Mathematischer Vorkurs - Mathematik, TU Dortmund

Mengen
1. Mengen
Definition 1.1 (Mengendefinition nach Georg Cantor)
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, unterscheidbaren
Objekten (Elementen) unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
Ganzen.
Schreibe:
Gegenteil:
a∈M
a∈
/M
(oder M 3 a):
(oder M 63 a):
a ist Element von M .
a ist nicht Element von M .
Mengenangaben in 2 Varianten möglich:
Aufzählen aller Elemente in Mengenklammern {....} in der Art {a, b, c}
Beschreiben aller Elemente durch charakteristische Eigenschaft in der Art
M = {a | a hat die Eigenschaft E}.
Lese: M ist die Menge aller a, die die Eigenschaft E haben.
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Beispiel (Aufzählende Form)
{2} Einelementige Menge.
∅ ={},
die leere Menge – enthält kein Element.
{1, 2, 3} Menge , bestehend aus den Zahlen 1,2,3.
Reihenfolge unwichtig: z.B. {2, 1, 3} = {1, 2, 3}.
Beispiele für die Verwendung von ∈“:
”
{1, 2, 3} 3 1, 5 ∈
/ {1, 2, 3}
N := {1, 2, 3, 4, . . . }: Menge der natürlichen Zahlen
. . .“ führt Liste in sinnvoller Weise weiter.
”
:=“ spricht man als wird definiert als“ aus.
”
”
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }: Menge der ganzen
Zahlen.
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Beispiel (Beschreiben durch charakteristische Eigenschaft)
Q := { ab | a ∈ Z, b ∈ N}
Menge der rationalen Zahlen,
P := {a ∈ N | a > 1, nur 1 und a sind Teiler von a},
Menge der Primzahlen.
Beschreibungsteil mit ∈“ manchmal vor |“, um hervorzuheben, dass
”
”
die Elemente aus einem anderen größeren Topf“ stammen.
”
R Menge der reellen Zahlen
R+
{x ∈ R |
x2
(vgl. später).
:= {a ∈ R | a > 0} , Menge der positiven reellen Zahlen.
− x = 0} = {0, 1}
Umwandlung in aufzählende Form oft möglich, jedoch nicht immer:
I
{x ∈ R | x2 − x = 0} = {0, 1}.
I
{ x | x ist Summe zweier Primzahlen größer 2} = ???
Goldbachsche Vermutung: Menge ist gleich {6, 8, 10, 12, . . .}.
Kleine Liste: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7,
12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 16 = 3 + 13, 18 = 5 + 13, 20 = 3 + 17,
22 = 3 + 19, 24 = 5 + 19, 26 = 3 + 23, 28 = 5 + 23, . . .
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Definition 1.2 (Mengenoperationen für Mengen M, N )
1. Vereinigung M ∪ N :
Menge der Objekte, die in M oder N liegen.
M ∪ N = {a | a ∈ M oder a ∈ N }
Bsp.: N ∪ {0} =: N0 , {1, 2, 3} = {1, 2} ∪ {2, 3}.
2. Durchschnitt M ∩ N : Menge der Objekte, die in M und N liegen.
M ∩ N = {a | a ∈ M und a ∈ N }
Bsp.: {1, 2} ∩ {2, 3, 4} = {2}.
{1, 2} ∩ {3, 4} = {}.
M und N heißen punktfremd oder disjunkt, wenn M ∩ N = ∅.
Bsp.: {2, 3} und {1, 4} sind disjunkt.
3. Differenz (auch: Komplement von N (in M )) M \ N
Menge der Objekte, die in M und nicht in N liegen:
M \ N = {a | a ∈ M und a ∈
/ N}
Bsp.: {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1},
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N und M \ N sind stets disjunkt.
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4. M heißt Teilmenge von N , falls jedes Element aus M auch in N
liegt. Symbolisch:
M ⊂N
oder auch
N ⊃ M.
Bsp.: {2, 3} ⊂ {1, 2, 3}
5. M und N heißen gleich, wenn M ⊂ N und M ⊃ N . Man schreibt
M = N.
Manche Mathematiker verwenden für die Teilmengenbeziehung statt ⊂“
”
das Symbol ⊆“. Bei diesen bedeutet dann A ⊂ B etwas anderes wie
”
oben, nämlich: A ist Teilmenge von B und A 6= B.
Beispiel (Gängige Mengenbeziehungen)
I
∅ ⊂ M ⊂ M.
I
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
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Darstellung als Mengendiagramme (Venn-Diagramme):
N
N
M
M
N
M
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N
M
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Satz 1.3 (Rechenregeln für Mengenoperationen)
Kommutativität und Assoziativität von Vereinigung und Durchschnitt:
1. M ∪ N = N ∪ M
und
M ∩N =N ∩M
2. (M ∪ N ) ∪ P = M ∪ (N ∪ P )
und
(M ∩ N ) ∩ P = M ∩ (N ∩ P )
(bei Mehrfachvereinigungen bzw. Mehrfachdurchschnitten kann man die
Klammern weglassen:
M ∪ N ∪ P,
M ∩ N ∩ P. )
Distributivität:
3. M ∪ (N ∩ P ) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ P )
4. M ∩ (N ∪ P ) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ P )
de Morganschen Regeln“
”
7. M \(N ∩ P ) = (M \N ) ∪ (M \P )
8. M \(N ∪ P ) = (M \N ) ∩ (M \P )
Man kann Mengen miteinander verheiraten“, so dass dabei eine neue Art
”
von Elementen entsteht . . .
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Definition 1.4 (Kartesisches Produkt von Mengen)
Für Mengen M , N heißt M × N , das kartesische Produkt von M und N ,
die Menge aller Paare (p, q) mit p ∈ M und q ∈ N :
M × N := {(p, q)| p ∈ M und q ∈ N }
Paare sind geordnete Listen aus 2 Objekten. Die Reihenfolge ist wichtig:
(a, b) = (p, q)
bedeutet:
a = p und b = q.
Achtung: {1, 2} und (1, 2) sind vollkommen
verschiedene Objekte!
Beispiel: Schachfelder haben traditionell
Kurzbezeichner wie a1 oder g5:
g5
Mathematische Notation: (a, 1) und (g, 5):
Elemente des kartesischen Produkts
{a, . . . , h} × {1, . . . , 8}.
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Analog zu Paaren bildbar: Tripel bzw. allgemein n-Tupel:
Tripel:
n -Tupel:
z.B.
(π, 2, 2) ∈ R × N × N,
z.B. das 5 -Tupel (1, 3, 2, 3, 4) ∈ N × N × N × N × N
Definition 1.5 (Mehrfache kartesische Produkte)
M1 × . . . × Mn := {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ Mi , i = 1, . . . , n}.
Schreibweise:
M × M =: M 2 ,
M × M × M =: M 3 usw.
Beispiel: {1, 2} × {1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}.
Das sind 2 · 3 = 6 Elemente.
({1, 2} hat 2 und {1, 2, 3} 3 Elemente.)
Kartesisch heißen diese Mengenprodukte, weil ihre Elemente sehr gut in
kartesischen Koordinatensystemen dargestellt werden können.
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So wie der Zahlenstrahl die Menge R veranschaulicht, so veranschaulichen
kartesische Koordinatensysteme mehrdimensionale Räume, wie die Ebene
R2 oder den uns umgebenden Raum R3 . Deren Elemente heißen Punkte.
Beispiel (Kartesische Koordinatensysteme)
3
y
Q = (-3,1)
1
0
-3
P = (3,2)
2
P = (1,2,3)
1
x
1
z
1
3
0
1
2
y
x
Koordinatenachsen aufeinander senkrecht,
Kartesischa heißt dabei:
Skalierung auf Achsen gleich.
a
René Descartes, 1596-1650, französischer Philosoph, Mathematiker und
Naturwissenschaftler.
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