Lösungen zum Übungstest zur Linearen Algebra für PhysikerInnen

Lösungen zum Übungstest zur Linearen Algebra für
PhysikerInnen vom 24.11.2010
1)
a) Lösen Sie folgendes Gleichungsystem durch Gauss-Elimination über dem
Körper R der reellen Zahlen:
x1
+ x2
− x2
+ x3
− x3
x3
+
+
+
x4
x4
x4
= 1
= 0
= 1.
Das Gleichungssystem ist bereits in Stufenform und kann deshalb sofort
durch Rückwärtseinsetzten gelöst werden. Weiters ist das Gleichungssystem
unterbestimmt und besitzt unendlich viele Lösungen. Wir wählen dazu x4
fest
x4 = t ∈ R
und berechnen die übrigen Unbekannten durch Rückwärtseinsetzen. Es ergibt sich folgende Lösungsmenge:
L = {(1 − 2t, −1 + 2t, 1 − t, t) ∈ R4 | t ∈ R}.
b) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem durch Gauss-Elimination über R:
1
2
t
x
3
=
.
2
y
2
b1) Für welche reellen Zahlen t ist das obige Gleichungssystem eindeutig
lösbar und was bedeutet dies geometrisch?
b2) Gibt es reelle Zahlen t, sodass das obige Gleichungssystem unendlich
viele Lösungen besitzt?
Durch elementare Zeilenumformung ergibt sich folgendes Schema
1
2
t
2
3
1
−→
2
0
t
t-1
3
2.
ad b1) Das Gleichungssystem ist daher für t 6= 1 eindeutig lösbar:
L=
t−3 2
,
t−1 t−1
∈ R2 | t ∈ R, t 6= 1 .
ad b2) Nein, da das Gleichungssystem für t = 1 nicht lösbar ist.
2)
a) Berechnen Sie die Matrixprodukte AB und BA:
Es ist:

1
AB = 2
3
 
1
A = 2 , B = 1 2
3

2 3
4 6 , BA = 14 .
6 9
3 .
b) Berechnen Sie alle Potenzen An , n ∈ N, für die Matrix
A=
0
3
1
.
0
Wir berechnen:
A2 = 3I,
A3 = 3A,
A4 = 32 I
wobei I die 2 × 2 Einheitsmatrix ist. Daher
2
A2n = A
. . A}2 = 3n I
| .{z
n Mal
und
A2n+1 = AA2n = 3n A ∀n ≥ 0.
c) Was kann man über das Produkt zweier Matrizen der folgenden Gestalt
(1)

∗
0

0
0

∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗

0 ∗ ∗
0 0 ∗
aussagen? Dabei bedeutet jeder Stern einen beliebigen Eintrag.
Eine Matrix der Gestalt (1) wird obere Dreiecksmatrix genannt. Allgemeiner
lässt sich sogar sagen: Für A, B ∈ Mn×n zwei obere Dreiecksmatrizen ist
das Produkt C = AB wieder eine n × n obere Dreiecksmatrix.
3)
a) Zeigen Sie, ob die Teilmenge {(x, y, z) | 5x + 7y − z = 0} des R3 auch einen
Teilraum bildet.
Seien u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ A := {(x, y, z) | 5x + 7y − z = 0}.
Wir zeigen zunächst die Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Da u ∈ A
gilt 5u1 + 7u2 − u3 = 0, da v ∈ A gilt 5v1 + 7v2 − v3 = 0. Daher gilt auch
5(u1 + v1 ) + 7(u2 + v2 ) − (u3 + v3 ) = 0 und dies ist äquivalent zu u + v ∈ A.
Wir zeigen Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation: Sei λ ∈ R. Da
u ∈ A gilt auÿerdem 5(λu1 )+7(λu2 )−(λu3 ) = 0 und daher ist auch λu ∈ A.
Also ist A ein Teilraum.
b) Zeigen Sie, welche der folgenden Teilmengen des R2 auch Teilräume sind
und veranschaulichen Sie die Teilmengen durch eine Skizze:
b1) {(x, y) | x = y oder x = −y + 1}
b2) {(x, y) | y ≤ x + 1 und y ≤ −3x + 5}
b3) {(x, y) | x = 2y}.
ad b1)
y
x = −y + 1
x
x=y
B1 := {(x, y) | x = y oder x = −y + 1}. Es sind (1, 1), (0, 1) ∈ B1 aber
(1, 1) + (0, 1) = (1, 2) ∈
/ B1 . Daher ist die Menge B1 nicht abgeschlossen
bezüglich Addition und kann daher kein Teilraum sein.
ad b2)
y
y =x+1
x
y = −3x + 5
B2 := {(x, y) | y ≤ x + 1 und y ≤ −3x + 5}. Es ist zwar (1, 1) ∈ B2 aber
λ(1, 1) ist im allgemeinen nicht in B2 für λ ∈ R. Wähle zum Beispiel λ = 5.
ad b3)
y
x = 2y
x
Seien u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ B3 := {(x, y) | x = 2y}.
Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Da u ∈ B3 gilt u1 = 2u2 , da v ∈ B3
gilt v1 = 2v2 . Daher gilt auch u1 + v1 = 2(u2 + v2 ) und u + v ist in B3
enthalten.
Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation: Sei λ ∈ R beliebig. Da
u ∈ B3 gilt auch λu1 = 2λu2 und daher ist λu ∈ B3 .
Daher ist B3 ein Teilraum.
c) Welche der folgenden Aussagen sind wahr und welche falsch?
Jeder Teilraum ist auch ein Vektorraum.
Wahr. Laut Denition ist eine Teilmenge U eines Vektorraums V genau
dann ein Teilraum, wenn U für sich genommen die Vektorraumaxiome erfüllt. (Zusatz: Dies ist bereits dann dann der Fall, wenn U hinsichtlich Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.)
Die leere Menge ist ein Vektorraum.
Falsch. Ein Vektorraum enthält zumindest den Nullvektor.
Ein Vektorraum besteht aus mindestens zwei Elementen.
Falsch. Betrachte den trivialen Vektorraum der nur den Nullvektor enthält.