Anwendungen von Netzwerkfluss

Anwendungen von Netzwerkfluss
Wojciech Polcwiartek
Institut für Informatik
FU Berlin
13. 01. 2009
Gliederung
• Einführung
• Netzwerk, Fluss und Schnitt
• Max-Flow-Min-Cut Theorem
• Algorithmen zum Bestimmen vom maximalen Fluss
• Ford – Fulkerson Algorithmus
• Edmonds – Karp Algorithmus
• Anwendungen
•
•
•
•
•
Bipartites Matching
Zirkulation mit Anforderungen (mit unteren Schranken)
Umfrageentwurf
Bildsegmentierung
Projektauswahl
Aktuelle Themen in der Algorithmik: Anwendungen von Netzwerkfluss
Einführung: Netzwerk
• Ein Netzwerk N=(V, E, s, t, c) ist ...
• ein gerichteter Graph
ohne Mehrfachkanten
s
• mit zwei ausgezeichneten Knoten
• Quelle s aus V
• Senke t aus V
c=1
c=3
c=1
c=2
t
c=4
c=3
c=0
c=2
• mit einer Kapazitätsfunktion c, die jeder Kante e aus E eine
nicht-negative, reellwertige Kapazität c(e) zuweist
• Ein Restnetzwerk (Residualnetzwerk) vom N ist ein
Netzwerk N'=(V, E, s, t, c'), in dem die Kapazitäten jeder
Kante um den Fluss durch diese Kante vermindert wurden
Aktuelle Themen in der Algorithmik: Anwendungen von Netzwerkfluss
Einführung: s-t-Fluss
• Ein s-t-Fluss ist eine Funktion f,
die jeder Kante e im Netzwerk
einen nicht-negativen, reellen
s
Flusswert f(e) zuweist
• Bedingungen vom Fluss:
• Kapazitätsbeschränkung
c=1 f=0
c=3 f=1
c=1 f=0
c=2 f=0
t
c=4 f=1
c=1 f=1
c=3 f=2
c=2 f=1
0 f ec e , ∀ e∈ E
• Flusserhaltung
∑ f e− ∑ f e=0
einc v
e ausv
• Wert vom Fluss im Netzwerk
• Verbesserungspfad ist ein Pfad (v[1], ..., v[k]), wobei
• v[1] = s, v[k]=t
• c(v[i],v[i+1]) – f(v[i], v[i+1]) > 0
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Einführung: Schnitt
• Ein Schnitt ist eine Menge von Kanten eines Graphen
G = (V,E), die zwischen zwei Knotenmengen S und T
liegt, wobei
•
•
S ∪T =V
S ∩T =∅
• Kapazität c(S, T) vom Schnitt (S,T)
S
c=1
c=3
s
c=1
c=2
t
c=4
c=3
c=0
c=2
Aktuelle Themen in der Algorithmik: Anwendungen von Netzwerkfluss
T
Einführung: Max-Flow-Min-Cut
• Der maximale Fluss im Netzwerk hat genau den Wert
dessen minimalen Schnitts.
• Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
• f ist der maximale Fluss in G
• das Restnetzwerk G' enthält keinen Verbesserungspfad
• |f| = c(S,T) gilt für irgendeinen Schnitt (S,T)
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Gliederung
• Einführung
• Netzwerk, Fluss und Schnitt
• Max-Flow-Min-Cut Theorem
• Algorithmen zum Bestimmen vom maximalen Fluss
• Ford – Fulkerson Algorithmus
• Edmonds – Karp Algorithmus
• Anwendungen
•
•
•
•
•
Bipartites Matching
Zirkulation mit Anforderungen (mit unteren Schranken)
Umfrageentwurf
Bildsegmentierung
Projektauswahl
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Algorithmen: Ford-Fulkerson
• Erfinder
• Lester Randolph Ford, Jr
• beteiligt auch an Bellman-Ford Algorithmus
• Delbert Ray Fulkerson
• Idee:
Solange es im Netzwerk einen Verbesserungspfad gibt,
richte den Fluss durch diesen Pfad
• Laufzeit: O( |E| * f' )
• f' ist der maximale Fluss im Graphen
• Vorsicht: Algorithmus muss nicht terminieren
• Uri Zwick: „The smallest networks on which the Ford-Fulkerson
maximum flow procedure may fail to terminate“
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (1/9)
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (2/9)
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (3/9)
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (4/9)
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (5/9)
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (6/9)
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (7/9)
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (8/9)
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Algorithmen: Ford-Fulkerson (9/9)
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Algorithmen: Edmonds-Karp
• Erfinder
• Yefim Dinitz (1970) (University of the Negev)
• Jack Edmonds und Richard Karp (1972) (Univ. of California)
• R. Karp bekannt auch wegen „Karp's 21 NP-C problems“
• Idee
Funktioniert ähnlich zum Ford-Fulkerson Algorithmus.
Der Verbesserungspfad wird aber mit Hilfe von
Breitensuche ausgewählt, so dass die Länge der
Verbesserungspfade steigt.
• Laufzeit: O( |V| * |E|² )
• Beweis: siehe Cormen, Leierson, Rivest und Stein
• O( |E| ) - Verbesserungspfad finden
• Jedes Mal wird mind. eine Kante gesättigt
• Laenge vom Pfad ist max. |V|
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• Netzwerk, Fluss und Schnitt
• Max-Flow-Min-Cut Theorem
• Algorithmen zum Bestimmen vom maximalen Fluss
• Ford – Fulkerson Algorithmus
• Edmonds – Karp Algorithmus
• Anwendungen
•
•
•
•
•
Bipartites Matching
Zirkulation mit Anforderungen (mit unteren Schranken)
Umfrageentwurf
Bildsegmentierung
Projektauswahl
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Anwendungen: Bipartites Matching
• Reales Problem:
Paarung der Menschen
• Bipartites Matching / Paarung /
Unabhängige Kantenmenge
• Eingabe: ungerichteter, bipatrtiter
Graph G= L∪R , E 
• M ⊂E ist ein Matching, wenn zwei
beliebige Kanten aus M mit
verschiedenen Knoten inzident sind
• Ziel: finde Paarung mit der höchsten Kardinalität
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Anwendungen: Bipartites Matching
• Formulierung als Netzwerkflussproblem
• Erstelle Graph
G ' = L∪R∪{s , t} , E ' 
• Richte alle Kanten von L nach R und weise den unendliche
Kapazität zu Füge Quelle s und Senke t hinzu
• Füge Kanten mit einer Kapazität von 1 von der Quelle zu jedem
der Knoten aus L
• Füge Kanten mit einer Kapazität von 1 von jedem der Knoten
aus R zu der Senke
• Rechne den maximalen Fluss in G' aus
G
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G'
Anwendungen: Bipartites Matching
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Anwendungen: Bipartites Matching
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Anwendungen: Zirkulation mit
Anforderungen
• Reales Problem:
Mehrere Datenquellen und
Datensenken in einem Netzwerk
• Eingabe
• Gerichteter Graph G=(V,E)
• Kantenkapazität c(e), für alle e aus E
• Angebot/Anforderung d(v), für alle v aus V
• Anforderung d(v) > 0
• Angebot d(v) < 0
• Gültige Zirkulation ist eine Funktion, die erfüllt auf
solchen Graphen
• Kapazitätbeschränkung 0 f ec e , ∀ e∈ E
• Flusserhaltung ∑ f e− ∑ f e=d v 
einc v
e ausv
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Anwendungen: Zirkulation mit
Anforderungen
• Nötige Bedingung für eine gültige Zirkulation
•
d v =− ∑ d  v =D
∑
v :d  v0
v: d  v0
• Formulierung als Netzwerkflussproblem
• Erstelle Graph
G ' =G∪{s , t }, E ' 
• Füge eine Quelle s und Senke t hinzu
• Verbinde die Quelle mit jedem Knoten mit Angebot mit Hilfe
von einer gerichteter Kante mit der Kapazität -d(v)
• Verbinde jeden Knoten mit Anforderung mit der Senke mit Hilfe
von einer gerichteter Kante mit der Kapazität d(v)
G
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G'
Anwendungen: Zirkulation mit
Anforderungen
• G hat eine gültige Zirkulation, wenn der maximale Fluss
in G' den Wert D hat
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Anwendungen: Zirkulation mit
Anforderungen und unteren Schranken
• Reales Problem:
Netz der Abwasserkanäle
• Minimaler Fluss nötig
• Eingabe
• Gerichteter Graph G=(V,E)
• Kantenkapazität c(e) und
untere Schranke l(e),für alle e aus E
• Angebot/Anforderung d(v), für alle v aus V
• Anforderung d(v) > 0
• Angebot d(v) < 0
• Gültige Zirkulation ist eine Funktion, die erfüllt auf
solchen Graphen
• Kapazitätbeschränkung l e  f ec e , ∀ e∈E
• Flusserhaltung ∑ f e− ∑ f e=d v 
einc v
e ausv
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Anwendungen: Zirkulation mit
Anforderungen und unteren Schranken
• Formulierung als Netzwerkflussproblem
• Erstelle Graph wie in „Zirkulation mit Anforderungen“
• Modelliere untere Schranke mit Anforderungen im G'
• Lasse l(e) Fluss durch die Kante durch
• Aktualisiere Anforderungen an beiden Enden
• Weiter wie „Zirkulation mit Anforderungen“
G
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G'
Anwendungen: Umfagenentwurf
• Reales Problem
Marktanalysen, Kundenumfragen
• Problem
• Frage n Kunden nach m Produkten
• Man darf den Kunden i nur dann
nach Produkt j fragen, wenn i j besitzt
• Stelle dem Kunden i zwischen c(i) und c'(i) Fragen
• Befrage zwischen p(j) und p'(j) Kunden nach Produkt j
• Ziel: Finde eine passende Umfrage, wenn möglich
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Anwendungen: Umfagenentwurf
• Formulierung als Netzwerkflussproblem
• Modelliere Problem als Zirkulation mit unteren Schranken
• Kunden und Produkte als Knoten
• Füge zwei Knoten s und t hinzu
• Verbinde mit Kunden i und Produkt j, wenn i j besitzt;
Kantenschranken [0,1]
• Verbinde s mit allen Kunden; Kantenschranken [c(i),c'(i)]
• Verbinde alle Produkte mit t; Kantenschranken [p(j),p'(j)]
• Verbinde t mit s; Kantenschranken [0, unendl.]
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Anwendungen: Umfagenentwurf
• Eine Umfrage existiert wenn es im aufgebauten Graphen
eine gültige Zirkulation gibt
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Anwendungen: Bildsegmentierung
• Reales Problem
Erkennung von Objekten
auf einem Bild
• Problem
• Jedes Pixel i hat ein Maß a(i)>=0,
das seine Ähnlichkeit mit
dem Vordergrund A ausdrückt
• Jedes Pixel i hat ein Maß b(i)>=0, das seine Ähnlichkeit mit
dem Hintergrund B ausdrückt
• Die Entfernungsstrafe p(i,j)>=0 zwischen zwei Pixeln i und
j, von den ein zum Vorder- und ein zum Hintergrund gehört
• Ziel: finde eine Partition
p i , j 
• Mit maximalem q  A , B=∑ a i ∑ b j −
∑
i∈A
j∈ B
 i , j ∈ E ;∣A ∩ {i , j }∣=1
oder
q '  A , B =∑ b i ∑ a  j 
p i , j
∑
• Mit minimalem
i∈A
j∈B
i , j ∈ E ;∣A∩ {i , j }∣=1
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Anwendungen: Bildsegmentierung
• Formulierung als Netzwerkflussproblem
• Erstelle einen Graph G=(V,E)
•
•
•
•
•
Pixel als Knoten
Füge zwei Knoten s und t hinzu
Verbinde s mit allen Pixeln i; Kantenkapazität a(i)
Verbinde alle Pixeln j mit t; Kantenkapazität b(j)
Verbinde Benachbarte Pixel i und j mit zwei gerichteten Kanten
(entgegen gesetzte Richtung) mit Kapazität p(i,j)
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Anwendungen: Bildsegmentierung
• Die gesuchte Partition q'(A,B) hat die Größe des Kapazität
vom Schnitt c(A,B)
c  A , B=∑ bi  ∑ a  j 
i∈ A
j ∈B
∑
 i , j∈ E ;∣A ∩ {i , j }∣=1
Aktuelle Themen in der Algorithmik: Anwendungen von Netzwerkfluss
p i , j =q '  A , B 
Anwendungen: Projektauswahl
• Reales Problem
Projektverwaltung,
strategische Planung
• Problem
• Es gibt eine Menge der potenziellen
Projekte
• Mit Projekt v ist erwarteter Gewinn p(v) verbunden
• Gewinn kann auch negativ sein (Verlust)
• Manche Projekte hängen von anderen ab
• Eine Menge der Projekte ist gültig, wenn alle voneinander
abhängige Projekte zu dieser Menge gehören
• Ziel: Finde eine gültige Menge der Projekte, so dass der
erwartete Gewinn maximal ist
• Eine Partition q(A,B), so dass
Aktuelle Themen in der Algorithmik: Anwendungen von Netzwerkfluss
p i
∑
i∈A
maximal ist
Anwendungen: Projektauswahl
• Formulierung als Netzwerkflussproblem
• Erstelle einen Graph G=(V,E)
• Projekte als Knoten
• Füge zwei Knoten s und t hinzu
• Verbinde jedes Projekt mit allen seinen Vorbedingungen;
Kantenkapazität = unendl.
• Verbinde s mit allen profitablen Projekten; Kantenkapazität p(i)
• Verbinde alle verlustbehaftete Projekte mit t;
Kantenkapazität -p(i)
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Anwendungen: Projektauswahl
p i 
• Minimaler Schnitt ist die Partition q(A,B), für die ∑
i∈A
maximal ist
• Die gesuchte Projektmenge ist die Untermenge A \ {s}
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Quellen
• Jon Kleinberg, Éva Tardos, „Algorithm Design“
• Folien von K. Wayne, www.cs.princeton.edu/~wayne
• www.wikipedia.org
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Vielen Dank!
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