Blatt 1

Übungsblatt 1
Analysis 1
Wintersemester 2014/15
Prof. Dr. Alan Rendall
28.10.2014
abzugeben bis 06.11.2014
Aufgaben zur schriftlichen Abgabe
Lösen Sie die folgenden Aufgaben schriftlich und geben Sie Ihre Lösungen bis Donnerstag 10:00 im Briefkasten
Ihrer Übungsgruppe in der vierten Etage des Institutsgebäudes ab! Sie dürfen die Aufgaben allein oder in Gruppen
bearbeiten (nutzen Sie dafür auch das Lernzentrum!), jedoch sollten höchstens je zwei Studierende gemeinsam ein
Lösungsblatt abgeben. Auf diesem sollten dann beide Namen und Matrikelnummern vermerkt sein.
Aufgabe 1
Zeigen Sie durch vollständige Induktion folgende Aussagen!
a) Für jede natürliche Zahl n ist 2 ein Teiler von n2 − n (in dem Sinne, dass
n2 −n
2
eine natürliche Zahl ist).
b) Für jede natürliche Zahl n ≥ 2 gilt
n
∑
1
1
> .
k
2
2
k=n+1
c) Für jede positive ganze Zahl n und jede Menge {a1 , . . . , an } nicht negativer reeller Zahlen (ak ≥ 0 für
k = 1, . . . , n) gilt
n
n
∏
∑
(1 + ak ) ≥ 1 +
ak .
k=1
k=1
Ist die Behauptung auch für n = 0 richtig? (Die Menge {a1 , . . . , an } ist dann die leere Menge ∅.)
Aufgabe 2
Untersuchen Sie (mit Beweis), für welche natürlichen Zahlen n die Ungleichung
3n ≤ n!
gilt!
Aufgabe 3
Finden Sie den Fehler in folgender Argumentation!
Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe.
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass für jede positive ganze Zahl n und alle Menschen in einer Gruppe von n Personen
die gleiche Haarfarbe haben. Dies zeigen wir durch vollständige Induktion über n.
Induktionsanfang. Für n = 1 ist die Behauptung offensichtlich richtig.
Induktionsannahme. Angenommen, die Behauptung gelte für eine gegebene positive ganze Zahl n.
Induktionsschritt. Für eine beliebige Menge von n + 1 Menschen geben wir jedem von ihnen einen Namen mi
(i = 1, . . . , n + 1) und erhalten so die Menge {m1 , . . . , mn+1 } von n + 1 Menschen. Auf die Menge {m1 , . . . , mn }
von n Menschen wenden wir die Induktionsannahme an und schließen, dass alle Menschen m1 , . . . , mn die gleiche
Haarfarbe haben. Die Induktionsannahme gilt aber auch für die Menge {m2 , . . . , mn+1 } von ebenfalls n Menschen.
Also haben auch die Menschen m2 , . . . , mn+1 alle die gleiche Haarfarbe. Damit haben alle n + 1 Menschen
{m1 , . . . , mn+1 } die gleiche Haarfarbe und der Induktionsschritt ist gelungen.
Aufgabe 4
Ein passionierter Literatursammler hat sich eine Bibliothek zugelegt, in der keine zwei Bücher gleich viele Wörter
enthalten. Außerdem hat er darauf geachtet, dass die Anzahl der Bücher in der Bibliothek größer ist als die Anzahl
der Wörter in jedem einzelnen der Bücher. Geben Sie (mit Begründung) den Inhalt eines der in der Bibliothek
enthaltenen Bücher an!
Testaufgaben
Diese Aufgaben sollten Sie innerhalb weniger Minuten und mit wenigen Zeilen lösen können. Falls dies nicht
der Fall ist, wird empfohlen, sie zur Übung zu nutzen. In unregelmäßigen Abständen werden diese oder ähnliche
Aufgaben während der Übung schriftlich abgefragt.
1
Auf diesem ersten Blatt handelt es sich dabei um Aufgaben, die Sie mit den in der Schule erworbenen Kenntnissen
lösen können. Sollte dies nicht der Fall sein, sei eine Wiederholung dieses Schulstoffs empfohlen.
T1 Berechnen Sie ohne Zuhilfenahme technischer Hilfsmittel folgende Zahlen!
(i)
1
4
−
4
25
√
5! + 1
√
(iii) log( e) – Hier bezeichnet log(x) den natürlichen Logarithmus von x (aus der Schule auch als ln(x) bekannt)
und e steht für die Eulersche Zahl)
(ii)
(iv)
√( )
7
3
+3
2
1
96
(v)
√
34 − 24 − 14
2