English - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie
Sommersemester 2011
Übungsaufgaben zur Vorlesung vom 26.05.2011
Aufgabe Ü12
(a) Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Diophantischen Gleichungen:
(i) 27 · x − 8 · y = 2
(ii) 0 · x + 15 · y = −105
(iii) 1665 · x + 592 · y = 167
(iv) −48 · x + 30 · y = 54
(b) Lösen Sie die Gleichung aus (a) (iv) auch zeichnerisch über Q bzw. Z .
(c) Wieviele Möglichkeiten gibt es mit 2-Euro-Münzen und 5-Euro-Scheinen einen Betrag
von genau 53 Euro zusammenzustellen? Stellen Sie dazu zunächst eine Diophantische
Gleichung auf und lösen sie diese. Überlegen Sie dann, welche Lösungen tatsächlich
realisierbar sind.
Aufgabe Ü13
(a) Bestimmen Sie die folgenden kleinsten gemeinsamen Vielfachen:
kgV(10, 15),
kgV(40, 63),
kgV(900, 56, 675),
kgV(12345, 6789)
(b) Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Für alle a, b ∈ Z gilt:
kgV(a2 , b2 ) = (kgV(a, b))2 .
(ii) Für alle a, b, c ∈ Z gilt:
ggT(a, b, c) = 1
⇒
kgV(a, b, c) = a · b · c
(iii) Für alle a, b, c ∈ Z gilt:
ggT(a, b) = ggT(a, c) = ggT(b, c) = 1
⇒
kgV(a, b, c) = a · b · c
Aufgabe Ü14
(a) Teilen Sie die Zahlen −10, −9, . . . , 29, 30 in verschiedene Gruppen ein, so dass:
• je zwei Zahlen derselben Gruppe kongruent zum Modul m = 7 sind
• je zwei Zahlen aus verschiedenen Gruppen nicht kongruent zum Modul m = 7
sind
(b) Was weiß man über die Endziffer(n) einer Zahl a ∈ N, wenn:
• a ≡ 3 mod 5
• a ≡ 3 mod 100
• a ≡ 3 mod 25
• a ≡ 3 mod 11
?
(c) Zeigen Sie: Für alle m ∈ N und alle a, b ∈ Z gilt:
a ≡ b mod m
⇒
a2 ≡ b2 mod m
Gilt auch die umgekehrte Implikation? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material/azt