Aufgaben Klasse 11, 23. Blatt

Aufgaben Klasse 11, 23. Blatt
Aufgabe 23.1
Beweise, daß sich auf folgende Weise schrittweise der ggT und das kgV zweier Zahlen a und
b berechnen läßt: An Anfang wird x0 = a, y0 = b und u0 = a, v0 = b gesetzt. Ein Schritt
k − 1−
→ k besteht aus
xk
yk
uk
vk
=
=
=
=
xk−1
yk−1 − xk−1
uk−1
uk−1 + vk−1
falls xk < yk und
xk
yk
uk
vk
=
=
=
=
xk−1 − yk−1
yk−1
uk−1 + vk−1
vk−1
falls xk > yk . Es wird bei k = n gestoppt, falls xn = yn . Beweise: ggT (a, b) = xn = yn und
kgV (a, b) = (un + vn )/2.
Aufgabe 23.2
Finde zur Aufgabe 22.2 je ein Beispiel für die Werte n = 4, 5, 8.
Aufgabe 23.3
Finde alle Zahlenbasen b mit 3 ≤ b ≤ 100, in denen die Zahl 2101b eine Quadratzahl ist.
Aufgabe 23.4
Gegeben sei folgende 3-dimensionale rekursive Folge (erster Ordnung) mit der Rekursionsvorschrift
xn = xn−1 + yn−1
yn = yn−1 + zn−1
zn = xn−1 + yn−1 + zn−1
a) Beweise, daß jede der Folgen (xn ), (yn ) und (zn ) eine rekursive Folge dritter Ordnung ist
und bestimme die Rekursionsvorschriften.
b) Wir setzen als Anfangswert x0 = 3, y0 = 0 und z0 = 2. Berechne die nächsten Folgeglieder.
Um welche Folge handelt es sich?
Dr. Holger Stephan
e-mail: [email protected]
URL: http://www.wias-berlin.de/people/stephan/msg.htm