Übungsblatt 08 - Fakultät für Physik

LMU München
Lehrstuhl für Theoretische Nanophysik
Vorlesung: Dr. F. Heidrich-Meisner
Übungsgruppe: Robert Bamler
Sommersemester 2011
Abgabe: 05.07.2011
Besprechung: 06.07.2011
8. Übungsblatt Theoretische Physik im Querschnitt
30.06.2011
Aufgabe 1: Freies quantenmechanisches Teilchen und Ehrenfest-Theorem
Das Ehrenfest-Theorem für Observable, die nicht explizit von der Zeit abhängen, lautet
dhAi
i
= h[H, A]i.
dt
~
(1)
Spitze Klammern stehen für den Erwartungswert in einem quantenmechanischen Zustand.
Wir betrachten ein freies Teilchen der Masse m, das sich nur entlang der x-Achse bewegen
kann.
a) Verwenden Sie Gleichung (1), um die Erwartungswerte von p und p2 als Funktion von
t zu bestimmen (die Anfangswerte zur Zeit t = 0 seien vorgegeben). Was folgt daraus
für die Zeitabhängigkeit der Impulsunschärfe
p
∆p = hp2 i − hpi2 ?
b) Betrachten Sie nun die gemischte Fluktuationsgröße
κ = h(xp + px)i − 2hxihpi,
welche die Korrelation zwischen x und p beschreibt. Bestimmen Sie die Zeitabhängigkeit
von κ für das freie Teilchen mit Hilfe von Gleichung (1).
Zur Kontrolle: κ = κ0 +
2(∆p)20
m t
c) Berechnen Sie schließlich auch die Zeitabhängigkeit des Erwartungswertes von x2 . Drücken
Sie die Ortsunschärfe
p
∆x = hx2 i − hxi2
zur Zeit t durch ∆x, ∆p und κ zur Zeit t = 0 aus. Was erhält man für große Zeiten?
Aufgabe 2: Potentialstufe – abwärts
Ein nicht-relativistisches quantenmechanisches Teilchen (Masse
m) falle von links (x < 0) auf die absteigende Potentialstufe der
Tiefe V0 (siehe Zeichnung). Die kinetische Energie des einfallenden Teilchens sei K. Das Problem ist eindimensional.
a) Stellen Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung auf. Geben Sie den Lösungsansatz auf beiden Seiten der Stufe an, und begründen Sie ihn.
b) Bestimmen Sie explizit die Lösung zur Energie E = K+V0 . Normieren Sie die Amplitude
der einfallenden Welle auf 1.
c) Wie hängt der Reflexionskoeffizient dieser Potentialstufe bei festgehaltenem K von V0
ab? Betrachten Sie insbesondere die Grenzfälle V0 /K 1 und V0 /K 1. Vergleichen
Sie mit dem Verhalten eines klassischen Teilchens, und erklären Sie das quantenmechanische Ergebnis qualitativ.
Aufgabe 3: Eindimensionale Wellenfunktion
Ein quantenmechanisches Teilchen mit der Masse m und der Energie E laufe gegen eine
eindimensionale Potentialstufe, V (x) = 0 für x < 0 und V (x) = V0 > 0 für x > 0. Das
Teilchen wird in den beiden Bereichen durch jeweils eine Überlagerung von Wellenfunktionen
der Form ψ(x) = Aeikx beschrieben, wobei A und k komplexe Zahlen sind.
a) Berechnen Sie die Wellenzahlen k für die beiden Bereiche und skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ(x)|2 für x > 0, und zwar für die Fälle
i. 0 < V0 < E
ii. 0 < E < V0
b) Nun bewege sich das Teilchen im unten skizzierten eindimensionalen Potential V (x). Seine reellwertige Wellenfunktion ψ(x) sei ebenfalls unten skizziert. ψ(x) soll eine Lösung
der stationären Schrödinger-Gleichung zur Energie E1 sein, deren Wert in der Skizze
relativ zu V (x) angegeben ist.
Die Skizze der Wellenfunktion ψ(x) enthält einige Fehler.
i. Nennen Sie und begründen Sie mindestens vier solche Fehler.
ii. Skizzieren Sie eine mögliche Wellenfunktion zur Energie E2 .