Ubungen zur Quantenmechanik Blatt 5 - Friedrich

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Sommersemester 2012
Prof. Dr. Andreas Wipf,
DP Lukas Janssen, DP Marianne Mastaler,
DP Björn Wellegehausen, DP Nathan Johnson-McDaniel
Übungen zur Quantenmechanik
Blatt 5
12. Paritätsoperator
5 Punkte
Definieren wir im Hilbertraum H = L2 ([−a, a], dx) (Raum der auf dem Intervall [−a, a]
quadratintegrablen Funktionen, inklusive des Limesfalles a −→ ∞) den Inversions- oder
Paritätsoperator P durch seine Wirkung auf Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung:
(P ψ)(x) := ψ(−x).
Beweise nun die folgenden Aussagen:
a) P −1 = P † = P .
(0.5 Punkte)
b) P hat nur die Eigenwerte ±1. Was bedeutet das für die zugehörigen Eigenvektorräume?
(0.5 Punkte)
c) P± := 12 (1 ± P ) sind Projektoren auf die entsprechenden Eigenräume.
(1 Punkt)
Ein gerader bzw. ungerader Operator T ist dadurch definiert, dass P T P −1 = T bzw.
P T P −1 = −T gilt. Zeige nun:
d) Der Ortsoperator x und der Impulsoperator p sind ungerade Operatoren. Jeder Operator homogen in x und p vom Grade n ist gerade (ungerade) genau dann, wenn n
gerade (ungerade) ist.
(1 Punkt)
e) hψ1 |T |ψ2 i = 0, falls |ψ1 i und |ψ2 i Eigenvektoren von P zum selben Eigenwert sind
und T ein in H definierter ungerader Operator ist.
(0.5 Punke)
Bemerkung: Eine analoge Aussage ließe sich für gerade Operatoren zwischen Zuständen
ungleicher Parität machen.
f) Der Hamiltonoperator für ein Teilchen in einem Potential V (x) mit V (x) = V (−x)
ist ein gerader Operator. Sind dessen Eigenwerte nicht entartet, so sind die zugehörigen Eigenfunktionen notwendigerweise gerade bzw. ungerade Funktionen in
x. In jedem Fall (Entartung des Spektrums von H zugelassen) kann man aber die
Eigenfunktionen so wählen, daß sie entweder gerade oder ungerade Funktionen in x
sind.
(1.5 Punkte)
13. Eigenzustände
4 Punkte
a) Ein Teilchen der Masse m befinde sich in einem Potential V (x). Der zugehörige
(selbstadjungierte) Hamiltonoperator H besitze für gewisse Werte En der Energie
normierbare Eigenzustände ψn . Zeige, daß der Erwartungswert des Impulses des
Teilchens in einem solchen Eigenzustand notwendigerweise Null ist.
(1.5 Punkte)
Hinweis: Beweise zunächst, daß die folgenden Relationen gelten: pj =
im
[H, xj ].
~
b) Finde mit Hilfe der Heisenbergschen Unschärferelation eine untere Schranke für die
Grundzustandsenergie E0 des eindimensionalen harmonischen Oszillators (V (x) =
mω 2 x2 /2).
(2.5 Punkte)
Hinweis: Die Wellenfunktion des Grundzustandes ψ0 (x) ist normierbar und wir
können daher aus Teil a) schließen, daß hpi0 = 0 gilt. Zeige analog, daß für den
harmonischen Oszillator (in jedem Energieeigenzustand mit normierbarer Wellenfunktion) auch hxi0 = 0 gilt.
14. Eingesperrtes Teilchen
5 Punkte
Ein in einer Raumdimension x ∈ R bewegliches kräftefreies, nichtrelativistisches Teilchen der Masse m werde auf einen Bereich x ∈ [−a, a], a > 0, eingeengt. Um dem
mathematisch Rechnung zu tragen, fordern wir für die Wellenfunktion (genauer, für Wellenfunktionen aus dem Definitionsbereich des Hamiltonoperators!), daß sie am Rand des
Intervalls verschwinden (Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null) und die Wellenfunktion auch
nur innerhalb des gegebenen Intervalls von Relevanz ist.
a) Durch Lösen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung bestimme man die möglichen Energiemeßwerte En , n ∈ N0 , und deren zugehörige (zeitabhängigen) Wellenfunktionen un (x, t)! Letztere sind nur bis auf einen Vorfaktor bestimmt, der dadurch
eingeschränkt werden soll, daß das Betragsquadrat der Wellenfunktion als Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte wn (x, t) = |un (x, t)|2 interpretiert wird. (2 Punkte)
Hinweis: Hier und auch im folgenden darf man von den Ergebnissen der vorherigen
beiden Aufgaben Gebrauch machen.
b) Sei u(x, t) eine beliebig vorgegebene (normierte) Linearkombination zweier Wellenfunktionen un und um mit m 6= n. Zeige, daß die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte w(x, t) = |u(x, t)|2 genau dann zeitunabhängig wird, wenn u ∝ un oder u ∝ um
ist. Mit welcher Frequenz variiert w ansonsten, d.h. im Fall einer nichttrivialen Superposition? Interpretiere das Ergebnis physikalisch (vgl. Bohrsches Atommodell)!
(1 Punkte)
c) Bestimme für ein Teilchen der Energie En den Erwartungswert für den Ort, hxi,
sowie die mittlere Schwankung von x, ∆x. Bestimme analog für den Impuls hpi und
∆p, und berechne anschließend das Unschärfeprodukt ∆x · ∆p im n-ten Energieeigenzustand.
(2 Punkte)
p
Hinweis: ∆x = h(x − hxi)2 i
Z
Z
x sin x
x3 1
2
2
x sin x dx =
(sin x − x cos x) +
−
sin2 x dx
2
3
2
Abgabetermin: Vor der Vorlesung am Dienstag, 29.05