Mathematische Strukturen

Mathematische Strukturen
Lineare Algebra I
Kapitel 1
19. April 2011
Logistik
Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16
Webseite: www.math.tu-berlin.de/˜holtz Email: [email protected]
Assistent: Sadegh Jokar, MA 373, Sprechstunden Donnerstag 12-14
Tutoren: Kolleck, Loewe, Neumerkel, Zieschang
Anmeldung: über MOSES
Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847
Telefon: (030) 314-21097 Email: [email protected]
Ankündigung: VL am Freitag 12-14 im EB 301
Klausur? Ja (Note) / Nein (keine Note)
Der Kurs gilt mit 50% Punkten für Hausaufgaben als bestanden
Gruppen.
Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Operation“ oder Verknüpfung
”
∗, die jeweils zwei Elemente von G zu einem neuen Element von G
verknüpft und für die die folgenden Regeln (Axiome) erfüllt sind.
I Es gilt das Assoziativgesetz, d.h.
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
I
für alle a, b, c ∈ G .
Es gibt ein neutrales Element e ∈ G mit den folgenden
Eigenschaften:
a) e ∗ a = a für alle a ∈ G .
b) für alle a ∈ G gibt es a0 ∈ G , so dass a0 ∗ a = e.
I
Das Element a0 heißt inverses Element von a.
Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, falls außerdem das
Kommutativgesetz gilt, d.h.
a∗b =b∗a
für alle a, b ∈ G .
Was ist eigentlich ∗?
Die Verknüpfung ∗ ist dabei z.B. die Addition +, dann nennen wir die
Gruppe additiv oder die Multiplikation ·, dann nennen wir die Gruppe
multiplikativ. Es kann aber auch eine andere Verknüpfung sein.
Was ist eigentlich ∗?
Die Verknüpfung ∗ ist dabei z.B. die Addition +, dann nennen wir die
Gruppe additiv oder die Multiplikation ·, dann nennen wir die Gruppe
multiplikativ. Es kann aber auch eine andere Verknüpfung sein.
Beispiele:
I
Die ganzen Zahlen ZZ bilden eine additive kommutative Gruppe.
Was ist eigentlich ∗?
Die Verknüpfung ∗ ist dabei z.B. die Addition +, dann nennen wir die
Gruppe additiv oder die Multiplikation ·, dann nennen wir die Gruppe
multiplikativ. Es kann aber auch eine andere Verknüpfung sein.
Beispiele:
I
I
Die ganzen Zahlen ZZ bilden eine additive kommutative Gruppe.
Die rationalen Zahlen Q bilden auch eine additive kommutative
Gruppe.
Was ist eigentlich ∗?
Die Verknüpfung ∗ ist dabei z.B. die Addition +, dann nennen wir die
Gruppe additiv oder die Multiplikation ·, dann nennen wir die Gruppe
multiplikativ. Es kann aber auch eine andere Verknüpfung sein.
Beispiele:
I
I
I
Die ganzen Zahlen ZZ bilden eine additive kommutative Gruppe.
Die rationalen Zahlen Q bilden auch eine additive kommutative
Gruppe.
Aber Q \ {0} bildet auch eine multiplikative kommutative Gruppe.
Fragen:
I
Bildet die Menge IN eine additive Gruppe?
Was ist eigentlich ∗?
Die Verknüpfung ∗ ist dabei z.B. die Addition +, dann nennen wir die
Gruppe additiv oder die Multiplikation ·, dann nennen wir die Gruppe
multiplikativ. Es kann aber auch eine andere Verknüpfung sein.
Beispiele:
I
I
I
Die ganzen Zahlen ZZ bilden eine additive kommutative Gruppe.
Die rationalen Zahlen Q bilden auch eine additive kommutative
Gruppe.
Aber Q \ {0} bildet auch eine multiplikative kommutative Gruppe.
Fragen:
I
I
Bildet die Menge IN eine additive Gruppe?
Bildet die Menge IR+ = {x ∈ IR : x > 0} eine multiplikative
Gruppe?
Eindeutigkeit von Inversen / neutralem Element
Theorem. Für jede Gruppe (G , ∗) gelten:
(1) Zu jedem a ∈ G existiert genau ein inverses Element e
a ∈ G . Für
dieses gilt e
a∗a = a∗e
a = e.
(2) G enthält genau ein neutrales Element e. Für dieses gilt
e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G .
Eindeutigkeit von Inversen / neutralem Element
Theorem. Für jede Gruppe (G , ∗) gelten:
(1) Zu jedem a ∈ G existiert genau ein inverses Element e
a ∈ G . Für
dieses gilt e
a∗a = a∗e
a = e.
(2) G enthält genau ein neutrales Element e. Für dieses gilt
e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G .
Beweis. Sei e ∈ G ein neutrales Element und sei a ∈ G beliebig. Es gibt
ein inverses Element a1 ∈ G , so dass a1 ∗ a = e. Sei a2 ∈ G ein inverses
Element zu a1 , d.h. a2 ∗ a1 = e. Dann:
Eindeutigkeit von Inversen / neutralem Element
Theorem. Für jede Gruppe (G , ∗) gelten:
(1) Zu jedem a ∈ G existiert genau ein inverses Element e
a ∈ G . Für
dieses gilt e
a∗a = a∗e
a = e.
(2) G enthält genau ein neutrales Element e. Für dieses gilt
e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G .
Beweis. Sei e ∈ G ein neutrales Element und sei a ∈ G beliebig. Es gibt
ein inverses Element a1 ∈ G , so dass a1 ∗ a = e. Sei a2 ∈ G ein inverses
Element zu a1 , d.h. a2 ∗ a1 = e. Dann:
a ∗ a1
= e ∗ (a ∗ a1 ) = (a2 ∗ a1 ) ∗ (a ∗ a1 ) = a2 ∗ (a1 ∗ (a ∗ a1 ))
= a2 ∗ ((a1 ∗ a) ∗ a1 ) = a2 ⊕ (e ∗ a1 ) = a2 ∗ a1 = e .
Eindeutigkeit von Inversen / neutralem Element
Theorem. Für jede Gruppe (G , ∗) gelten:
(1) Zu jedem a ∈ G existiert genau ein inverses Element e
a ∈ G . Für
dieses gilt e
a∗a = a∗e
a = e.
(2) G enthält genau ein neutrales Element e. Für dieses gilt
e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G .
Beweis. Sei e ∈ G ein neutrales Element und sei a ∈ G beliebig. Es gibt
ein inverses Element a1 ∈ G , so dass a1 ∗ a = e. Sei a2 ∈ G ein inverses
Element zu a1 , d.h. a2 ∗ a1 = e. Dann:
a ∗ a1
= e ∗ (a ∗ a1 ) = (a2 ∗ a1 ) ∗ (a ∗ a1 ) = a2 ∗ (a1 ∗ (a ∗ a1 ))
= a2 ∗ ((a1 ∗ a) ∗ a1 ) = a2 ⊕ (e ∗ a1 ) = a2 ∗ a1 = e .
Somit a ∗ e = a ∗ (a1 ∗ a) = (a ∗ a1 ) ∗ a = e ∗ a = a .
Eindeutigkeit von Inversen / neutralem Element
Theorem. Für jede Gruppe (G , ∗) gelten:
(1) Zu jedem a ∈ G existiert genau ein inverses Element e
a ∈ G . Für
dieses gilt e
a∗a = a∗e
a = e.
(2) G enthält genau ein neutrales Element e. Für dieses gilt
e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G .
Beweis. Sei e ∈ G ein neutrales Element und sei a ∈ G beliebig. Es gibt
ein inverses Element a1 ∈ G , so dass a1 ∗ a = e. Sei a2 ∈ G ein inverses
Element zu a1 , d.h. a2 ∗ a1 = e. Dann:
a ∗ a1
= e ∗ (a ∗ a1 ) = (a2 ∗ a1 ) ∗ (a ∗ a1 ) = a2 ∗ (a1 ∗ (a ∗ a1 ))
= a2 ∗ ((a1 ∗ a) ∗ a1 ) = a2 ⊕ (e ∗ a1 ) = a2 ∗ a1 = e .
Somit a ∗ e = a ∗ (a1 ∗ a) = (a ∗ a1 ) ∗ a = e ∗ a = a . Ist a3 ∈ G ein
weiteres inverses Element zu a, so folgt
a3 = a3 ∗ e = a3 ∗ (a ∗ a1 ) = (a3 ∗ a) ∗ a1 = e ∗ a1 = a1 , also ist das
inverse Element zu a eindeutig.
Eindeutigkeit von Inversen / neutralem Element
Theorem. Für jede Gruppe (G , ∗) gelten:
(1) Zu jedem a ∈ G existiert genau ein inverses Element e
a ∈ G . Für
dieses gilt e
a∗a = a∗e
a = e.
(2) G enthält genau ein neutrales Element e. Für dieses gilt
e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G .
Beweis. Sei e ∈ G ein neutrales Element und sei a ∈ G beliebig. Es gibt
ein inverses Element a1 ∈ G , so dass a1 ∗ a = e. Sei a2 ∈ G ein inverses
Element zu a1 , d.h. a2 ∗ a1 = e. Dann:
a ∗ a1
= e ∗ (a ∗ a1 ) = (a2 ∗ a1 ) ∗ (a ∗ a1 ) = a2 ∗ (a1 ∗ (a ∗ a1 ))
= a2 ∗ ((a1 ∗ a) ∗ a1 ) = a2 ⊕ (e ∗ a1 ) = a2 ∗ a1 = e .
Somit a ∗ e = a ∗ (a1 ∗ a) = (a ∗ a1 ) ∗ a = e ∗ a = a . Ist a3 ∈ G ein
weiteres inverses Element zu a, so folgt
a3 = a3 ∗ e = a3 ∗ (a ∗ a1 ) = (a3 ∗ a) ∗ a1 = e ∗ a1 = a1 , also ist das
inverse Element zu a eindeutig.
Ist nun e
e ∈ G ein weiteres neutrales Element, dann e
e = e ∗e
e = e (die
erste Gleichung gilt, weil e ein neutrales Element ist; die zweite Gleichung
gilt, weil a ∗ e
e = a für alle a ∈ G gilt).
Ringe.
Ein kommutativer Ring mit Eins-Element (R, +, ·) ist eine Menge R mit
zwei Operationen“ + ( Addition“) und · ( Multiplikation“), für die
”
”
”
folgende Gesetze gelten:
(Ass +)
(Komm +)
(Null)
(Inv +)
(Ass ·)
(Komm ·)
(Eins)
(Distr)
(a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c ∈ R
(Assoziativgesetz),
a + b = b + a für alle a, b ∈ R (Kommutativgesetz),
Es gibt ein e0 ∈ R mit e0 + a = a + e0 = a für alle a ∈ R
(Existenz eines Null-Elements),
für alle a ∈ R gibt es a0 ∈ R mit a + a0 = e0
(Existenz eines inversen Elements,
wir schreiben −a anstatt a0 ),
(a · b) · c = a · (b · c) für alle a, b, c ∈ R (Assoziativgesetz),
a·b =b·a
für alle a, b ∈ R
(Kommutativgesetz),
Es gibt ein e1 ∈ R mit e1 · a = a · e1 = a für alle a ∈ R
(Existenz eines Eins-Elements),
(a + b) · c = a · c + b · c
für alle a, b, c ∈ R (Distributivgesetz).
NB. Wir schreiben 0 für e0 und 1 für e1 .
Beispiel: Die rationalen Zahlen bilden einen solchen kommutativen Ring
mit Eins-Element. Dabei haben wir in Q aber noch etwas mehr, nämlich
dass auch Inverse bezüglich der Multiplikation (außer für 0) existieren.
Damit kommen wir zur dritten Struktur:
NB. Wir schreiben 0 für e0 und 1 für e1 .
Beispiel: Die rationalen Zahlen bilden einen solchen kommutativen Ring
mit Eins-Element. Dabei haben wir in Q aber noch etwas mehr, nämlich
dass auch Inverse bezüglich der Multiplikation (außer für 0) existieren.
Damit kommen wir zur dritten Struktur:
Körper.
(i) Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins-Element und r ∈ R. Dann
heißt r invertierbar, falls es ein r̃ ∈ R mit r · r̃ = 1 gibt. Wir
schreiben dann r −1 oder 1r für r̃ .
(ii) Ein kommutativer Ring mit Eins-Element heißt Körper, wenn 0 6= 1
und zusätzlich das weitere Gesetz gilt:
(Inv ·) Jedes Element r ∈ R mit r 6= 0 ist invertierbar.
Der kleinste Körper F2 .
F2 = ({0, 1}, +, ·), wobei + und · wie folgt definiert sind:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1
Die Multiplikation ist die übliche. Die Addition geht modulo“ 2, das
”
heißt, man nimmt die übliche Addition und verwendet immer den
ganzzahligen Rest nach Division durch 2 als Ergebnis:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 (6 : 2 = 3 Rest 0),
1 + 1 + 1 = 1 (3 : 2 = 1 Rest 1).
Der kleinste Körper F2 .
F2 = ({0, 1}, +, ·), wobei + und · wie folgt definiert sind:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1
Die Multiplikation ist die übliche. Die Addition geht modulo“ 2, das
”
heißt, man nimmt die übliche Addition und verwendet immer den
ganzzahligen Rest nach Division durch 2 als Ergebnis:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 (6 : 2 = 3 Rest 0),
1 + 1 + 1 = 1 (3 : 2 = 1 Rest 1).
Frage 1. Warum ist das ein Körper?
Der kleinste Körper F2 .
F2 = ({0, 1}, +, ·), wobei + und · wie folgt definiert sind:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1
Die Multiplikation ist die übliche. Die Addition geht modulo“ 2, das
”
heißt, man nimmt die übliche Addition und verwendet immer den
ganzzahligen Rest nach Division durch 2 als Ergebnis:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 (6 : 2 = 3 Rest 0),
1 + 1 + 1 = 1 (3 : 2 = 1 Rest 1).
Frage 1. Warum ist das ein Körper?
Frage 2. Gibt es Körper mit weniger als 2 Elementen?
Weitere Beispiele.
Sei
V
v1 + v2
v1 · v2
√
= {v = a + 2 b | a, b ∈ Q},
√
√
= (a1 + 2 b1 )√+ (a2 + 2 b2 )
= (a1 + a2 ) + 2 (b1 + b2 ),
√
√
= (a1 + √
2 b1 ) · (a2 +
√ 2 b2 )
= a1 a2 + 2 a1 b2 + √ 2 a2 b1 + 2b1 b2
= (a1 a2 + 2b1 b2 ) + 2 (a1 b2 + a2 b1 ).
Ist {V , +, ·} ein Körper (oder nur ein Ring“)?
”
Weitere Beispiele.
Sei
V
v1 + v2
v1 · v2
√
= {v = a + 2 b | a, b ∈ Q},
√
√
= (a1 + 2 b1 )√+ (a2 + 2 b2 )
= (a1 + a2 ) + 2 (b1 + b2 ),
√
√
= (a1 + √
2 b1 ) · (a2 +
√ 2 b2 )
= a1 a2 + 2 a1 b2 + √ 2 a2 b1 + 2b1 b2
= (a1 a2 + 2b1 b2 ) + 2 (a1 b2 + a2 b1 ).
Ist {V , +, ·} ein Körper (oder nur ein Ring“)?
”
√
√
1
1
a − 2b
a
b
√
=
= 2
= 2
− 2 2
.
2
2
v
a − 2b
a − 2b
a − 2b 2
a + 2b
Weitere Beispiele.
Sei
V
v1 + v2
v1 · v2
√
= {v = a + 2 b | a, b ∈ Q},
√
√
= (a1 + 2 b1 )√+ (a2 + 2 b2 )
= (a1 + a2 ) + 2 (b1 + b2 ),
√
√
= (a1 + √
2 b1 ) · (a2 +
√ 2 b2 )
= a1 a2 + 2 a1 b2 + √ 2 a2 b1 + 2b1 b2
= (a1 a2 + 2b1 b2 ) + 2 (a1 b2 + a2 b1 ).
Ist {V , +, ·} ein Körper (oder nur ein Ring“)?
”
√
√
1
1
a − 2b
a
b
√
=
= 2
= 2
− 2 2
.
2
2
v
a − 2b
a − 2b
a − 2b 2
a + 2b
√
Da 2 6∈ Q, ist a2 − 2b 2 6= 0 für alle v ∈ V , v 6= 0. Damit ist v1 ∈ V für
alle v ∈ V , v 6= 0. Damit folgt, dass {V , +, ·} ein Körper ist!
Komplexe Zahlen.
Sei C = {z = a + ib | a, b ∈ IR}, wobei i =
ist, mit den Operationen
z1 + z2
z1 · z2
√
−1 die imaginäre Einheit
= (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ),
= (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + b1 a2 ).
Komplexe Zahlen.
Sei C = {z = a + ib | a, b ∈ IR}, wobei i =
ist, mit den Operationen
z1 + z2
z1 · z2
√
−1 die imaginäre Einheit
= (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ),
= (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + b1 a2 ).
Für z = a + ib heißt a Realteil und b Imaginärteil von z.
Null-Element
Eins-Element
imaginäre Einheit
0 = 0 + i0
1 = 1 + i0
i = 0 + i1
(0, 0)
(1, 0)
(0, 1)
Die konjugiert komplexe Zahl zu z = a + ib ist die Zahl z̄ = a − ib.
Die konjugiert komplexe Zahl zu z = a + ib ist die Zahl z̄ = a − ib.
C ist ein Körper, denn das inverse Element zu z 6= 0 ist
1
1
a − ib
z̄
a − ib
a
b
=
=
=
= 2
= 2
−i
∈ C,
z
a + ib
(a + ib)(a − ib)
zz̄
a + b2
a + b 2 a2 + b 2
da a2 + b 2 > 0 für (a, b) 6= (0, 0).
Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt (benannt nach René Descartes) von n Mengen
M1 , . . . , Mn ist
M1 × · · · × Mn := {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ Mi für i = 1, . . . , n}.
Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt (benannt nach René Descartes) von n Mengen
M1 , . . . , Mn ist
M1 × · · · × Mn := {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ Mi für i = 1, . . . , n}.
Für das n-fache kartesische Produkt einer Menge M benutzen wir auch
die Notation M n :
M n := M × · · · × M = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ M für i = 1, . . . , n}.
|
{z
}
n−mal
Ein Element (x, y ) ∈ M × N bezeichnen wir auch als ein (geordnetes)
Paar und ein Element (x1 , . . . , xn ) ∈ M1 × · · · × Mn wird oft (geordnetes)
n-Tupel genannt.
Relationen
Sind M, N Mengen, dann heißt eine Menge R ⊆ M × N eine Relation
zwischen M und N. Ist M = N, so nennen wir R eine Relation auf M.
Für (x, y ) ∈ R schreiben wir auch x ∼R y oder x ∼ y , wenn klar ist um
welche Relation es sich handelt.
Relationen
Sind M, N Mengen, dann heißt eine Menge R ⊆ M × N eine Relation
zwischen M und N. Ist M = N, so nennen wir R eine Relation auf M.
Für (x, y ) ∈ R schreiben wir auch x ∼R y oder x ∼ y , wenn klar ist um
welche Relation es sich handelt.
Ist (mindestens) eine der Mengen M und N leer, so ist jede Relation
zwischen M und N ebenfalls die leere Menge.
Relationen
Sind M, N Mengen, dann heißt eine Menge R ⊆ M × N eine Relation
zwischen M und N. Ist M = N, so nennen wir R eine Relation auf M.
Für (x, y ) ∈ R schreiben wir auch x ∼R y oder x ∼ y , wenn klar ist um
welche Relation es sich handelt.
Ist (mindestens) eine der Mengen M und N leer, so ist jede Relation
zwischen M und N ebenfalls die leere Menge.
Beispiel. M = N und N = Q, dann ist
R = {(x, y ) ∈ M × N | xy = 1}
eine Relation zwischen M und N, die auch wie folgt angegeben werden
kann:
R = {(1, 1), (2, 1/2), (3, 1/3), . . . } = {(n, 1/n) | n ∈ IN}.
Eigenschaften von Relationen.
Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt
(1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x,
Eigenschaften von Relationen.
Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt
(1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x,
(2) symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: (x ∼ y ) ⇒ (y ∼ x),
Eigenschaften von Relationen.
Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt
(1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x,
(2) symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: (x ∼ y ) ⇒ (y ∼ x),
(3) transitiv, falls für alle x, y , z ∈ M gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ (x ∼ z).
Eigenschaften von Relationen.
Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt
(1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x,
(2) symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: (x ∼ y ) ⇒ (y ∼ x),
(3) transitiv, falls für alle x, y , z ∈ M gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ (x ∼ z).
Falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist, so nennen wir R eine
Äquivalenzrelation auf M.
Eigenschaften von Relationen.
Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt
(1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x,
(2) symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: (x ∼ y ) ⇒ (y ∼ x),
(3) transitiv, falls für alle x, y , z ∈ M gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ (x ∼ z).
Falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist, so nennen wir R eine
Äquivalenzrelation auf M.
Wichtiges Beispiel. Sei n ∈ N gegeben, dann ist die Menge
Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar}
eine Äquivalenzrelation auf Z. Warum?
Eigenschaften von Relationen.
Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt
(1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x,
(2) symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: (x ∼ y ) ⇒ (y ∼ x),
(3) transitiv, falls für alle x, y , z ∈ M gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ (x ∼ z).
Falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist, so nennen wir R eine
Äquivalenzrelation auf M.
Wichtiges Beispiel. Sei n ∈ N gegeben, dann ist die Menge
Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar}
eine Äquivalenzrelation auf Z. Warum?
Reflexivität: a − a = 0 ist ohne Rest durch n teilbar.
Eigenschaften von Relationen.
Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt
(1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x,
(2) symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: (x ∼ y ) ⇒ (y ∼ x),
(3) transitiv, falls für alle x, y , z ∈ M gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ (x ∼ z).
Falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist, so nennen wir R eine
Äquivalenzrelation auf M.
Wichtiges Beispiel. Sei n ∈ N gegeben, dann ist die Menge
Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar}
eine Äquivalenzrelation auf Z. Warum?
Reflexivität: a − a = 0 ist ohne Rest durch n teilbar.
Symmetrie: Falls a − b ohne Rest durch n teilbar ist, so gilt dies
auch für b − a.
Eigenschaften von Relationen.
Sei M eine Menge. Eine Relation R auf M heißt
(1) reflexiv, falls für alle x ∈ M gilt: x ∼ x,
(2) symmetrisch, falls für alle x, y ∈ M gilt: (x ∼ y ) ⇒ (y ∼ x),
(3) transitiv, falls für alle x, y , z ∈ M gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ (x ∼ z).
Falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist, so nennen wir R eine
Äquivalenzrelation auf M.
Wichtiges Beispiel. Sei n ∈ N gegeben, dann ist die Menge
Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar}
eine Äquivalenzrelation auf Z. Warum?
Reflexivität: a − a = 0 ist ohne Rest durch n teilbar.
Symmetrie: Falls a − b ohne Rest durch n teilbar ist, so gilt dies
auch für b − a.
Transitivität: Seien a − b und b − c ohne Rest durch n teilbar, dann
gilt a − c = (a − b) + (b − c). Beide Summanden auf der rechten
Seite sind ohne Rest durch n teilbar, daher gilt dies auch für a − c.
Äquivalenzklassen
Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Dann heißt für x ∈ M
die Menge
[x]R := {y ∈ M | (x, y ) ∈ R} = {y ∈ M | x ∼ y }
die Äquivalenzklasse von x (bezüglich R).
Äquivalenzklassen
Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Dann heißt für x ∈ M
die Menge
[x]R := {y ∈ M | (x, y ) ∈ R} = {y ∈ M | x ∼ y }
die Äquivalenzklasse von x (bezüglich R).
Die Äquivalenzklasse [x]R eines Elements x ∈ M ist niemals die leere
Menge, denn es gilt stets x ∼ x (Reflexivität) und somit x ∈ [x]R . Wenn
klar ist, um welche Äquivalenzrelation R es sich handelt, schreiben wir
oft lediglich [x] anstatt [x]R .
Äquivalenzklassen
Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Dann heißt für x ∈ M
die Menge
[x]R := {y ∈ M | (x, y ) ∈ R} = {y ∈ M | x ∼ y }
die Äquivalenzklasse von x (bezüglich R).
Die Äquivalenzklasse [x]R eines Elements x ∈ M ist niemals die leere
Menge, denn es gilt stets x ∼ x (Reflexivität) und somit x ∈ [x]R . Wenn
klar ist, um welche Äquivalenzrelation R es sich handelt, schreiben wir
oft lediglich [x] anstatt [x]R .
Theorem. Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M und seien
x, y ∈ M. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) [x] = [y ].
(2) [x] ∩ [y ] 6= ∅.
(3) x ∼ y .
Theorem. Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M und seien
x, y ∈ M. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) [x] = [y ].
(2) [x] ∩ [y ] 6= ∅.
(3) x ∼ y .
Beweis.
(1) ⇒ (2) : Wegen x ∼ x ist x ∈ [x]. Aus [x] = [y ] folgt dann x ∈ [y ]
und somit x ∈ [x] ∩ [y ].
Theorem. Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M und seien
x, y ∈ M. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) [x] = [y ].
(2) [x] ∩ [y ] 6= ∅.
(3) x ∼ y .
Beweis.
(1) ⇒ (2) : Wegen x ∼ x ist x ∈ [x]. Aus [x] = [y ] folgt dann x ∈ [y ]
und somit x ∈ [x] ∩ [y ].
(2) ⇒ (3) : Wegen [x] ∩ [y ] 6= ∅, gibt es ein z ∈ [x] ∩ [y ]. Für dieses gilt
x ∼ z und y ∼ z, also x ∼ z und z ∼ y (Symmetrie) und somit x ∼ y
(Transitivität).
Theorem. Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M und seien
x, y ∈ M. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) [x] = [y ].
(2) [x] ∩ [y ] 6= ∅.
(3) x ∼ y .
Beweis.
(1) ⇒ (2) : Wegen x ∼ x ist x ∈ [x]. Aus [x] = [y ] folgt dann x ∈ [y ]
und somit x ∈ [x] ∩ [y ].
(2) ⇒ (3) : Wegen [x] ∩ [y ] 6= ∅, gibt es ein z ∈ [x] ∩ [y ]. Für dieses gilt
x ∼ z und y ∼ z, also x ∼ z und z ∼ y (Symmetrie) und somit x ∼ y
(Transitivität).
(3) ⇒ (1) : Sei x ∼ y und sei z ∈ [x], d.h. x ∼ z. Aus x ∼ y folgt nun
mit Hilfe der Transitivität und Symmetrie, dass y ∼ z, also z ∈ [y ]. Das
heißt, es gilt [x] ⊆ [y ]. Genauso zeigt man [y ] ⊆ [x], so dass [x] = [y ]
folgt.
Zurück zu unserem Beispiel.
Fakt. Sei n ∈ N gegeben, dann ist die Menge
Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar}
eine Äquivalenzrelation auf Z.
Zurück zu unserem Beispiel.
Fakt. Sei n ∈ N gegeben, dann ist die Menge
Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar}
eine Äquivalenzrelation auf Z.
Für a ∈ Z heißt die Äquivalenzklasse [a] bzgl. der Relation Rn die
Restklasse von a modulo n.
Zurück zu unserem Beispiel.
Fakt. Sei n ∈ N gegeben, dann ist die Menge
Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar}
eine Äquivalenzrelation auf Z.
Für a ∈ Z heißt die Äquivalenzklasse [a] bzgl. der Relation Rn die
Restklasse von a modulo n. Wie man leicht sieht ist
[a] = a + nZ := {a + nz | z ∈ Z}. Die Äquivalenzrelation Rn liefert uns
eine Zerlegung der Menge Z in n disjunkte Teilmengen.
Zurück zu unserem Beispiel.
Fakt. Sei n ∈ N gegeben, dann ist die Menge
Rn := {(a, b) ∈ Z2 | a − b ist ohne Rest durch n teilbar}
eine Äquivalenzrelation auf Z.
Für a ∈ Z heißt die Äquivalenzklasse [a] bzgl. der Relation Rn die
Restklasse von a modulo n. Wie man leicht sieht ist
[a] = a + nZ := {a + nz | z ∈ Z}. Die Äquivalenzrelation Rn liefert uns
eine Zerlegung der Menge Z in n disjunkte Teilmengen. Insbesondere gilt
[0] ∪ [1] ∪ · · · ∪ [n − 1] =
n−1
[
[a] = Z.
a=0
Die Menge aller Restklassen modulo n bezeichnet man häufig mit Z/nZ,
also Z/nZ := {[0], [1], . . . , [n − 1]}. Diese Menge spielt im
mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie eine wichtige Rolle.