Vorkurs Physik, Medizinphysik und Lehramt Physik ¨Ubung 05

Wintersemester 2017/18
Technische Universität Dortmund
Vorkurs Physik, Medizinphysik und
Lehramt Physik
Prof. Dr. Gudrun Hiller, Prof. Dr. Shaukat Khan
Übung 05: Funktionen
Mo., der 02. Oktober 2017
1
Linearfaktorzerlegung
Geben Sie folgende Polynome in ihrer Linearfaktordarstellung an.
Hinweis: Ermitteln Sie die erste Nullstelle durch geschicktes Einsetzen.
(a) f (x) = 4x3 − 3x + 1
(b) g(x) = x3 − 9x2 + 26x − 24
(c) h(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1
2
Exponentialfunktion und Logarithmus
Geben Sie eine alternative Schreibweise der folgenden Terme an:
(a)
log x
log a
(b) log a + log b
(c) log a − log b
(d) log a1
(e) ex · e3x + ex
(f) (ex )3
(h) loga (ex )
3
Elementare Funktionen
(a) Skizzieren Sie grob den Verlauf der Funktionen
1. cos(x)
2. sin(x)
3. tan(x)
4. cos−1 (x)
5. sin−1 (x)
(b) Geben Sie für die oben genannten Funktionen Definitions- und Wertebereich an.
(c) Geben Sie ausserdem die Menge der Nullstellen an.
4
Trigonometrie I
(a) Skizzieren Sie die Funktion
f (α) =
1 1
+ cos(2α)
2 2
Ermitteln Sie anhand der Skizze die Konstanten n und m in
f (α) = cosn (m · α)
(b) Beweisen Sie den Zusammenhang aus a)
Hinweis: cos2 (α) − sin2 (α) = cos(2α).
5
Trigonometrie II
Zeichnen Sie die Funktion
f (x) = cos
1
x
und lösen Sie die Gleichung
1
cos
= sin(x)
x
graphisch. Wie lauten die Lösungen im Grenzfall für sehr große x? Lösen Sie die Gleichung
analytisch mithilfe der Beziehung
π
arcsin(x) = 2kπ + − arccos(x) ,
2
wobei k ∈ Z. Vergleichen Sie die Resultate mit der graphischen Lösung und diskutieren Sie
wieder den Fall für große x.
6
Umkehrfunktionen
Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Umkehrfunktionen und stellen Sie diese graphisch
dar.
(a) y =
x
x+1
(b) y =
1
6
(c) y =
sin(x+π)
sin(x+ 23 π)
1
e2x
4
(d) y = (x − 3)2
+ 13 e2x
7
Wurzel und Logarithmus von komplexen Zahlen
Gegeben ist eine allgemeine komplexe Zahl der Form z = a + i b = reiφ .
√
(a) Lösen Sie die Gleichung x = n z, wie viele Lösungen gibt es in Abhängigkeit von n ?
√
(b) Geben Sie alle möglichen Lösungen für x = n 1, mit n = 2, 3, 4 an, und veranschaulichen
Sie das Ergebnis graphisch.
√
√
(c) Berechnen Sie 4 16 und 6 16.
(d) Bestimmen Sie w in ew = z.
Hinweis: Betrachten Sie den Betrag und das Argumnet separat.
8
Gerade und ungerade Funktionen
Jede Funktion mit Definitions- und Wertebereich der reellen Zahlen lässt sich als Summe einer
geraden Funktion fg (x) = fg (−x) und einer ungeraden Funktion fu (x) = −fu (−x) darstellen.
Finden Sie die geraden und ungeraden Funktionen für
(a) Die Heaviside-Funktion (0 für x < 0, 1 für x >= 0). Ignorieren Sie die Stelle x = 0.
(b) Die Exponentialfunktion ex
(c) Das Polynom x3 + 5x2 + 9x + 7
P
(d) Ein beliebiges Polynom n an xn für n ∈ Z.