Natürliche Zahlen 2 Zahldarstellungen

Natürliche Zahlen 2
Zahldarstellungen
Überblick
ƒ Ziffernsysteme
ƒ Stellenwertsysteme
o Verschiedene Basen
o Umwandeln
o Rechnen in verschiedenen Systemen
ƒ curriculare Vorschriften
ƒ unterrichtliche Aspekte
2
Zifferndarstellungen von Zahlen
ƒ Strichliste
ƒ Kerbholz
ƒ Vorteile: nur eine Ziffer notwendig
ƒ Nachteil: große Zahlen werden sehr lang und
unübersichtlich
Bildquelle Kerbholz: (http://www.rechenhilfsmittel.de/index.htm)
3
Zifferndarstellungen von Zahlen
ƒ „Bierdeckelzählung“
ƒ Kollektionseinheit 5
ƒ Vor- und Nachteile
s. Strichliste
4
Zifferndarstellungen von Zahlen
ƒ Römische Zahlzeichen
5
Römische Zahlzeichen
ƒ Nachgewiesen seit ca.
100 v.Chr.
ƒ Bis ins Mittelalter
verwendet (mit
Abwandlungen)
ƒ Vorteile:einfach
ƒ Nachteile: Große Zahlen
und Multiplikation/Division
umständlich
Zahlzeichen
Wert
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
6
Römische Zahlzeichen
ƒ Ziffern werden der Größe nach sortiert (MMVI)
ƒ „Stellenwertansätze“ im Mittelalter
(MDCCCCXCIX)
ƒ Stellenwertansatz
o Steht eine kleinere Ziffer links von einer größeren,
so wird der ihr Wert von der größeren abgezogen
(IX entspricht 9)
o Es dürfen jeweils nur die nächst kleineren
Zehnerpotenzen vor einer größeren Ziffer stehen.
7
Rechnen auf der Linie / Abakus
8
Klassisches Stellenwertsystem
Definition:
Gegeben sei eine Zahl b aus N, b ≥ 2 , genannt die
Basis.
Eine Zahl a aus N heißt im Stellenwertsystem zur Basis
b dargestellt, wenn gilt:
Es gibt eine Zahl k ≥ 0, wobei k+1 die Anzahl der
Stellen ist, und die Zahlen z0, z1,..., zk ∈N, die
Ziffernwerte, mit 0 ≤ zi < b für alle i, so dass gilt:
k
a = zk
bk
+
zk-1bk-1 +
... + z2
b2
+ z1 b + z 0 =
∑zb
j=0
j
j
9
Klassisches Stellenwertsystem
Unterscheidung:
ƒ Eine Zahl Zweitausenddreihundertfünfunfsechzig
o wird notiert als Zahlwort, z.B. 2 356
o besteht aus den Ziffern 2, 3, 5 und 6
o besitzt den Zahlwert 2*103 + 3*102 + 5*10 + 6 im
Zehnersystem
o Besitzt den Zahlwert 2*73 + 3*72 + 5*7 + 6 im
Siebenersystem (2356)7
10
Adam Riess: Zählen
11
Adam Riess: Null
ƒ Die Zahl Null wird in jedem Stellenwertsystem mit dem
Zeichen 0 geschrieben.
12
Adam Riess: Null
„Die 0 Null / wann sie allein stehet / so bedeut sie
nichts; wann sie aber anderen Ziffern zugesezet wird
/ macht sie dieselbigen umb so viel mal zehen / oder
hundert/ oder Tausend/ec. mehr bedeutende.
Zum Exempel: Wann sie gesezt wird zu der Figur 1/
also: 10 / das bedeutet zehen; nach der 2 / also 20
bedeutet zwanzig / und so fort / 30 dreissig / 40
vierzig / ec. Werden denn einer Figur zwei Null
zugesezt / so bedeut dieselbe so viel mal hundert /
als: 100 hundert“
ƒDie Zahl Null wird in jedem Stellenwertsystem mit dem
Zeichen 0 geschrieben.
13
Zehnersystem
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Basis: b = 10, Ziffern: 0,1,2, …, 9
Aus Indien ca. 600 n. Chr.
Meist verbreitetes Zahlensystem
Vorteile:
o Aufwand für Rechenverfahren gut im Bezug zur
Länge der Zahlen
Nachteile: Man braucht „viele“ Zeichen
14
Dualsystem
ƒ Basis: b = 2, Ziffern: 0, I
ƒ Erfinder: Gottfried Wilhelm Leibniz
1646 – 1716
ƒ Anwendung: Digitaltechnik,
elektronische Datenverarbeitung
ƒ Vorteile:
o einfache Rechenverfahren
o Gut darstellbar
ƒ Nachteile:
o Zahlen sehr lang und übersichtlich
15
Hexadezimalsystem
ƒ Basis: b = 16, Ziffern: 0, 1, 2, … 9, A, B, C, D, E, F
ƒ Anwendung: elektronische Datenverarbeitung,
Kodierung von Farbwerten (z.B. RGB-Wert
#AA9911)
ƒ Vorteile:
o Einfache Darstellung von „bits“
o Gut darstellbar
ƒ Nachteile:
o Kopfrechnen kompliziert
16
Umwandlung – 1
Zahlwert (Dezimalsystem) in Zahlwort im System der
Basis b
ƒ 194 -> (…)5
ƒ Bündeln – immer die 5 ausklammern soweit es geht
ƒ 194 = 190 + 4 = (38 × 5) + 4 = (35 + 3) × 5 + 4
= (7 × 5 + 3) × 5 + 4 = ((5 + 2) × 5 + 3) × 5 + 4
= ((1 × 5 + 2) × 5 + 3) × 5 + 4
= (((0 × 5 + 1) × 5 + 2) × 5 + 3) × 5 + 4
= 1×53 + 2×52 + 3×5 + 4 = (1234)5
17
Umwandlung – 2
Zahlwort im System der Basis b in Zahlwert im
Dezimalsystem
ƒ (10221)3 -> ???
ƒ Entbündeln – Klammern von innen nach außen
berechnen
ƒ (10221)3
= ((((0 × 3 + 1) × 3 + 0) × 3 + 2) × 3 + 2) × 3 + 1
= (((3 × 3 + 2) × 3 + 2) × 3 + 1
= ((11 × 3 + 2) × 3 + 1 = 35 × 3 + 1 = 105 + 1 = 106
18
Aufgaben
ƒ Wie lautet das Zahlwort von 492 im
Siebenersystem? Verwenden Sie dazu die BündelMethode!
ƒ Wie lautet der Zahlwert im Dezimalsystem der Zahl
(24A09)16 ? Entbündeln Sie das Zahlwort.
19
Aufgabe
ƒ In welchen Zahlensystem rechnen diese beiden?
20
Reflexion des Lernerlebnisses
ƒ Was wissen Sie jetzt, was Sie vorher noch nicht
wussten?
ƒ Wo hatten Sie Probleme beim Verstehen?
ƒ Hätten Sie es schneller / einfacher verstehen
können?
ƒ Was hat / hätte Ihnen dabei geholfen?
21
Curriculare Vorschriften – 1
ƒ Allg. Ziel: Erkennen des strukturellen Aufbaus des
Zehnersystems
ƒ KMK Bildungsstandards Mathematik für den
mittleren Bildungsabschluss Leitidee Zahl (Auszug)
o Die Schülerinnen und Schüler
• stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter
anderem in Zehnerpotenzschreibweise,
• wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen
und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu
Grunde liegen,
22
Stufenzahlen / Zahlenriesen
ƒ Eigentlich die Potenzen der Basen, aber manchmal
auch Kollektionseinheiten (10, 100, 1000,… oder
12, 144,… oder 60, 3600,… oder 5, 10, 50, 100, …)
ƒ Zahlenriesen:
o Zahlenraum bis zu einer Billion (auch Zahlen in
Worten ausschreiben)
o Exponentiales Wachstum (Reiskornaufgabe)
o „Rekordzahlen“ (z.B. Seiten im Internet,…)
23
Unterrichtliche Aspekte
ƒ Verfremdungseffekte nutzen
o römische / ägyptische Ziffernsysteme
o Dualsysteme / Fünfersystem (Gymnasium)
ƒ Sehr wichtig für alle Rechenverfahren und
besonders die Bruchrechnung
ƒ Nicht unbedingt am Anfang des Schuljahrs
ƒ Geeignet für Projektarbeit / offene Unterrichtsformen
24
Danke
für Ihre
Aufmerksamkeit
25