§ 6. Das kleinste gemeinsame Vielfache

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Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2017)
§ 6. Das kleinste gemeinsame Vielfache
(6.1) DEF: Seien a und b zwei beliebige ganze Zahlen.
a) Eine ganze Zahl v heißt gemeinsames Vielfaches von a und b , wenn gilt
a|v
und b | v .
b) GV + (a, b) bezeichne die Menge der nichtnegativen gemeinsamen Vielfachen von a und b .
(6.2) SATZ: Für a, b ∈
Z gilt:
a) GV + (a, b) = V + (a) ∩ V + (b)
b) a | b
⇐⇒
GV + (a, b) = V + (b)
c) Sind a und b beide 6= 0 , so ist
GV + (a, b) ⊆
N
0
eine nichtleere unendliche Menge.
d) Ist a · b = 0 , so folgt GV + (a, b) = {0} .
(6.3) SATZ und DEF: Seien a und b ganze Zahlen, die beide 6= 0 sind. Dann gibt es in
der Menge GV + (a, b) \ {0} der positiven gemeinsamen Vielfachen von a und b ein kleinstes
Element, das das kleinste gemeinsame Vielfache (abgekürzt kgV) von a und b genannt
wird. Bezeichnung:
kgV(a, b) := min(GV + (a, b) \ {0}) .
(6.4) SATZ: Für ganze Zahlen a, b ∈
Z \ {0} gilt:
a) kgV(a, b) = kgV(b, a)
b) kgV(a, b) = kgV(|a|, |b|)
c) a | b
⇐⇒
kgV(a, b) = |b| .
(6.5) SATZ: Für a, b ∈
Z \ {0} gilt:
(6.6) SATZ: Für a, b, k ∈
GV + (a, b) = V + (kgV(a, b)) .
Z \ {0} gilt:
kgV(k · a, k · b) = |k| · kgV(a, b) .
Für die Berechnung des kgV’s gibt es kein dem EA entsprechendes Verfahren. Der folgende
Satz zeigt, dass das kgV mit Hilfe des ggT’s berechnet werden kann:
(6.7) SATZ: Für ganze Zahlen a und b, die beide 6= 0 sind, gilt:
ggT(a, b) · kgV(a, b) = |a · b| .
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Zusammenfassung ggT/kgV
Im folgenden bezeichnen a und b beliebige ganze Zahlen.
Teiler
T + (a) = {t | t ∈
Vielfache
N , t teilt a} ⊆ N
0
V + (a) = {v | v ∈
0
1, |a| ∈ T + (a)
0
0
0, |a| ∈ V + (a)
T + (a) endlich ⇐⇒ a 6= 0
V + (a) unendlich
T + (a) unendlich ⇐⇒ a = 0
T + (0) =
N , a teilt v} ⊆ N
⇐⇒ a 6= 0
V + (a) endlich ⇐⇒ a = 0
N
V + (0) = {0}
0
gemeinsame Teiler
gemeinsame Vielfache
GT + (a, b) = T + (a) ∩ T + (b)
GV + (a, b) = V + (a) ∩ V + (b)
1 ∈ GT + (a, b)
|a · b| ∈ GV + (a, b)
GT + (a, b) endlich ⇐⇒ a 6= 0 oder b 6= 0
GV + (a, b) unendlich ⇐⇒ a 6= 0 und b 6= 0
GT + (a, b) =
N
0
GV + (a, b) = {0} (endlich) ⇐⇒ a = 0 oder b = 0
(unendlich) ⇐⇒ a = 0 und b = 0
ggT
kgV
ggT(a, b) = max(GT + (a, b)) , falls a 6= 0 oder b 6= 0
kgV(a, b) = min(GV + (a, b) \ {0}) , falls a 6= 0 und b 6= 0
1) GT + (a, b) = T + (ggT(a, b))
2) GV + (a, b) = V + (kgV(a, b))
Berechnung ggT
Berechnung kgV
auf Grundlage der Definition
auf Grundlage der Definition
Euklidischer Algorithmus (EA)
ggT(a, b) = x · a + y · b
nichts Entsprechendes
(EEA)
3) mit Hilfe der PFZ
4)
mit Hilfe der PFZ
Verbindung zwischen ggT und kgV
5) ggT(a, b) · kgV(a, b) = |a · b| (a 6= 0 und b 6= 0)
zu 1) s. (5.10)
zu 2) s. (6.5)
zu 3) und 4)
wird später in § 8 behandelt
zu 5) s. (6.7)