Probeklausur Teil 2

Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik
Dr. Astrid Brinkmann
Wintersemester 2009/10
Arithmetik
So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen
Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.
(Ernst Mach)
Probeklausur – Letzter Teil
Mengen, Mengenoperationen
Gegeben seien die Mengen A, B und C.
A sei die Menge der geraden natürlichen zweistelligen Zahlen.
B sei die Menge der Teiler von 21.
C sei die Menge der zweistelligen Vielfachen von 3.
Dann gilt:
1(
)
A∩ B = ∅
2(
)
10 ∈ ( A ∪ C ) \ B
3(
)
B ∪ C = {3, 7} ∪ C
4(
)
Die Produktmenge {1,3} × B besteht aus 4 Elementen.
5(
)
Die Menge B hat 6 verschiedene zweielementige Teilmengen.
Primzahlen
6(
)
Jede natürliche Zahl, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist, ist eine
Primzahl.
7(
)
Jede natürliche Zahl a > 1 hat mindestens eine Primzahl als Teiler.
Diophantische Gleichungen
Die diophantische Gleichung 6 x + 9 y = 2.115
8(
)
hat genau eine Lösung.
9(
)
hat unendlich viele Lösungen.
10 (
)
hat keine Lösung.
11 (
)
hat als Lösungen Paare der Form ( x0 + 3k , y0 − 2k ) , k ∈ ℤ , wobei ( x0 , y0 ) ein
spezielles Lösungspaar der Gleichung ist.
12 (
)
beschreibt eine Gerade, die keinen Gitterpunkt durchläuft.
Relationen
13 (
)
Die Relation ≤ ist reflexiv.
14 (
)
Die Relation ≤ ist symmetrisch.
15 (
)
Die Relation ≤ ist antisymmetrisch.
16 (
)
Die Relation ≤ ist transitiv.
17 (
)
Die Relation ≤ ist eine Äquivalenzrelation.
18 (
)
Die Kongruenzrelation modulo 3 ist antisymmetrisch.
19 (
)
Die Kongruenzrelation modulo 3 ist eine Äquivalenzrelation.
20 (
)
Die Kongruenzrelation modulo 3 bewirkt eine Klasseneinteilung von ℤ in die
3 Restklassen −1 , 0 und 1 .
ggT und kgV
Für a, b ∈ ℕ gilt:
ggT(2ab, 6a ) ⋅ kgV(2ab, 6a ) ist gleich
21 (
)
6ab
22 (
)
12ab
23 (
)
12a 2 b
Restklassenrechnung
Für die Restklassenmultiplikation ⊗ auf R6 gilt:
24 (
)
Das neutrale Element bzgl. ⊗ ist 0 .
25 (
)
Das inverse Element zu 2 ist 3 .
26 (
)
Zu 1 gibt es kein inverses Element.
27 (
)
Die Restklassenmultiplikation ⊗ auf R6 ist assoziativ.
28 (
)
Die Restklassenmultiplikation ⊗ auf R6 ist kommutativ.
29 (
)
( R6 , ⊗) ist eine Gruppe.
Verknüpfungstafeln
Gegeben sei folgende Verknüpfungstafel zur Verknüpfung ∗ auf der Menge {x, y, z} :
∗
x
y
z
x
x
y
z
y
y
z
x
z
z
x
y
30 (
)
y ist das neutrale Element bzgl. ∗ .
31 (
)
y ist zu sich selber invers bzgl. ∗ .
32 (
)
∗ ist kommutativ.
33 (
)
Es gilt: ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) = x
Teilbarkeitsregeln
Folgende Aussagen sind richtig:
34 (
)
3 | 120525
35 (
)
9 | 120525
36 (
)
11 | 128567
37 (
)
8 | 128564
38 (
)
Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
39 (
)
Ist eine Zahl durch 4 und durch 8 teilbar, so ist sie auch durch 32 teilbar.
40 (
)
Jede natürliche Zahl hat denselben Elferrest wie ihre Quersumme.
Rechenproben
Es wird geprüft, ob die Aufgabe 3.072 ⋅ 932 = 427731 richtig gerechnet wurde.
41 (
)
Die Neunerprobe zeigt, dass die Aufgabe falsch gerechnet wurde.
42 (
)
Die Elferprobe zeigt, dass die Aufgabe falsch gerechnet wurde.
43 (
)
Weder die Neunerprobe noch die Elferprobe deuten auf einen Fehler hin.
Verschiedene Zahlsysteme
Es gilt:
44 (
)
Addiert man die beiden römischen Zahlen DCLXXIV und MCCCXXVI, so
erhält man in römischer Darstellungsweise die Zahl MM.
45 (
)
Eine Zahldarstellung im Fünfersystem enthält nur die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5.
46 (
)
1000005 = 5555510.
47 (
)
10104 = 10001002
48 (
)
2345 = 10004 + 510
49 (
)
2014 + 1234 = 3204
50 (
)
4015 ⋅ 35 = 12035
51 (
)
BAC15 = 263710.
52 (
)
ABBA13 + 122113 = 1210113
53 (
)
Es gibt ein n ∈ ℕ 0 mit 14610 = 2n3 + n 2 + 2 .