Mathematische Methoden I (WS 10/11)

Mathematische Methoden I (WS 10/11)
Grundlagen
Grundgrößen mit Maßeinheiten
(SI-Einheiten ( Système International d‘Unités“))
”
Grundgröße
Länge
Zeit
Masse
elektr. Strom
Temperatur
Lichtstärke
ebener Winkel
Raumwinkel
Stoffmenge
Einheit
m (Meter)
s (Sekunde)
kg (Kilogramm)
A (Ampère)
K (Kelvin)
cd (candela)
rad (Radiant)
sr (Steradiant)
mol (Mol)
Formelzeichen
l
t (time)
m (mass)
I
T (Temp.)
IV
α, β, γ, . . .
Ω
n
Abgeleitete Größen
Abgeleitete Größen können durch Grundgrößen (Basiseinheiten) ausgedrückt werden.
abgeleitete Größe
Frequenz
Kraft
Druck
Energie
Leistung
elektr. Ladung
elektr. Spannung
elektr. Widerstand
elektr. Kapazität
magnet. Fluss
Beleuchtungsstärke
Einheit
Hz := 1s (Hertz)
N := kg·m
(Newton)
s2
N
Pa := m2 (Pascal)
J := Nm (Joule)
W := Js (Watt)
C := As (Coulomb)
V := CJ (Volt)
Ω := VA (Ohm)
F := VC (Farad)
Wb := Vs (Weber)
lx := cd·sr
(Lux)
m2
(diese Liste ist nicht vollständig)
Formelzeichen
ν
F (Force)
p (pressure)
E (Energie)
P (Power)
Q
U
R (Resistance)
C (Capacitance)
Φ
EV
Griechisches Alphabet
alpha
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota
kappa
lambda
my
α
β
γ
δ
ε, ²
ζ
η
ϑ, θ
ι
κ, κ
λ
µ
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
ny
xi
omikron
pi
rho
sigma
tau
ypsilon
phi
chi
psi
omega
ν
ξ
o
π, $
ρ, %
σ, ς
τ
υ
ϕ, φ
χ
ψ
ω
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
Größenordnungen (Abkürzungen für Zehnerpotenzen)
1
Zehntel
= 10−1
10
1
Hundertstel 100 = 10−2
1
Tausendstel 1000
= 10−3
1
= 10−6
Millionstel
1000000
−9
Milliardstel 10
Billionstel
10−12
Billiardstel 10−15
d
c
m
µ
n
p
f
DeziZentiMilliMikroNanoPicoFemto-
10 = 101
100 = 102
1000 = 103
1000000 = 106
109
1012
1015
D
h
k
M
G
T
P
DekaHektoKiloMegaGigaTeraPeta-
Zehn
Hundert
Tausend
Million
Milliarde
Billion
Billiarde
Mathematische Zeichen
+
·
/
=
6
=
≡
<
>
≤
≥
¿
plus
minus
mal
geteilt durch
gleich
ungleich
identisch gleich
kleiner als
größer als
kleiner oder gleich
größer oder gleich
klein gegen
À
±
∼
≈
∞
P
Q
!
:
:=
⊥
=
b
groß gegen
plus oder minus
proportional zu
ungefähr gleich
unendlich“
”
Summenzeichen
Produktzeichen
Fakultätszeichen
sodass
definiert durch
steht senkrecht auf
entspricht
Beispiele für Summe, Produkt, Fakultät
3
P
i=1
n
P
i=1
3
Q
ai = a1 + a2 + a3
i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n2 (n + 1) (Gauß)
ai = a1 · a2 · a3
i=1
n! := 1 · 2 · 3 · ...(n − 1) · n =
n
Q
i=1
i und Konvention 0! = 1
logische Zeichen
Zeichen Bedeutung
∈
Element von
3
enthält als Element
∈
/
kein Element von
⊆
Untermenge von ... oder gleich
⊇
enthält als Untermenge ... oder ist gleich
∪
Vereinigungsmenge
∩
Durchschnittsmenge
∅
Nullmenge
\
ohne
∃
es existiert
∀
für alle
⇒
daraus folgt (ist hinreichende Bedingung für...)
⇐
gilt wenn (ist notwendige Bedingung für...)
⇔
gilt genau dann, wenn (ist notw. und hinr. Bedingung für...)
∨
oder
∧
und
¬
nicht
Beispiele
A ⇒ B bedeutet “aus A folgt B”
oder “A ist hinreichend für B”
oder “B ist notwendig für A”
B ⇒ A analog
A ⇔ B bedeutet: (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
Beispiele für logische Äquivalenzen
¬ (A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) (Gesetz von Morgan)
((A ∧ B) ∨ C)≡ ((A ∨ C) ∧ (B ∨ C)) (Distributivgesetz)
(A ∧ (B ∧ C)) ≡ ((A ∧ B) ∧ C) (Assoziativgesetz)
Zahlen
i) Natürliche Zahlen: N := {1, 2, 3, ...}
Natürliche Zahlen und neutrales Element: N0 := N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, ...}
ii) Ganze Zahlen: Z := N ∪ {0}
 ∪ {−a | a ∈ N} = {0, 1, −1, 2, −2, ...}

a
;a ≥ 0
(Einschub: Betrag: |a| =
)

−a ; a < 0
n
o
iii) Rationale Zahlen(=”Brüche”): Q := pq | p ∈ Z & q ∈ Z \ {0}
√
(Nebenbemerkung: 2 ∈
/ Q)
iv) Reelle Zahlen: R
R entspricht der Menge aller Punkte der Zahlengeraden
v) Komplexe Zahlen: Cy später
Beweisverfahren
i) Direkter Beweis
Die zu beweisende Aussage ist von der Form A ⇒ B. Annahme: A ist wahr, folgere
daraus, dass B wahr ist.
Beispiel:
Es sei a eine ganze Zahl. Zeige (6 | a) ⇒ (3 | a) .
(Notation: (b | a) bedeutet “a ist teilbar durch b”, oder “es existiert eine ganze Zahl k
mit a = k · b.)
Direkter Beweis: (6 | a) ⇒ ∃k, so dass a = 6 · k = (3 · 2) · k = 3 · (2 · k)
| {z }
=:k̃
⇒ ∃k̃,so dass a = 3 · k̃ ⇒ (3 | a). ¤
ii) Beweis durch Umkehrschluss
Äquivalenz: (A ⇒ B) ≡ (¬B ⇒ ¬A)
Annahme: ¬B ist wahr, folgere daraus, dass ¬A wahr ist.
iii) Beweis durch Widerspruch (indirekter Beweis)
Zu beweisen ist, dass eine Aussage wahr ist. Annahme: die Aussage ist falsch; führe
diese Aussage zum Widerspruch.
Beispiel:
Satz :
√
2 ist irrational.
Beweis: Annahme:
√
2 ist rational, d.h. ∃ teilerfremde a, b ∈ Z, so dass
2b2 = a2 ⇒ a2 ist gerade ⇒ a ist gerade ⇒ ∃c ∈ Z, so dass a = 2c
⇒ 2b2 = |{z}
4c2 ⇒ b2 = 2c2 ⇒ b ist gerade ⇒ 2 ist Teiler von a und b
=a2
WIDERSPRUCH!
iv) vollständige Induktion
Es sei A(n) eine Aussage, die von n ∈ N abhängt.
1. Induktionsanfang: zeige A(1)
2. Induktionsannahme: A(n) gilt für n
3. Induktionsschluss: zeige, dass ∀n ∈ N gilt: A(n)⇒ A(n + 1)
Daraus folgt A(n) für alle n.
√
2=
a
b
⇒
Beispiel:
Es sei zu zeigen, dass
n
P
(4k − 3) = n (2n − 1) ∀n ∈ N
k=1
1. Induktionsanfang: zu zeigen, dass die Behauptung für n=1 gilt.
n=1
LHS = 4 − 3 = 1
RHS = 1 · (2 − 1) = 1
√
2. Induktionsannahme: s.o.
3. Induktionsschluss: zu zeigen ist A(n) ⇒ A(n + 1), d.h es muss unter Benutn+1
P
zung der Induktionsannahme A(n) gezeigt werden dass gilt:
(4k − 3) =
k=1
(n + 1) (2 (n + 1) − 1)
n
P
LHS =
(4k − 3) + 4(n + 1) − 3 = n(2n − 1) + 4(n + 1) − 3=2n2 + 3n + 1
k=1
↑
Ind.ann.
RHS = 2(n + 1)2 − (n + 1)=2n2 + 3n + 1 = LHS
⇒die Behauptung gilt für alle n,
q.e.d.