Formelsammlung Höhere Mathematik - Beck-Shop

Formelsammlungen
Formelsammlung Höhere Mathematik
von
Wilhelm Göhler, Barbara Ralle
17., bearb. Aufl.
Formelsammlung Höhere Mathematik – Göhler / Ralle
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
Thematische Gliederung:
Mathematik Allgemein
Harri Deutsch 2011
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 8171 1881 6
W. Göhler
Formelsammlung
Höhere Mathematik
Zusammengestellt von Wilhelm Göhler
Bearbeitet von Dipl.-Math. Barbara Ralle
17. Auflage
Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH
Gräfstraße 47
60486 Frankfurt am Main
[email protected]
www.harri-deutsch.de
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ISBN 978-3-8171-1881-6
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17. Auflage, 2011
c Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2011
Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Brand-Erbisdorf <www.naake-satz.de>
Druck: freiburger graphische betriebe <www.fgb.de>
Printed in Germany
Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
Vorwort
Die Notwendigkeit und der Zweck von Wissensspeichern in einer Zeit der sprunghaften Entwicklung
und Erweiterung der Wissenschaft bedürfen keiner besonderen Begründung. Mit dem vorliegenden
kleinen Wissensspeicher »Höhere Mathematik – Formeln und Hinweise« soll nun den bereits vorhandenen Formelsammlungen nicht eine weitere, sondern eine anders geartete hinzugefügt werden.
Aufbauend auf den Kenntnissen der Elementarmathematik, an deren wichtigste Formeln und Sätze
aus Geometrie, Arithmetik und Goniometrie erinnert wird, wurden in den einzelnen Gebieten der
höheren Mathematik nur die wesentlichen Formeln aufgenommen, die im Rahmen der Grundvorlesungen an den Hoch- und Fachschulen behandelt werden. Das gleiche gilt für die Auswahl der
Integrationsmethoden und Typen von Differentialgleichungen, deren Lösungswege jeweils angedeutet werden.
Zum leichteren Aufsuchen der Formeln und Beziehungen wurde – obwohl eine Formelsammlung
kein Lehrbuch sein kann und soll – dem Wissensspeicher die Systematik eines Lehrbuches bzw.
einer Vorlesung zugrunde gelegt, und zwar sowohl im einzelnen als auch insgesamt, ohne daß allerdings Überschneidungen und Verlagerungen gänzlich vermieden werden konnten. Die kurzgefaßten
Defnitionen und Erläuterungen am Anfang jedes Gebietes stellen Erinnerungshilfen für die nachfolgenden Formeln dar. Neben der Vermittlung von mathematischem Wissen und rechnerischen Fertigkeiten ist es die Hauptaufgabe einer Vorlesung und damit auch des Wissensspeichers, das mathematische, logische Denken zu entwickeln. Beides, Systematik und Logik, sollen in erster Linie auch den
Weg weisen, auf dem man die jeweils gesuchte Formel finden kann. Wenn sich der Leser die Mühe
gemacht hat, die Formelsammlung im Überblick zur Kenntnis zu nehmen, wird er das Gesuchte
schneller finden, als es mit dem Sachwörterverzeichnis möglich ist. Auch werden bewußte Erfahrungen und steter Gebrauch das Auffinden beschleunigen.
Wenn an manchen Stellen auf die Literatur verwiesen oder gelegentlich ein Hinweis weggelassen
wurde, so geschah das aus Platzgründen, da nicht zuletzt der Übersichtlichkeit wegen der Umfang
des Wissensspeichers begrenzt werden mußte.
Es ist die Absicht des Verfassers, mit diesem kleinen Wissensspeicher allen Studierenden ein Arbeitsmittel in die Hand zu geben, das die Formulierung und den Ansatz mathematischer Aufgaben
und damit deren Lösung erleichtert.
W. Göhler
Vorwort zur 17. Auflage
Es ist schön zu sehen, dass die vor über 40 Jahren von meinem Vater erstmals veröffentlichte Formelsammlung immer mehr Studierenden das Eindringen in die Mathematik erleichtert. Mit dazu
beigetragen hat natürlich die ständige Aktualisierung und Anpassung des Inhalts an die Bedürfnisse
der Mathematikausbildung unserer Hochschulen.
Für die mir dabei erwiesene fachkundige Unterstützung von Mathematikern der TU Bergakademie
Freiberg, insbesondere Herrn Dr. A. Bellmann, sowie Herrn Prof. Dr. Paditz von der Hochschule für
Technik und Wirtschaft Dresden möchte ich mich an dieser Stelle herzlich bedanken.
Mein Dank gilt auch dem Verlag Harri Deutsch für die gute Zusammenarbeit.
Hinweise und Vorschläge zur Verbesserung des Inhalts oder der Gestaltung der nächsten Auflage
nimmt der Verlag gern entgegen.
B. Ralle
Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
Inhaltsverzeichnis
1
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
é
1
2
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
é
2
3
Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
é
3
4
Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
é
4
5
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
é
5
6
Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
é
6
7
Zahlenfolgen und Reihen mit konstanten Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
é
7
8
Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
é
8
9
Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
é
9
10
Differenzial- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Variabler .
66
é
10
11
Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
é
11
12
Differenzialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
é
12
13
Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz . . . . . . . . . . . .
80
é
13
14
Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
é
14
15
Lineare Systeme von Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
88
é
15
16
Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
é
16
17
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
é
17
18
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
é
18
19
Mathematische Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
é
19
20
Tabellen zur Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
é
20
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
é
S
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Einige mathematische Zeichen
Zeichen
Analysis
Zahlbereiche
N
Z
Q
R
C
Intervalle
[a,b]
(a,b) oder ]a,b[
(a,b] oder ]a,b]
[a,b) oder [a,b[
Logik
¬
∨
∧
→
↔
Mengenlehre
n o
{x | E(x)}
∈
6∈
=
⊂
∪
n
[
i=1
∩
n
\
i=1
\
0/
×
Erläuterung
Beispiel
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
2∈N
−2 ∈ Z
1/3 ∈ Q
√
2∈R
1+ i∈C
abgeschlossenes I.:
offenes I.:
links offenes I.:
rechts offenes I.:
{x | x ∈ R,
{x | x ∈ R,
{x | x ∈ R,
{x | x ∈ R,
a 5 x 5 b}
a < x < b}
a < x 5 b}
a 5 x < b}
0 ∈ [0,1]
0 6∈ (0,1)
(−∞,c] = {x | x 5 c}
[d,∞) = {x | x = d}
Negation, »nicht«
Alternative, »oder«
Konjunktion, »und«
Implikation, »wenn. . . , so«
Äquivalenz, »genau dann, wenn. . . «
endliche
Menge
unendliche
Menge aller Elemente x, die die
Eigenschaft E(x) haben
Element von
nicht Element von
Gleichheit zweier Mengen
M1 = M2 : M1 und M2 haben die
gleichen Elemente
Teilmenge von; enthalten in
M1 ⊂ M2 : jedes Element von M1
ist auch Element von M2
Vereinigung von 2 Mengen
M1 ∪ M2 = {x | x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 }
Vereinigung von n Mengen
M1 ∪ M2 ∪ . . . ∪ Mn
= {x | x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 ∨ . . . ∨ x ∈ Mn }
Durchschnitt von 2 Mengen
M1 ∩ M2 = {x | x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 }
Durchschnitt von n Mengen
M1 ∩ M2 ∩ . . . ∩ Mn
= {x | x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 ∧ . . . ∧ x ∈ Mn }
Differenz von 2 Mengen
M1 \ M2 = {x | x ∈ M1 ∧ x 6∈ M2 }
leere Menge
enthält überhaupt keine Elemente
Produktmenge
M1 × M2 = {(x,y) | x ∈ M1 und y ∈ M2 }
{1,2,3}
{1,3,5, . . .}
{x | x > 1} = (1,∞)
a ∈ {a,b,c}
d 6∈ {a,b,c}
{2,4} ⊂ {2,3,4}
{1,2} ∪ {2,3,4} = {1,2,3,4}
{1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}
{1,2,3} \ {2,3} = {1}
{2,5} × {8} = {(2,8),(5,8)}
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1
Komplexe Zahlen
1 Komplexe Zahlen
Imaginäre Einheit i2 = −1
Potenzen i4n = 1 i4n+1 = i
√
√
−a = i · a
(a > 0)
Imaginäre Zahl
4n+2
4n+3
−n
i
= −1 i
= − i i = (− i)n (n = 0,1, . . .)
Darstellungsformen
z = a + b i = r(cos ϕ + i · sin ϕ ) = r · e iϕ
i. A.
2i
r
i
b
ϕ
0
a Realteil von z
b Imaginärteil von z
r Betrag von z
ϕ Argument von z
a,b,r reelle Zahlen,
r = 0, −π < ϕ 5 π (Hauptwert),
ϕ bis auf ganzzahliges
Vielfaches von 2π bestimmt
z
2 a
1
r. A.
Umrechnungsformeln:
a = r · cos ϕ
b = r · sin ϕ
p
r = a2 + b2 =| z |
Euler’sche Formel
b
tan ϕ =
a

 0, falls a > 0
b
π , falls a < 0, b = 0
ϕ = arctan
+

a
−π , falls a < 0, b < 0
e iϕ = cos ϕ + i · sin ϕ
e− iϕ = cos ϕ − i · sin ϕ
Addition und Subtraktion
z1 ± z2 = (a + b i) ± (c + d i) = (a ± c) + (b ± d) i
Multiplikation
z1 · z2 = r1 (cos ϕ 1 + i · sin ϕ 1 ) · r2 (cos ϕ 2 + i · sin ϕ 2 ) = r1 e iϕ 1 · r2 e iϕ 2
= r1 r2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i · sin(ϕ 1 + ϕ 2 )]
= r1 r2 · e i(ϕ 1 +ϕ 2 )
Division
z1
r
r
= 1 [cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i · sin(ϕ 1 − ϕ 2 )] = 1 · e i(ϕ 1 −ϕ 2 )
z2
r2
r2
(r2 6= 0)
Potenzieren (n ganzzahlig)
(cos ϕ + i · sin ϕ )n = cos(nϕ ) + i · sin(nϕ ) (Satz von Moivre)
zn = [r(cos ϕ + i · sin ϕ )]n = rn [cos(nϕ ) + i · sin(nϕ )] = rn e i(nϕ )
Radizieren (n reell)
ϕ +k·2π
p
√
√
ϕ + k · 2π
ϕ + k · 2π
n
r(cos ϕ + i · sin ϕ ) = n r cos
+ i · sin
= n r · ei n
n
n
Einheitswurzeln
√
k·2π
k · 2π
k · 2π
(n = 2,3, . . .)
n
1 = cos
+ i · sin
= ei n
(k = 0,1,2, . . . ,n − 1)
n
n
Logarithmieren
ln z = ln(r eiϕ ) = ln r + i(ϕ + 2kπ ) (k = 0, ± 1, ± 2, . . .)
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1
2
Geometrie
2 Geometrie
Sätze, Strecken, Winkel, Punkte bei Dreieck und Kreis
2
Winkel
(an geschnittenen Parallelen)
β α
α′
β ′′
α +β = 180◦
α0 = α
β 00 = β
C
γ
b
A
(Nebenwinkel)
(Stufenwinkel)
(Wechselwinkel)
.
a>b⇔α >β
a+b>c
a−b<c
(weitere Formeln durch zyklische Vertauschung)
β1
B
c
α
(da die Schenkel
paarweise aufeinander
senkrecht stehen)
α + β + γ = 180◦
α + β < 180◦
β1 = α + γ
(Außenwinkel)
a<b⇔α <β
a=b⇔α =β
a
β
α
α = α1
α1 .

Höhen


Seitenhalbierenden = Schwerpunkt
Schnittpunkt der

 Winkelhalbierenden = Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises
Mittelsenkrechten
= Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises
Flächen- und Streckenbeziehungen
Kongruenzsätze: Kongruenz von Dreiecken (∼
=) bei Übereinstimmung in
1.
2.
3.
4.
zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel (sws)
einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln (wsw; sww)
drei Seiten (sss)
zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (SsW )
Ähnlichkeitssätze: Ähnlichkeit von Dreiecken (∼) bei Übereinstimmung im (in)
1.
2.
3.
4.
Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
zwei Winkeln
Verhältnis der drei Seiten
Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel
Sätze am rechtwinkligen
Dreieck
Strahlensätze
D′
C
A
b
B
S
a
h
D
C′
SA : SC
SA : SC 0
AB : CD
AB : C 0 D 0
C
.
q
= SB : SD
= SB : SD 0
= SA : SC = SB : SD
= SA : SC 0 = SB : SD 0
2
α
A
P
D
C
T
Sehnensatz
PB · PC = PA · PD
Sekantensatz SA · SB = SC · SD
2
Tangentensatz SA · SB = ST
2
S
B
2
Pythagoras: a + b = c
Höhensatz: h2 = pq
Kathetensatz: b2 = cq, a2 = cp
B
Kreis
p
c
A
γ
.
β
Mittelpunkts- und Peripheriewinkel β = 2α
Thales-Satz: Umfangswinkel über Durchmesser
ein Rechter
Sehnentangentenwinkel γ = α
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3
Geometrie
Flächeninhalt (A)
Umfang (U)
2s = a + b + c;
h Höhe
% Inkreisradius)
(r Umkreisradius;
U
A
Dreieck
Längen
weitere Formeln durch zyklische Vertauschung
1
1
abc
A3 = chc = ab · sin γ = %s =
2
2
4r
√
= s(s − a)(s − b)(s − c)
sin β · sin γ
= a2
= 2r2 sin α sin β sin γ
2 sin α
β
γ
α
s = 4r cos cos cos
2
2
2
abc
a
r=
=
4A3
2 sin α
% = 4r sin
α
2
sin
β
2
sin
2
C
γ
r
b
A
hc
α
a
β
c
2
√
3
a
2
√
√
3
3
a %=
a
3
6
√
3 2
a
4
h=
(a = b 6= c)
1 2
c2
sin2 α
a sin γ = c2
=
tan α
2
2 sin γ
4
hc =
Viereck
e, f Diagon;
allgemein
A4 = e · f · sin ϕ =
Quadrat
a2
Parallelogramm
aha = bhb
p
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2 ε
√
√
1
2
4a
e = 2a r =
a %= a
2
2
√
2(a + b)
e = a2 + b2 für Rechteck
Trapez
1
(a + c)h = mh
2
a+b+c+d
Kreis
π r2 =
gleichseitiges
(b = c = a)
gleichschenklig
ϕ = ](e, f );
π 2
d
4
1
br
2
1
[br − s(r − h)]
2
Sektor
Segment
Ellipse
πab
Parabelabschnitt
4
x1 y1
3
ε =
1
(α + γ ) oder
2
akc
2π r = π d
b=
πr
180◦
≈π
α
B
γ
◦
√
3
(a + b) − ab
2
r=
1p 2
4a − c2
2
1
(β + δ );
2
h
m
2s = a + b + c + d
Höhe
Mittelparallele
r
d
b
Radius
Durchmesser
Bogenlänge über α
s
h
Segmentsehne
Bogenhöhe
a, b Halbachsen
(Sehne durch Parabelpunkt (x1 , y1 )
senkrecht zur Achse
der Parabel y2 = ±2px)
s6
Einbeschriebenes regelmäßiges Vieleck
An =
n 2
r sin
2
360◦
n
sn = 2r sin
180◦
n
h6
(n Anzahl der Ecken)
hn = r cos
180◦
r
s6
n
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4
Geometrie
Inhalt von Oberflächen (O) und Mantelflächen (M), Rauminhalte (V)
(G Grundfläche h Höhe
O
2
Kugel
V
4 3
πR
3
4π R2
Kugelzone
bzw. -schicht
Kugelabschnitt
(-segment)
M
2π hR
πh
6
πh
π h(4R − h)
2π hR
= (r2 + h2 )π
6
=
π h2
3
2
π hR2
3
Prisma
2G + M
G·h
2π r(h + r)
2π rh
gerader
Kreiskegelstumpf
R
r
h
R
(3R − h)
π r2 h
p
h
G + G2
(G1 + G1 G2 + G2 ) ≈ 1
h
3
2
G1 + G2 + M
1
G·h
3
π r(r + s)
π [r12 + r22
+ s(r1 + r2 )]
π rs
1 2
πr h
3
π s(r1 + r2 )
πh 2
(r1 + r1 r2 + r22 ) ≈
3
s=
4
π abc
3
Rotationsellipsoid
4
π ab2
3
(Rotation um a)
π ph2
√
r2 + h2
πh 2
(r + r22 )
2 1
πh
4
Ellipsoid
Rotationsparaboloid
h
r
1
G·h
3
Kegel
gerader
Kreiskegel
h
R
G·h
Pyramide
Pyramidenstumpf
r
(3r2 + h2 )
π R(2h + r)
Zylinder
r1
(3r2 + 3r12 + h2 )
Kugelausschnitt
(-sektor)
gerader
Kreiszylinder
r,R Radius s Mantellinie)
(r1 + r2 )2
a,b,c Halbachsen
(y2 = 2px rotiert um x-Achse; h = x)
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80
Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz
13 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
und Lösungsansatz
(Auswahl)
F(x, y, y 0 ) = 0
1. Ordnung
y 0 = g(x) · h(y)
Trennung der Variablen:
Z
Z
dy
= g(x) dx
h(y)
y0 = ϕ
Subst.:
z=
y
x
y
y 0 = xz 0 + z
x
Z
H(y) = G(x) + C
Ähnlichkeitsdifferenzialgl.
dz
ϕ (z) − z
= ln |x| + C
Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Allgemeine Hinweise für lineare Differenzialgleichungen beliebiger Ordnung
Homogene lineare Differenzialgleichungen
Eine homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung hat genau n linear unabhängige Lösungen,
deren Linearkombination die allgemeine Lösung yH (x) der homogenen Differenzialgleichung ist.
Inhomogene lineare Differenzialgleichungen
13
Die allgemeine Lösung yI (x) einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung gewinnt man aus der allgemeinen Lösung yH (x) der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung durch Addition einer beliebigen
partikulären Lösung yS (x) der inhomogenen Differenzialgleichung:
yI (x) = yH (x) + yS (x)
yS (x) erhält man u. a. durch das Verfahren der Variation der Konstanten: allgemeine Lösung der homogenen
Differenzialgleichung mit Funktionen von x anstelle der Integrationskonstanten als Ansatz für die Lösung
der inhomogenen Differenzialgleichung verwenden.
a1 (x)y 0 + a0 (x)y = r(x)
y 0 + p(x)y = q(x)
Allgem. Form der
lin. Dgl. 1. Ordn.
p(x) =
Normalform
a0 (x)
r(x)
; q(x) =
a1 (x)
a1 (x)
a) Lagrange
homogene Differenzialgleichung
y 0 + p(x)y = 0: Trennung der Variablen
R
− p(x) dx
yH = C e
inhomogene Differenzialgleichung: Variation der Konstanten
y = C(x)ψ (x)
Z
R
R
ψ (x) = e− p(x) dx
C 0 (x)ψ (x) + q(x) = 0; C(x) = C1 + q(x) e p(x) dx dx
b) Bernoulli (Produktansatz) (nur für lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung)
y = u · v;
y 0 = u 0 v + uv 0 ;
in Differenzialgleichung einsetzen
u oder v ausklammern;
Klammerausdruck null setzen
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81
Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz
y 0 + p(x)y + q(x)yn = 0 Bernoulli’sche Dgl.
Division durch (−yn ); Subst.: z =
spez.:
y 0 + p(x)y + q(x)y2 = 0;
1
y0
; z 0 = −(n − 1) n
y
yn−1
z=
1
;
y
z0 = −
führt auf lin. Dgl. in z und x
y0
y2
y 0 + p(x)y + q(x)y2 = r(x) Ricatti’sche Dgl.
mit (geg. oder erratener) part. Lösung y = y1 (x) lösbar; Ansatz: y = y1 (x) + v(x)
führt auf Bernoulli’sche Differenzialgleichung (n = 2) für v(x)
y = x · g(y 0 ) + h(y 0 ) d’Alembert’sche Dgl.
dp
ausklammern; führt auf lineare Diffey 0 = p(x) in differenzierte Ausgangsgleichung einsetzen,
dx
dx
renzialgleichung:
+ h(p)x + k(p) = 0
dp
Lösung in Parameterdarstellung:
spez.:
y 0 = p(x);
x = x(p,C);
y = y(p,C)
y = xy 0 + h(y 0 ) Clairaut’sche Dgl.
weiter wie oben ergibt Dgl.: [x + h 0 (p)]
dp
= 0, p = C;
dx
[x + h 0 (p)] = 0;
dp
=0
dx
allgem. Lösung: y = Cx + h(C)
singuläre Lösung in Parameterdarstellung:
x = −h 0 (p)
y = −ph 0 (p) + h(p)
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
1. Exakte (vollst., totale) Dgl.
My = Nx
(Integrabilitätsbedingung)
M(x,y) dx + N(x,y) dy = dΦ (x,y) vollständiges Differenzial der Funktion Φ (x,y)
Z
∂Φ
∂Φ
= M; Φ = M dx + G(y);
= N; allgemeine Lösung: Φ (x,y) = C
∂x
∂y
2. Integrierender Faktor
µ = µ (x,y) so bestimmen, dass µ (x,y)M(x,y) dx + µ (x,y)N(x,y) dy = 0 exakte Differenzialgleichung
My − Nx
= f (x)
N
My − Nx
= f (y)
M
My − Nx
= f (z)
y·N−x·M
(My − Nx ) · x2
= f (z)
y·N+x·M
z=x·y
z=
y
x
⇒
R
µ = µ (x) = e f (x) dx
⇒
R
µ = µ (y) = e− f (y) dy
⇒
R
µ = µ (z) = e f (z) dz
⇒
R
µ = µ (z) = e− f (z) dz
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13
82
Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz
F(x, y, y 0 , y 00 ) = 0
2. Ordnung
Bestimmte Glieder fehlen
y 00 = f (x) y(n) = g(x)
unmittelbare Integration
y kommt nicht vor
y 0 = p(x) y 00 = p 0
F(x,y 0 ,y 00 ) = 0 ;
F(y 0 ,y 00 ) = 0
x kommt explizit nicht vor
→ F(x,p,p 0 ) = 0;
F(p,p 0 ) = 0
y 0 = q(y) y 00 =
dq dy
dq
·
=q·
dy dx
dy
F(x,y 0 ,y 00 ) = 0
dq
→ G y,q,
=0
dy
Spezialfall: y 00 = f (y)
auch:
Multipl. m. 2y 0 ;
2y 00 y 0 =
d 02
y
dx
Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung
a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0
Allgem. Lsg.: yH (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
Allgem. homog.
lin. Dgl. 2. Ordn.
(y1 , y2 partikuläre Lösungen)
Bestimmung der partikulären Lösungen für ausgewählte Fälle
1.
a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0 konst. Koeffizienten
Ansatz: y = eλ x
Charakterist. Gleichung: a2 λ 2 + a1 λ + a0 = 0
y1 = eλ 1 x
y1 = eλ 0 x
y1 = cos(bx) eax
a) λ 1 6= λ 2 reell
b) λ 1 = λ 2 = λ 0
c) λ 1, 2 = a ± ib
13
2.
a2 x 2 y 00 + a1 xy 0 + a0 y = 0
Ansatz: y = x λ
homog. Euler’sche Dgl.
Charakterist. Gleichung: a2 λ (λ − 1) + a1 λ + a0 = 0
a) λ 1 6= λ 2 reell
b) λ 1 = λ 2 = λ 0
c) λ 1, 2 = a ± ib
3.
y2 = eλ 2 x
y2 = x eλ 0 x
y2 = sin(bx) eax
y1 = xλ 1
y1 = xλ 0
y1 = xa cos(b ln x)
y2 = xλ 2
y2 = xλ 0 ln x
y2 = xa sin(b ln x)
x 2 y 00 + xy 0 + (x 2 − ν 2 )y = 0 Bessel’sche Dgl.
ν nicht ganzzahlig:
Jν (x) =
∞
y = Jν (x)
x 2µ +ν 1
2
∑ (−1)µ Γ (µ + 1)Γ
(µ + ν + 1)
µ =0
(Bessel’sche Funktionen 1. Art)
ν = n ganzzahlig
Nn (x) = lim
ν →n
(s. a. S. 51)
y1 = Jn (x)
cos ν π · Jν (x) − J−ν (x)
sin ν π
J−ν =
∞
y2 = J−ν (x)
x 2µ −ν
∑ (−1)µ Γ (µ + 1)Γ2 (−ν + µ + 1)
µ =0
y2 = Nn (x)
(Bessel’sche Funktionen 2. Art)
(s. a. S. 51)
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89
Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren
16 Fehlerrechnung, Näherungsformeln
und -verfahren
Fehler: Näherungswert (Istwert)–wahrer Wert (Sollwert)
Näherungswert
wahrer Wert
a
absoluter Fehler
relativer Fehler
ε ε b · 100 %
=
x
x
ε =a−x
x
Fehlerabschätzung beim Rechnen mit Näherungswerten (Methode der Fehlerschranken)
k (fehlerbehaftete) Variable:
zu berechnende Funktion:
absoluter Fehler von f :
Näherungswerte für die xi :
absolute Fehler für die xi
Schranken für die ε i
x1 ,x2 , . . . ,xk
f (x1 ,x2 , . . . ,xk )
εf
ai
ε i = ai − xi
∆ai
(i = 1,2, . . . ,k)
(∆ai = |ε i |)
Schranke für den absoluten Fehler (ε f ) von f (x1 ,x2 , . . . ,xn ):
∆ f = ∆a1 | fx1 (a1 , . . . ,ak )| + ∆a2 | fx2 (a1 , . . . ,ak )| + . . . + ∆ak | fxk (a1 , . . . ,ak )|
(∆ f = ε f )
Anwendung auf elementare Rechenoperationen
x,y wahre Werte a,b Näherungswerte ∆a,∆b Fehlerschranken
f (x,y)
Schranken für den
absoluten Fehler ∆ f
Schranken für den
relativen Fehler ∆ f /| f |
x±y
∆a + ∆b
(∆a + ∆b)/|a ± b|
x·y
∆a · |b| + ∆b · |a|
∆a/|a| + ∆b/|b|
x/y
∆a · |b| + ∆b · |a|
b2
∆b
∆a
+
|a|
|b|
xn (n 6= 0,1)
∆a|nan−1 |
|n|∆a/|a|
Messreihe a1 ,a2 , . . . ,an einer Größe x
Näherungswert für x:
durchschnittlicher Fehler:
mittlerer Fehler:
(Standardabweichung)
1
1 n
(a1 + a2 + . . . + an ) = ∑ ai
(arithmetisches Mittel)
n
n i=1
1 n
∆a = ∑ |ai − a|
n i=1
s
n
1
(s. S. 100)
σ =
(a − a)2
∑
n − 1 i=1 1
a=
Methode der kleinsten Quadrate (Gauß)
Parameter t1 ,t2 , . . . ,tk der Funktion f (x,t1 ,t2 , . . . ,tk ) ( f stetig partiell differenzierbar) so bestimmen, dass die Funktion die Punkte Pi (xi ,yi )(i = 1,2, . . . ,n; n > k) möglichst genau annähert
Forderung:
Q(t1 ,t2 , . . . ,tk ) =
n
∑ [ f (xi ,t1 ,t2 , . . . ,tk ) − yi ]2
→ Min
i=1
Normalengleichungen zur Berechnung der Parameter t1 ,t2 , . . . ,tk :
∂Q(t1 ,t2 , . . . ,tk )
=0
( j = 1,2, . . . ,k)
∂t j
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16
90
Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren
Interpolation
Die Gleichung der Parabel n-ter Ordnung
y = an
xn
+ an−1
xn−1
die durch (n + 1) vorgegebene Punkte
P0 (x0 ,y0 ),P1 (x1 ,y1 ), . . . ,Pn (xn ,yn ) hindurchgeht,
Die ganze rationale Funktion n-ten Grades
+ . . . + a1 x + a0
an 6= 0,
für die zu (n + 1) voneinander verschiedenen
Werten x0 ,x1 , . . . ,xn die (n + 1) Funktionswerte
y0 ,y1 , . . . ,yn vorgeschrieben sind,
kann durch folgenden Ansatz bestimmt werden:
y = c0 +c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )(x − x1 ) + c3 (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) + . . .
+ci (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xi−1 ) + . . .
+cn (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
nach Newton
Die Koeffizienten c0 ,c1 , . . . ,ci , . . . ,cn werden schrittweise dadurch berechnet, dass für
x = x0 ,x1 , . . . ,xn jeweils y die zugehörigen Werte y0 ,y1 , . . . ,yn annimmt.
Steigungsschema
xi yi = Si0 Si1
x0 y0 =
x1 y1
x2 y2
x3 y3
..
.
..
.
S00
Si2
y1 − y0
x1 − x0
S1 − S11
y − y0 2
S21 = 2
S2 = 2
x2 − x0
x2 − x1
1 − S1
S
y
−
y
0
1
S31 = 3
S32 = 3
x3 − x0
x3 − x1
..
..
.
.
Si3
S11 =
S33 =
..
.
Differenzschema bei äquidistanten Argumenten
16
x0
y0
x1
y1
x2
y2
x3
..
.
y3
..
.
···
∆ 1 y0
∆ 1 y1
∆ 1 y2
..
.
S32 − S22
x3 − x2
(xi+1 − xi = h)
∆ n n-te Differenzspalte
z. B. ∆ 1 y2 = y3 − y2
∆ 2 y1 = ∆ 1 y2 −∆ 1 y1
∆ 1 y0
c0 = y0
c1 =
h
∆ 2 y0
c2 =
2!h2
..
.
∆ 2 y0
∆ 2 y1
..
.
..
.
k-te Steigung:
k−1
Sk−1 − Sk−1
Sik = i
xi − xk−1
k = 1,2, . . . ,n
i = k,k + 1, . . . ,n
c0 = y0 = S00
ci = Sii ;
i = 0,1, . . . ,n
∆ 3 y0
..
.
cn =
∆ n y0
n!hn
nach Lagrange
Ansatz:
y = L0 (x)y0 + L1 (x)y1 + . . . + Ln (x)yn
mit
Li (x) =
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn )
(xi − x0 )(xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn )
(Das Glied mit dem Index i fehlt;
i = 0,1, . . . ,n)
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Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren
91
Näherungslösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
Lineare Interpolation (Regula falsi – Sekantenverfahren)
f (x) = 0
x0 gesuchte Lösung: f (x) ≡ 0
P2 ( x 2 , y2 ) y = f ( x )
y
y = f (x) zugehörige Funktion.
Man geht von Werten x1 und x2 aus, die so
zu wählen sind, dass f (x1 ) und f (x2 ) verschiedene Vorzeichen haben.
x1
x3 x 4
Die Sekante P1 P2 schneidet die x-Achse in
x
x0
einem Punkt mit dem Näherungswert
x2
x2 − x1
P3 ( x3 , y3 )
·y
x3 = x1 −
y2 − y1 1
P1 ( x1, y1 )
Fortsetzung des Verfahrens mit x und x ;
3
usw.
2
Newton’sches Näherungsverfahren (Tangentenverfahren)
f (x) = 0
y
x0 gesuchte Lösung: f (x0 ) = 0
y = f (x) zugehörige Funktion.
P2 ( x 2 , y2 )
x1 aus der Umgebung von x0
y = f ( x)
wählen oder grafisch bestimmen.
x1
x0
Die Tangente in P1 (x1 ,y1 ) an die Kurve
y = f (x) schneidet die x-Achse in einem
x3 x 2 x
Punkt mit dem Näherungswert
f (x )
P1 ( x1, y1 )
x2 = x1 − 0 1
( f 0 (x1 ) 6= 0)
f (x1 )
Fortsetzung des Verfahrens mit P2 (x2 ,y2 ), was den verbesserten Näherungswert x3 ergibt;
usw.
f (x )
Allgemein: Näherungswert xn = xn−1 − 0 n−1
(n = 2,3,4, . . . ; f 0 (xn−1 ) 6= 0)
f (xn−1 )
Näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals
b−a
, n geradzahlig; i = 0,1, . . . ,n − 1
n
(Ordinaten mit ungeradem Index)
y0 = ya , yn = yb
(Ordinaten mit geradem Index)
n Anzahl der Teilintervalle der Länge xi+1 − xi = h =
u = y1 + y3 + . . . + yn−1
g = y2 + y4 + . . . + yn−2
Sehnen-Trapez-Formel
I=
Zb
f (x) dx ≈
a
(n bel.)
h
h
ya + yb + 2(y1 + y2 + . . . + yn−1 ) = (ya + yb + 2u + 2g)
2
2
Tangenten-Trapez-Formel
I=
Zb
f (x) dx ≈ 2h y1 + y3 + . . . + yn−1 = h · 2u
a
Simpson’sche Regel
I=
Zb
a
h
(ya + yb ) + 4(y1 + y3 + . . . + yn−1 ) + 2(y2 + y4 + . . . + yn−2 )
3
h
= (ya + yb + 4u + 2g)
3
f (x) dx ≈
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16
123
Sachwortverzeichnis
Sachwortverzeichnis
A
Ableitung
– der Umkehrfunktion 57
–, erste 54
–, höhere 54
–, logarithmische 57
–, partielle 66
Additionstheoreme 43
Ähnlichkeitsdifferenzialgleichung 80
Ähnlichkeitssätze 2
Alternativhypothese 103
analytische Geometrie 26
Annahmebereich 103
Areafunktion 42
Austauschverfahren 12
Axiome von Kolmogoroff 95
B
Bartlett-Test 105
Bayes’sche Formel 95
Bereichsintegral
–, ebenes 68
–, ebenes; Transformation 69
–, räumliches 69
–, räumliches; Transformation 70
Bernoulli-L’Hospital’sche Regel 54
Bernoulli’sches Schema 95
Bernoulli’sches Separationsverfahren 86
Bessel’sche Funktion 51
– 1. Art 82
– 2. Art 82
bestimmtes Riemann’sches Integral 55
Binomialkoeffizient 94
Binomialverteilung 97
Binomische Formel 94
Binomische Reihe 48
Binomischer Satz 94
Bogendifferenzial 79
Bogenelement 75
Bogenlänge
– einer ebenen Kurve 79
– einer räumlichen Kurve 79
D
Definitionsbereich 34
Determinante 6
–, Rechenregeln 7
–, Vandermonde’sche 10
–, Wronski’sche 10
Differenzial 54
–, vollständiges 67
Differenzialgeometrie 78
Differenzialgleichung
–, Bernoulli’sche 81
–, Bessel’sche 82
–, Clairaut’sche 81
–, d’Alembert’sche 81
–, Euler’sche, homogene 82
–, Euler’sche, n-ter Ordnung 85
–, exakte (vollständige, totale) 81
–, gewöhnliche 80
–, homogene lineare 80
–, inhomogene Euler’sche 83
–, inhomogene lineare 80
–, integrierender Faktor 81
–, lineare 1. Ordnung 80
–, lineare 2. Ordnung 82
–, lineare, mit konstanten Koeffizienten 84
–, partielle 86
–, Ricatti’sche 81
Differenzialgleichungssystem 88
–, lineares homogenes 88
–, lineares inhomogenes 88
Differenzialoperator 76
Differenzialquotient 54
Differenzialrechnung
–, Mittelwertsätze 54
– von Funktionen mehrerer Variabler 66
Differenziation
–, implizite 67
– von Parameterintegralen 68
Differenziationsformel 56
Differenziationsregeln 57
– für Vektorfunktionen 75
differenzierbar
–, linksseitig 54
–, rechtsseitig 54
Differenzschema 90
Divergenz 32
Divergenz eines Vektorfeldes 76
Dreieck 2
–, schiefwinkliges 44
–, sphärisches 46
dualer Simplexalgorithmus 18
E
Ebene
– im Raum, Gleichungsform 29
– im Raum, Schnittwinkel 30
ebene Kurve
–, Anstieg 79
–, Bogendifferenzial 79
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S
124
–, Bogenlänge 79
–, Evolente 79
–, Evolute 79
–, Krümmung 79
Einheitswurzeln 1
Ellipse 3
Ellipsoid 4
Erwartungswert 96, 100
Euler’sche Formel 1
Euler’sche Konstante 53
Evolente 79
Evolute 79
Exponentialfunktionen 37
Extrempunkt 65
Extremum
–, lokales 67
–, lokales; unter Nebenbedingungen 67
Exzess 96
F
Fakultät 51
Fehler
–, durchschnittlicher 89
–, mittlerer 89
Fehlerrechnung 89
Fehlerschranke 89
Feld
–, skalares 75
–, Vektor- 75
Fläche
– zweiter Ordnung 30
Fourier-Entwicklung 50
Fundamentalbereich 68 f.
Fundamentalsatz der Algebra 37
Funktion 34
–, Annäherung durch Polynome 92
–, Area- 42
–, Bessel’sche 51
– einer unabhängigen Veränderlichen 34
–, Gamma- 51
–, gebrochene rationale 38
–, gerade 34
–, Grenzwert 34
–, hyperbolische 41
–, inverse 34
–, Orthogonalsystem 53
–, rationale 37
–, Stetigkeit 34
–, trigonometrische 39
–, ungerade 34
–, zyklometrische 42
Funktionaldeterminante 10
Funktionenreihen 47
G
S
Gamma-Funktion 51
Gauß’sche Fehlerfunktion 52
Sachwortverzeichnis
Gauß’scher Algorithmus 12
Gauß’scher Integralsatz 77
Gauß’sches Fehlerintegral 52
geometrische Reihe 33
Gerade
– im Raum 29
– im Raum, Schnittwinkel 29
– in der Ebene, Gleichungsform 26
–, Schnittwinkel 27
Geradengleichung 26
Gleichung
–, lineare homogene 86
–, quasilineare 86
Gleichungssystem 11
–, Lösung von linearen 11
Gradient des Skalarfeldes 76
Grenzwert 32, 34, 66
Grundintegral 56
Guldin’sche Regeln 65
H
Halbseitenformeln 45
Halbwinkelformeln 45
Halbwinkelsatz 44
Häufigkeit
–, absolute 95, 102
–, relative 95, 102
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 55
Höhensatz 2
Horizontalwendepunkt 65
Horner-Schema 38
Hyperboloid 30
Hypothese 103
I
Inhalt 73
Integral
–, bestimmtes 55
– gebrochen rationaler Funktionen 64
–, unbestimmtes 55
–, uneigentliches 55
Integralexponentialfunktion 53
Integralkosinus 53
Integrallogarithmus 53
Integralrechnung
–, Mittelwertsatz 55
– von Funktionen mehrerer Variabler 68
Integralsinus 53
Integrand 55
Integration
– durch Substitution 61
–, partielle 61
– von Parameterintegralen 68
Integrationskonstante 55
Integrationsregeln 57
Integrationsvariable 55
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125
Sachwortverzeichnis
integrierender Faktor 81
Interpolation 90
–, lineare 91
– nach Lagrange 90
– nach Newton 90
K
Kathetensatz 2
Kegel 4, 30
Kegelschnitt
–, Diskussion 28
Kegelschnittsgleichung 27
–, Ellipse 27
–, Hyperbel 27
–, Kreis 27
–, Parabel 27
Kettenregel 57, 67
Koeffizient
–, konstanter 82
Kolmogorov-Test 105
Kombination 94
Kombinatorik 94
komplexe Zahlen 1
Konfidenzgrenze 103, 108
Konfidenzintervall 108
Kongruenzsätze 2
konstanter Koeffizient 82
Konvergenz 32
Konvergenzkriterien 33
Koordinaten
–, kartesische 34, 78
–, Polar- 34, 78
Korrelation 112
–, Bestimmtheitsmaß 112
–, Unbestimmtheitsmaß 112
Korrelationskoeffizient 101, 112
–, multipler linearer 112
–, partieller linearer 112
Kosinussatz 44
Kovarianz 100 f.
–, empirische 109
Kreis 2
Kreuzprodukt 24
kritischer Bereich 103 f.
Krümmung 65
– einer ebenen Kurve 79
Kugel 4, 30
Kugelkoordinaten 70
Kurvenintegral 71
–, 1. Art 71
–, 2. Art 71
L
Länge 73
Laplacegleichung 87
Laplace’scher Operator 76
Leibniz’sche Sektorformel 74
Likelihoodfunktion 107
Likelihoodprinzip 107
lineare homogene Gleichung 86
lineare Optimierung 13
lineare Optimierungsaufgabe 13
–, duale 18
–, Lösung 14
Linearfaktoren 37
Logarithmengesetze 36
Logarithmus 36
Logarithmusfunktionen 37
Longitudinalschwingungen eines Stabes 87
M
MacLaurin-Reihe 92
Mac-Laurin’sche Reihe 47
Mantelfläche 65
Masse 73
Massenschwerpunktskoordinaten 74
Matrix 5
–, Rechenoperationen 8
Maximum-Likelihood-Verfahren 107
Median 96, 102
Methode der kleinsten Quadrate 89
Mittelwertsatz der Integralrechnung 55
Mittelwertsätze der Differenzialrechnung 54
Modalwert 96, 102
Moment p-ter Ordnung 96, 102
Momentenmethode 107
Monotonie 32, 34
–, Funktion 34
–, Zahlenfolge 32
N
Nabla-Operator 76
Näherungswert 89
Neper’sche Analogien 45
Neper’sche Regel 46
Newton’sches Näherungsverfahren 91
Normale
– einer ebenen Kurve 78
Normalenabschnitt 78
Normalengleichung 89
Normalform 13
O
Oberflächenintegral 72
–, 1. Art 72
–, 2. Art 72
Optimierung
–, lineare 13
Orthogonalsystem 53
P
Paraboloid 30
Parameterdarstellung 34, 78
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S
126
Parameterintegral 68
–, Differenziation 68
–, Integration 68
Partialbruchzerlegung 64
partielle Differenzialgleichung 86
Permutation 94
Polarkoordinaten 26
Potenz 35
Potenzfunktionen 35
Potenzgesetze 35
Potenzialfeld 76
Potenzreihe 47, 85
–, Konvergenz 47
–, Konvergenzintervall 47
–, Konvergenzradius 47
Prinzip des Cavalieri 73
Prisma 4
Produktansatz 80
Produktregel 57
Punktschätzung
–, effektiv 107
–, erwartungstreu 107
–, konsistent 107
Pyramide 4
Pythagoras 2
Q
Quantil p-ter Ordnung 96
quasilineare Gleichung 86
Quotientenregel 57
R
S
Rangkorrelation 113
räumliche Kurve
–, Bogenlänge 79
Regel von Bernoulli-L’Hospital 54
Regression 109
–, lineare 109
–, mehrfache lineare 111
Regressionsfunktion
–, nichtlineare 110
Regressionsgerade 110
Regressionskoeffizient 109
–, multipler 111
Regula falsi 91
Reihe
–, binomische 48
–, Funktionenreihe 47
–, geometrische 33
–, Konvergenzkriterien 33
– mit konstanten Gliedern 33
–, Taylor’sche 47
Reihenentwicklung 85
Rest
–, χ 2 -Anpassungs- 104
Richtungsableitung 66, 76
Sachwortverzeichnis
Rotation eines Vektorfeldes 77
Rotationskörper 65
–, Mantelfläche 65
–, Volumen 65
S
Schätzmethode 107
–, bei Exponentialtyp 107
–, Maximum-Likelihood-Verfahren 107
–, Momentenmethode 107
Schätzung 107
–, Bereichs- 108
–, effektiv 107
–, erwartungstreu 107
–, konsistent 107
–, Punkt- 107
Schiefe 96
Schnittwinkel 27
Schwerpunkt
–, geometrischer 74
Sehnen-Trapez-Formel 91
Seitenkosinussatz 45
Sekantenverfahren 91
Signifikanzniveau 103
Simplexalgorithmus 16
–, dualer 18
Simplexmethode 16
Simplextableau 14
Simpson’sche Regel 91
Sinussatz 44 f.
skalares Produkt 23
Spatprodukt 24
Stammfunktion 55
Standardabweichung 89, 102
Statistik 102
–, Tabellen 114–121
Steigungsschema 90
Stetigkeit 34, 66
Stichprobenmittel 102
Stichprobenstreuung 102
Stokes’scher Integralsatz 77
Störgliedansatz 83 f.
Strahlensätze 2
Strecke 26
Streuung 96
Subnormale 78
Subtangente 78
T
Tangenssatz 44
Tangente
– einer ebenen Kurve 78
Tangentenabschnitt 78
Tangenten-Trapez-Formel 91
Tangentenvektor 75
Tangentenverfahren 91
Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)
127
Sachwortverzeichnis
Taylor-Reihe 85
Taylor’sche Formel
– für Funktionen einer Variablen 92
– für Funktionen zweier Variabler 93
– für Polynome 92
Taylor’sche Reihe 47
Test
–, Bartlett- 105
–, χ 2 - 104
–, Kolmogorov- 105
–, Vier-Felder-χ 2 - 113
– von Verteilungen 104
– zum Signifikanzniveau 104
Testen 103
Testgröße 103
Testverfahren 103
Thales-Satz 2
Trägheitsmoment 73
Transversalschwingungen eines Stabes 87
Trennung der Variablen 80
Trigonometrie
–, ebene 44
–, sphärische 45
Tschebyschew’sche Ungleichung 96
V
Vandermonde’sche Determinante 10
Varianz 96
Varianzanlyse 106
Variation 94
Variation der Konstanten 80, 83 f.
Variationsbreite 102
Variationskoeffizient 102
Vektor
–, Linearkombination 25
Vektoranalysis 75
Vektoren 23
Vektorfeld 75
–, Divergenz 76
–, quellenfreies 76
–, Rotation 77
–, wirbelfreies 77
Vektorfunktion 75
Vektorprodukt 24
Vektorraum 25
–, Basis 25
–, Dimension 25
–, euklidischer 25
Verteilung
–, χ 2 - 99
–, diskrete 97
–, F- 99
–, Gamma- 99
–, geometrische 97
–, Gleich- 98
–, hypergeometrische 97
–, mehrdimensionale 100
–, negative Binomial- 97
–, Normal- 98
–, Normal-, zweidimensionale 101
–, Poisson- 97
–, Rand- 100 f.
–, stetige 98
–, Testen 104
–, t-(Student-) 99
–, Weibull- 99
Verteilungsdichte 96
Verteilungsfunktion 96, 100
–, empirische 102
Vertrauensgrenze 103, 108
Vertrauensintervall 108 f., 111
Vertrauenswahrscheinlichkeit 108
Viereck 3
Vieta’scher Wurzelsatz 38
Volumen 65, 73
W
Wahrscheinlichkeit 95
–, bedingte 95
–, totale 95
Wahrscheinlichkeitsrechnung 95
Wärmeleitgleichung 87
Wendepunkt 65
Wertebereich 34
Winkelkosinussatz 45
Wronski’sche Determinante 10
Wurzel 35
Wurzelfunktionen 36
Wurzelgesetze 36
Z
Zahlenfolge 32
–, arithmetische 32
–, Divergenz 32
–, geometrische 32
–, Konvergenz 32
Zentralwert 102
Zufallsgröße 96
zyklometrische Funktion 42
Zylinder 4, 30
Zylinderkoordinaten 70
S
Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)