3 . ¨Ubung zum Propädeutikum Mathematik

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Wintersemester 2013
28-29.10.2013
3 . Übung zum Propädeutikum Mathematik
Thema: Variationen zur vollständige Induktion
3.1 Zeigen Sie: Für alle geraden natürlichen Zahlen n ∈ N gilt
n
X
3
(−3)k = (3n − 1).
4
k=1
3.2 Es sei A(n) eine Aussage, abhängig von einem Parameter n ∈ N.
a) Es gelte:
(i) A(1) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(2n).
(iii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(3n).
Folgt aus (i), (ii) und (iii), dass A(n) für alle n ∈ N wahr ist?
b) Es gelte:
(i) A(1) ist wahr.
(ii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n + 2).
(iii) Für alle n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(2n).
Folgt aus (i), (ii) und (iii), dass A(n) für alle n ∈ N wahr ist?
3.3 Für die Fibonaccifolge, also die Folge welche durch f1 = f2 = 1 und fn+1 = fn−1 + fn
definiert ist, zeige man:
Pn
a)
k=1 fk = fn+2 − 1.
b) fn−1 fn+1 = fn2 + (−1)n
Lösungshinweis:
P
Induktionsanfang: Für n P
= 1 gilt nk=1 fk = 1 = 2 − 1 = fn+2 − 1.
Induktionsannahme: Sei nk=1 fn = fn+2 − 1 wahr für ein n ∈ N.
Induktionsschluß:
n+1
X
k=1
fk =
n
X
fk + fn+1 = fn+2 − 1 + fn+1 = fn+3 − 1
k=1
Induktionsanfang: Für n = 2 gilt fn−1 fn+1 = f1 f3 = 2 = 12 + (−1)2 = fn2 + (−1)n
Induktionsannahme: Sei fn−1 fn+1 = fn2 + (−1)n wahr für ein n ∈ N.
Induktionsschluß:
fn fn+2 =
=
=
=
=
fn (fn + fn+1 )
fn2 + fn fn+1
fn−1 fn+1 − (−1)n + fn fn+1
(fn−1 + fn )fn+1 + (−1)n+1
2
+ (−1)n+1
fn+1