Seminar Physikalische Chemie II WS 04/05

Seminar Physikalische Chemie II WS 04/05
5. Übungsblatt
Abgabetermin Lehramt : 02.12.2004, zu Beginn des Seminars
Abgabetermin Biochemie : 02.12.2004, zu Beginn der Vorlesung
November 25, 2004
Die Übungsblätter gibt es auch online unter: www.pctheory.uni-ulm.de
Aufgabe 1: Kommutatoren (6 Punkte)
Unter dem Kommutator [Â, B̂] der beiden Operatoren  und B̂ versteht man in der Algebra
die Differenz [ÂB̂ − B̂ Â], was einen neuen Operator darstellt. Wenden Sie die folgenden
Kommutatoren auf die Wellenfunktion ψ an:
a.) [p̂x , x̂]
c.) [x̂, p̂y ]
b.) [x̂, Ĥ]
d.) [p̂x , Ĥ]
h̄ d
,
i dx
p̂y =
h̄ d
i dy
die Impulsoperatoren in x- und y-Richtung sind. Ĥ ist der 1h̄ d2
dimensionale Hamilton-Operator, also Ĥ = −
+ V (x).
2m dx2
wobei p̂x =
Erinnerung: Bei der Rechenvorschrift ÂB̂ψ wird zunächst der Operator B̂ auf die Funktion
ψ und anschließend der Operator  auf die Funktion (B̂ψ) angewandt (also von rechts nach
links !).
!
h̄2 d
h̄ d
h̄
ψ d)
V ψ
Lösungen: a) ψ b) 0 c)
i
m dx
i dx
Aufgabe 2: Teilchen im Kasten (2-dimensional) (5 Punkte)
Betrachten Sie die Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem 2-dimensionalen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden, d.h.
V (x, y) = 0 für 0 ≤ x ≤ a und 0 ≤ y ≤ a
V (x, y) = ∞ für x, y < 0 und x > a, y > a
a.) Berechnen Sie die normierten Wellenfunktionen und Energieeigenwerte (Tip: Separationsansatz).
b.) Erklären Sie den Begriff der Entartung!
Aufgabe 3: Wellenfunktionen (4 Punkte)
Die Bornsche Interpretation schränkt die mathematisch möglichen Lösungen (Wellenfunktionen) der Schrödingergleichung erheblich ein.
Untersuchen Sie, ob folgende Wellenfunktionen nach der Bornschen Interpretation Lösungen
der Schrödinger Gleichung sein können !
Analytische Kriterien für eine Wellenfunktion \ (x) : Die Schrödinger-Gleichung verlangt d
Existenz der zweiten Ableitungen der Wellenfunktion. Funktionen, die unstetig (a) oder nich
differenzierbar (b) sind, kommen daher nicht als Lösung der Schrödinger-Gleichung in Frag
Das Beispiel (c) verletzt die Eindeutigkeitsbedingung und würde gemäß der Bornschen
2
Interpretation einem Ort x verschiedene Wahrscheinlichkeitsdichten \ zuordnen, was
physikalisch unsinnig wäre. Die Funktion in (d) divergiert über einen endlichen Bereich und
ist im Widerspruch zur Normierungsbedingung nicht quadratisch integrierbar, d.h.
*
³\ \ dx o f .