euch
nur kurz.
– Ihr schreibt die Zahl auf.
– Wer konnte die Zahl
erkennen?
Woran hast du sie
erkannt?
15
1.4 Stellenwertverständnis
Übertrage die mit
Mehrsystemblöcken
dargestellte Zahl in die
Stellenwerttafel.
Lege die diktierten
Zahlen mit
Plättchen in die
Stellenwerttafel.
Lies die Zahlen noch
einmal für dich.
16
Arbeiten mit dem Schulabakus
Eine Teppichfliese entspricht einer Spalte in der
Stellenwerttafel.
Lege 43 Einerwürfelchen (Stäbchen) auf die
„Zehnerplatte“. Mehr als 9 dürfen dort nicht liegen.
Bündle und wechsle so (immer 10 werden zu einem
Zehnersteinchen), dass man die Zahl 43 auf einen Blick
sehen kann.
Quelle: Johann/Matros, Wechselspiele
17
1.5 Ordnung zweistelliger Zahlen
• Zählübungen
• Orientierungsübungen an der Hundertertafel
Suche kurze Wege auf der
Hundertertafel von 21 bis 87.
Abb. Quelle: Zahlenbuch 2
Würfelt und setzt abwechselnd. Einer
beginnt bei 1 und einer bei 100. Wer kann
den anderen rauswerfen. Wer ist zuerst bei
der „Gegenzahl“?
18
• Übungen am Rechenstrich
Trage den ungefähren Platz der Zahlen 33, 10, 60, 35, … am
Rechenstrich ein.
• Übungen am Zahlenstrahl
Benenne die markierten Zahlen.
• Vergleichen und Ordnen von Zahlen
Vergleiche die folgenden Zahlen miteinander. Setze das richtige Zeichen:
54 und 45, 36 und 63, 83 und 38.
19
Zahlen ordnen
•
Ein Spiel für 2 oder mehr Kinder:
– Mischt die Zahlenkarten. Zieht eine zweistellige Zahl (z. B. 54) und schreibt
diese auf das mittlere Feld eures Zahlenbandes.
– Deckt reihum eine Karte vom Stapel auf. Wenn die Zahl auf euer Band passt,
tragt sie darauf ein. Wenn nicht, legt sie beiseite.
– Wer am Schluss die meisten Zahlen auf seinem Band hat, gewinnt.
Quelle Abbildung: Ich kann Mathematik, Band 2. Lernbuchverlag
20
2 Unser Zahlsystem – ein
dekadisches Stellenwertsystem
21
2.1 Historisches
Was sind Zahlen?
• Der menschliche Intellekt hat sie zum Zählen
ersonnen. Erst allmählich emanzipierte sich
der Begriff „Zahl“ von der jeweiligen Natur der
Dinge. Dafür war ein langer Evolutionsprozess
nötig.
Quellen: Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen; Kaiser/Nöbauer, Geschichte der Mathematik
22
Wie entwickelten sich die Zahlen?
• „Für diesen Hirsch will ich drei Speerspitzen haben“ - mit
ähnlichen Worten mögen die ersten Menschen unserer Art,
die vor rund 25 000 Jahren lebten, ein Geschäft eingeleitet
haben. Und sie brauchten dafür nicht einmal Zahlen – nur ihre
Hände.
• Mit einem Finger deuteten sie auf das Wild, mit drei Fingern
auf Speerspitzen.
• Für tausende von Jahren war für die Menschen eine Anzahl,
die über drei hinausging, eine Menge, die mit Worten nicht
genau fassbar war.
Quellen: Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen; Kaiser/Nöbauer, Geschichte der Mathematik
23
• Die Informationen aus der Frühzeit der Menschen zeigt, dass
die Zählreihe nicht fertig in die Wirklichkeit sprang, sondern
sich von einer Zählgrenze zur nächsten verschob.
• Ein Zwergvolk, das nur mit sich im Urwald lebt, musste nicht
über ‚zwei‘ hinauszählen. Alles, was darüber war, war „viel“.
• Den Viehzüchter aber zwingt seine Herde, Stück für Stück bis
100 oder darüber hinaus zu zählen. „Viel“ wird für ihn erst,
was weit über die Anzahl seiner Herdentiere hinaus geht und
damit den wirtschaftlichen Wert für ihn verliert.
Quellen: Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen; Kaiser/Nöbauer, Geschichte der Mathematik
24
• Jäger und Sammler brauchten für ihr normales
Leben keine größeren Zahlen, aber die
Orientierung an Mondrhythmen und
Jahreszeiten führte vermutlich auch zur
Weiterentwicklung des Zahlbegriffs.
Quellen: Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen; Kaiser/Nöbauer, Geschichte der Mathematik
25
• Die Zeit ist etwas Flüchtiges, man kann sie nicht vor sich aufreihen
und mit Hilfe der Finger zusammenzählen.
• Unsere Ahnen haben dieses Problem wahrscheinlich auf die Weise
gelöst, dass sie eine Kerbe (z.B. für einen Tag) in einen Baum, einen
Stock oder einen Stein ritzten.
• Mit den „Kerbhölzern“ hat man die ersten Zeugen für Zahlzeichen
gefunden.
• Es folgten in den frühen Hochkulturen (Mesopotamien, Ägypten,
China, Indien) die Ideen der Bündelung und der Stufung, die es
ermöglichten, auch größere Zahlen darzustellen.
Quellen: Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen; Kaiser/Nöbauer, Geschichte der Mathematik
26
Der
Stammeshäuptling
hat einige seiner
Leute um sich
versammelt und
hat sich, um das
Vieh zu zählen,
folgendes
Verfahren
ausgedacht...
Wenn 627 Tiere vorbeigegangen sind, ergibt sich
folgendes Bild:
-Der erste Helfer hat 7 Finger ausgestreckt.
-Der zweite Helfer hat 2 Finger ausgestreckt.
Quelle: ebda.
-Der dritte Helfer hat 6 Finger ausgestreckt.
27
Zahlzeichen
der Babylonier
Quelle: ebda.
Die Babylonier verwendeten ein
Sechzigersystem mit 59 Ziffern.
28
Positionssysteme kamen in vier Zivilisationen mit
geschriebener Sprache vor:
– Mesopotamien
– China
– Indien
– Ägypten
• Unser dekadisches Positionssystem geht auf
den indischen Kulturkreis zurück.
Quelle: ebda.
29
Weg unserer „arabischen“ Ziffern
• Im Jahr 773 kamen die Zahlzeichen in astronomischen Schriften
von Indien nach Bagdad.
• Im Jahr 820 erklärte und verwendete ein arabischer Mathematiker
(al-Khuwarizmi) indische Ziffern in einem Lehrbuch.
• Im 12. Jahrhundert wurde dieses Lehrbuch in Spanien ins
Lateinische übersetzt (allmähliche Verbreitung in Europa).
• Um 1500 verdrängten die „figurae indorum“ dann auch im
deutschen Raum die römischen Ziffern.
Quelle: ebda.
30
Siegeszug der arabischen Ziffern
• vor allem, weil man mit ihnen leicht rechnen konnte
(„indische Positionsarithmetik“)
• Die Form der Ziffern wurde mehrfach verändert.
• Ihre heutige Gestalt geht auf Albrecht Dürer (14711528) zurück.
Quellen: Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen; Kaiser/Nöbauer, Geschichte der Mathematik
31
• Entscheidend für unser
Zahlsystem war die
Verwendung der Null
als Zeichen für
unbesetzte Stellen.
• Wahrscheinlich haben
die Inder den kleinen
runden Kreis als Zeichen
für eine Leerstelle von
den Griechen
übernommen.
Quelle: ebda.
32
Al-Khuwarizmi über die Null:
„Wenn beim Subtrahieren nichts übrigbleibt, schreib
dann einen kleinen Kreis, damit der Platz nicht leer
bleibt. Der kleine Kreis muss den Platz einnehmen,
weil es sonst weniger Stellen werden und zum
Beispiel die zweite für die erste gehalten wird.“
Quelle: ebda.
33
Entwicklung unserer heutigen Ziffernsymbole
Quelle: ebda.
34
Zwei große geschriebene Rechensysteme:
1. Additive Systeme:
Jede Zahl entsteht durch direkte Addition (z.T. auch
Subtraktion) der numerischen Werte einzelner Ziffern
(Beispiel: Römische Zahlzeichen).
2. Positions- oder Stellenwertsysteme:
Jede Ziffer einer Zahl hat zusätzlich zu ihrem
Ziffernwert einen Stellenwert.
35
2.2 Merkmale eines dekadischen
Stellenwertsystems (Dezimalsystems)
deka (griech.) – zehn
decem (lat.) – zehn
36
Das Dezimalsystem
• Das am meisten verbreitete Zahlensystem beruht auf
der Zahl 10.
• Innerhalb dieses Systems erhalten alle ganzen Zahlen
bis 10 einen eigenen Namen. Auch die
Zehnerpotenzen (1, 10, 100, 1000, ...) werden
eigenständig benannt.
• Die Namen der übrigen Zahlen werden durch
Addition der Namen der vorangegangenen Zahlen
zusammengesetzt.
37
Würde es keinerlei Abweichungen geben,
würde man auf diese Weise folgende
Zahlennamen erhalten:
Quelle: Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen. 1981
38
Grundidee: systematisches Bündeln kleinerer Einheiten zu
größeren (Bündelungsverfahren mit der Zahl 10)
– zehn Grundziffern: die ersten neun Zahlen und die Null für
unbesetzte Stellen (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)
– Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Folge von
Grundziffern darstellen. Jeder Ziffer kommt zusätzlich zu ihrem
Ziffernwert ein dekadischer Stellenwert zu. (123, 444, 603)
– Stellenwerte im dekadischen Positionssystem sind die Potenzen
der Grundzahl 10:
• 10 0 = 1; 10 1 = 10; 10 2 = 100; 103 = 1000; 104 = 10 000 usw.
39
„46 783“
• Die Stelle, an der eine Grundziffer steht, gibt an, mit
welcher Potenz von 10 sie zu multiplizieren ist.
• Mehrstellige Zahlen können auch als Summe solcher
Produkte aufgefasst werden:
– 46 783 = 4 ∙ 104 + 6 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 8 ∙ 101 + 3 ∙ 100
– 46 783 = 4 ∙10 000 + 6 ∙ 1000 + 7 ∙ 100 + 8 ∙ 10 + 3 ∙ 1
40
2.3 Zahlsysteme mit einer anderen Basis
An Stelle der 10 kann man auch jede andere Zahl als Basis
eines Positionssystems wählen.
z. B. für die Rechentechnik wird das Dualsystem
verwendet: zwei Grundziffern 0 und 1; Stellenwerte
sind Potenzen von 2
(1) Mit der größten
•
•
•
•
12 =
13 =
15 =
128=
Zweierpotenz, die in
der Zahl steckt,
beginnen und die
Ziffer an der
entsprechenden Stelle
notieren.
(2) Beim verbleibenden
Rest immer wieder so
vorgehen bis nur noch
Einer übrig sind.
41
Bei kleinen Basiszahlen verlängert sich die
Zahldarstellung:
„dreihundert“
• Dezimalsystem: 3 0 0
• Dualsystem: 1 0 0 1 0 1 1 0 0
42
Denken in anderen Zahlsystemen
Zehnersystem
• 10 Grundziffern: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9
• Potenzen von 10 (1, 10, 100,
1000, 10000, ...)
Vierersystem
• 4 Grundziffern:
0, 1, 2, 3
• Potenzen von 4 (1, 4, 16, 64,
256, 1024, ...)
Zweiersystem
• 2 Grundziffern: 0,1
• Potenzen von 2 (1, 2, 4, 8, 16,
32, 64, 128, 256, ...)
Fünfersystem
• 5 Grundziffern:
0, 1, 2, 3, 4
• Potenzen von 5 (1, 5, 25, 125,
625, 3125, ...)
43
(Weitere) Verfahren zur Umrechnung einer im Dezimalsystem
gegebenen Zahl in ein System mit einer Basis = 10
579 soll mit der Basis b=6 dargestellt werden.
Vorgehen über Reste
• 579 = 96 · 6 + 3
• 96 = 16 · 6 + 0
• 16 = 2 · 6 + 4
•
2= 0·6+2
• 579 = 24036
Darstellen als Summe von
Vielfachen der Potenzen
579 = 2 · 216 + 147
579 = 2 · 216 + 4 · 36 + 3
579 = 2 · 216 + 4 · 36 + 0 · 6 + 3 · 1
579 = 2 · 63 + 4 · 62 + 0 · 61 + 3 · 60
579 = 24036
44
2.4 Römische Zahlzeichen
(Additionssystem)
Padberg 2005, S. 53-55
45
Römische Zahlzeichen (älteres Modell)
46
Kerbhölzer von Hirten
Eine Kerbe an die andere gereiht,
war zu unübersichtlich und so
dachten sich die Römer etwas
aus, dass die Ziffernreihe
überschaubarer machte:
Wenn sie bei der fünf
angekommen waren, schnitzten
sie zwei schräge Kerben ein und
bei der zehn zwei Kerben, die
sich überschnitten.
Entwicklung des Zeichens für 50:
Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen
47
Römischer
Abakus
(Rechenbrett)
Ifrah:
Universalgeschichte
der Zahlen
48
Regeln für den Gebrauch der Römischen Zahlen (Die Regeln
wurden immer mal wieder geändert oder ergänzt.)
• Aus den Zahlzeichen I, V, X, L, C, D, M werden alle
Zahlen durch Addition und Subtraktion
zusammengesetzt.
• I, X, C, M höchstens dreimal hintereinander verwenden
• V, L, D nicht mehrfach hintereinander verwenden
• Steht ein Zeichen mit einem geringeren Wert links von
einem Zeichen mit einem höheren Wert, wird der
kleinere Wert vom größeren subtrahiert.
• I, X, C darf nur vom jeweils Fünf- oder Zehnfachen
abgezogen werden.
• Die durch Fünferbündelung entstandenen Zeichen V, L,
D dürfen nicht subtraktiv verwendet werden.
49
Beispiele
• XCV
• MCMLXXIX
• MMCMXLIII
50
Wo begegnen uns heute noch römische Ziffern?
•
•
•
•
•
als Nummerierungen auf alten Wegsteinen
bei Königs- und Königinnennamen: Elisabeth II.
bei Papstnamen: Pius XII., Johannes Paul XXIII.
auf Ziffernblättern (sogar bei modernen Uhren)
als Jahreszahlen auf alten Denkmälern und in
manchen Büchern
Quelle: Ch. Erichson, Von Giganten, Medaillen …
51
• Fazit …
52