Übungsblatt 1 - Universität der Bundeswehr München

Institut für Physik
Werner-Heisenberg-Weg 39
85577 München / Neubiberg
Fakultät für Elektrotechnik
Universität der Bundeswehr
München / Neubiberg
Prof. Dr. H. Baumgärtner
Übungen: Dr.-Ing. Tanja Stimpel-Lindner, Büro 0118 / G. 37, Tel.: (089) 6004 3192, [email protected]
Physik 2 (B.Sc. EIT)
5. Übungsblatt
VIII. Quantenmechanik
Die Wellengleichung für Photonen lautete
2
∂ E(x, t)
(1)
∂x
2
=
2
1 ∂ E(x, t)
⋅
.
2
2
c
∂t
Dabei bezeichnet man das elektrische Feld E(x,t) als die Wellenfunktion des zu beschreibenden Photons. Eine Klasse von Lösungen dieser
Gleichung bilden die ebenen Wellen, z.B. E(x,t) = E0⋅sin(k⋅x - ω⋅t). Setzt man dies in die obige Gleichung ein, so sieht man, dass E(x,t) genau
dann eine Lösung der obigen Gleichung ist, wenn gilt
2
ω
2
(2)
− k = − 2 ⇒ ω = k ⋅ c.
c
Multipliziert man beide Seiten mit h , so ergibt sich daraus die Relation zwischen der Energie W und dem Impuls p des Photons: W = p⋅c
(diese Beziehung ergibt sich natürlich auch aus dem relativistischen Energiesatz, da Photonen die Ruhemasse Null haben). Geht man nun
zu massebehafteten Teilchen über, so ergibt sich für die Energie dieser Teilchen
(3)
2
p
=
+W
W
ges
pot
2⋅m
Mit den de-Broglie-Gleichungen ergibt sich daraus eine zu (2) analoge Beziehung (für massebehaftete Teilchen)
(4)
h⋅ω =
2 2
h k
2⋅m
+W
pot
Diese unterscheidet sich von (2) darin, dass sie die potentielle Energie Wpot enthält und nicht mehr linear in k ist. Die Tatsache, dass in (4) die
Größen ω und k2 vorkommen, legt die Vermutung nahe, dass die dazugehörige Wellengleichung eine zweifache partielle Ableitung nach dem
Ort, jedoch nur eine einfache partielle Ableitung nach der Zeit enthält (im Gegensatz zur klassischen Wellenfunktion (1)). Außerdem sollte in
dieser Wellengleichung die potentielle Energie Wpot des Teilchens enthalten sein. Diese Überlegungen führen zur zeitabhängigen
Schrödingergleichung in einer Dimension bzw. in drei Dimensionen
(5)
−
h
2
2⋅m
2
⋅
∂ Ψ(x, t)
∂x
2
+W
pot
(x, t) ⋅ Ψ(x, t) = i ⋅ h ⋅
∂Ψ(x, t)
∂t
, bzw. −
h
2
2⋅m
r
⋅ ΔΨ(x, t) + W
r
∂Ψ(x, t)
r
r
(x, t) ⋅ Ψ(x, t) = i ⋅ h ⋅
.
pot
∂t
Ψ(x,t) ist dabei die Wellenfunktion des massebehafteten Teilchens. Ein wichtiger Unterschied zur klassischen Wellengleichung liegt darin,
daß in (5) die imaginäre Einheit i explizit auftaucht. Es ist daher zu erwarten, dass die Lösungen der Schrödingergleichung Ψ(x,t) komplexe
Funktionen sind.
Zur Bearbeitung der Aufgaben empfiehlt sich ein Studium der folgenden Literatur:
„Physik“ von P. A. Tipler, Seiten 1221-1242
Spektrum-Akademischer Verlag
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1
Aufgaben
a) Im sogenannten stationären Fall - hier ist die potentielle Energie Wpot zeitunabhängig: Wpot = Wpot(x) - lässt sich die SchrödingerGleichung (SG) zur sogenannten zeitunabhängigen SG vereinfachen, indem man die Wellenfunktion Ψ(x,t) in einen zeitabhängigen und in
einen ortsabhängigen Anteil separiert. Leiten Sie mit Hilfe dieses Separationsansatzes die zeitunabhängige SG aus der zeitabhängigen SG
her.
b) Wie lässt sich das Betragsquadrat der separierten Wellenfunktion (vergleichen Sie Aufgabe (a)) interpretieren und welche Bedingung
muss dabei vom Betragsquadrat der Wellenfunktion erfüllt sein / was besagt diese Bedingung?
c) Betrachtet wird ein zeitunabhängiger Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
V(x) = 0, wenn 0 < x < L, V(x) = ∞, wenn x < 0 oder x > L .
In diesem Potentialtopf ist ein Teilchen der Masse m eingeschlossen, das sich in diesem hin- und herbewegt. Was kann man (i) klassisch über
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und über die Energie eines Teilchens im Potentialtopf sagen und was (ii) quantenmechanisch? Gehen Sie
bei der quantenmechanischen Betrachtungsweise auf folgende Fragen ein: Wie groß sind die erlaubten Energiewerte in diesem
Kastenpotential? Wie lauten die erlaubten Wellenfunktionen im Kastenpotential? Wie sehen die Wahrscheinlichkeitsdichten eines Teilchens
im Grundzustand (n = 1), im ersten angeregten Zustand (n = 2), im zweiten angeregten Zustand (n = 3) und im neunten angeregten Zustand
(n = 10) in Abhängigkeit von x graphisch aus?
d) Ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m und der Energie W laufe von links gegen eine Potentialstufe der Höhe V (V(x) = 0, wenn
x < 0, V(x) = V0, wenn x > 0). Was passiert, wenn das Teilchen die Potentialstufe erreicht und wenn gilt (i) W < V0 und (ii) W > V0?
e) Eine Potentialbarriere habe die unten abgebildete Form. Ein Proton treffe von links mit der Energie E < U1 auf die Barriere auf. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit tunnelt es durch die Barriere, wenn es eine Energie von E = 2,8 MeV besitzt und U1 = 3 MeV beträgt.
2