WIEDERHOLUNG MNWI Inhaltsverzeichnis 1. Beweistechnik 1 2

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Zusammenfassung. Dieses Dokument ist kein offizieller Bestandteil der Vorlesung
„Mathematik für Naturwissenschaftliche Informatik I“ und es ist daher unmöglich,
Ansprüche jedweder Form daraus abzuleiten.
Inhaltsverzeichnis
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Beweistechnik
Lineare Abbildungen und Matrizen
Algebraizität, Transzendenz, Berechenbarkeit
Permutationen
Stetige Funktionen
Folgen
Potenzreihen
1
4
6
6
7
8
10
1. Beweistechnik
Diese Einführung in die Aussagen- und Prädikatenlogik ist nicht vollständig und
berührt nur die grundlegenden Konzepte, welche für formal korrekt geführte Beweise
notwendig sind. Große lateinische Buchstaben (A, B, C, . . . ) repräsentieren im Folgenden Aussagen, denen man eindeutig einen Wahrheitswert in {0, 1} = {falsch, wahr}
zuordnen kann. Aus derartigen Aussagen können durch den unären Operator ¬
(„nicht“) und die binären Operatoren ∧ („und“), ∨ („oder“) neue Aussagen gewonnen
werden. Eine Wahrheitstafel verdeutlicht diese Verknüpfungen:
A B ¬A A ∧ B A ∨ B
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
Implikation und Äquivalenz sind neue binäre Operatoren, welche man aus ¬, ∧, ∨
konstruieren kann, indem man definiert
[A ⇒ B] ∶= [(¬A) ∨ B],
dann ist
[A ⇔ B] = [((¬A) ∨ B) ∧ ((¬B) ∨ A)].
Für den Beweis einer Äquivalenz A ⇔ B sind also stets die beiden Richtungen
A ⇒ B und B ⇒ A nachzuweisen, oder man erhält die Aussage B unter Voraussetzung der Aussage A ausschließlich durch Äquivalenzumformungen. Eine einzige
1
2
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einseitige Implikation zerstört hierbei jedoch die Korrektheit des Beweises! In einem
mathematisch vollständigen Beweis sind sämtliche Implikationen und Äquivalenzen
als solche zu kennzeichnen! Es versteht sich von selbst, dass sämtliche, nicht durch
die Formulierung des Satzes bereits gegebenen Objekte vor ihrer ersten Benutzung
definiert werden müssen. Hierzu gehören unter anderem der Ursprung verwendeter Variablen, die vollständige Definition neuer Funktionen, die komponentenweise
Einführung von Matrizen (sofern man auf die Einträge zugreifen möchte) usw. Für
Aussagen der Form A ⇒ B betrachten wir zunächst drei mögliche Vorgehensweisen:
(1) Direkter Beweis. Aufgrund der Transitivität der Implikation (klar wegen
[X ⇒ Y ] = [(¬X) ∨ Y ]) genügt es, die Aussage auf bereits als wahr erkannte Teilaussagen C1 , . . . , Cn zurückzuführen und die entsprechend kleineren
Teilaussagen
[A ⇒ C1 ] ∧ [C1 ⇒ C2 ] ∧ . . . ∧ [Cn−1 ⇒ Cn ] ∧ [Cn ⇒ B]
einzeln nachzuweisen, wobei jede Teilaussage möglicherweise wieder aufgeteilt
werden kann.
(2) Kontraposition. Man überprüft leicht, dass
[A ⇒ B] = [(¬A) ∨ B] = [(¬(¬B)) ∨ (¬A)] = [(¬B) ⇒ (¬A)].
(3) Widerspruchsbeweis. Hier wird angenommen, die Aussage B sei falsch,
das heißt, es gelte ¬B und leitet unter der Annahme A und der zusätzlichen
Voraussetzung ¬B mittels vorher als richtig erkannter Aussagen die Wahrheit
einer Aussage C ab, von der man bereits weiß, dass sie falsch ist. Folglich
kann ¬B nicht richtig sein und es gilt A ⇒ B.
Für die Aussage „Es gibt (mindestens) ein (Objekt) x in (der Menge) X, welches
die Eigenschaft E besitzt“ schreiben wir kurz „∃x ∈ X∶ E(x)“ und nennen ∃ den
Existenzquantor. Für die Aussage „Für alle (Objekte) x in (der Menge) X gilt die
Eigenschaft E“ schreiben wir kurz „∀x ∈ X∶ E(x)“ und nennen ∀ den Allquantor.
Beispiel 1.1. Die Beweise der folgenden Aussagen werden ausgespart, da diese für
unsere Vorlesung unwichtig sind!
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
¬(¬A) = A
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
¬(∀x ∈ X∶ E(x)) = (∃x ∈ X∶ ¬E(x))
¬(∃x ∈ X∶ E(x)) = (∀x ∈ X∶ ¬E(x))
¬(∀x ∈ X∶ (∃y ∈ Y ∶ E(x, y))) = (∃x ∈ X∶ (∀y ∈ Y ∶ ¬E(x, y)))
¬(∃x ∈ X∶ (∀y ∈ Y ∶ E(x, y))) = (∀x ∈ X∶ (∃y ∈ Y ∶ ¬E(x, y)))
Eine Funktion f ∶ X → Y ist genau dann stetig in x0 ∈ X, wenn
∀ε > 0 ∃δ(x0 , ε) > 0∶ ∀x ∈ X∶ [∣x − x0 ∣ < δ(x0 , ε)] ⇒ [∣f (x0 ) − f (x)∣ < ε].
Die Negation dieses Quantorenungetüms lautet
∃ε > 0 ∀δ(x0 , ε) > 0∶ ∃x ∈ X∶ [∣x − x0 ∣ < δ(x0 , ε)] ∧ [∣f (x0 ) − f (x)∣ ≥ ε].
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3
Unter Verwendung der Quantoren ∃ und ∀ können Negationen beinahe „algorithmisch“ durchgeführt werden. Dazu sind die Quantoren ∃ und ∀, sowie die Operatoren
∧ und ∨, jeweils unter Beibehaltung ihrer ursprünglichen Reihenfolge, zu Vertauschen
und alle auftretenden Aussagen zu negieren. Dies gilt auch für mehr als zweistellige
Aussagen wie in den Stichpunkten (4) bis (7).
Zum Schluss betrachten wir zwei exemplarische Beweise, die das bisher gesagte
unterstreichen sollen.
Satz 1.2 (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis. Wir führen einen indirekten Beweis, nehmen also an, die Behauptung sei
falsch. Die Negation der Aussage „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ ist einfach
„Es gibt endlich viele Primzahlen“. In diesem Fall können wir eine vollständige Liste
P = {p1 , . . . , pn } aller Primzahlen erstellen und betrachten das Produkt aller Zahlen
aus P und addieren 1.
m = p1 ⋅ p2 ⋅ . . . ⋅ pn + 1 ∈ N
(1.1)
Da aber jede natürliche Zahl einen Primteiler besitzt (diese Tatsache wird als bereits
bewiesen angenommen), gilt dies auch für m. Wir nennen diesen Primteiler q und
wissen, dass er bereits in P enthalten ist, da P nach Annahme alle Primzahlen enthält.
Daraus folgt, dass q ein Teiler von m und auch ein Teiler von p1 ⋅ . . . ⋅ pn ist, denn es
existiert ein i mit 1 ≤ i ≤ n und pi = q. Dann muss wegen (1.1) aber auch 1 durch q
teilbar sein, was wegen q > 1 aber nicht möglich ist. Genauer gesagt, wurde hier ein
Widerspruch zu der Tatsache hergeleitet, dass Primzahlen per Definition größer als 1
sind.
∎
Satz 1.3. Sei I ⊂ R ein Intervall und f ∶ I → R eine stetige Abbildung. Dann ist f
genau dann streng monoton, wenn f injektiv ist.
Beweis.
„⇒“ Per Definition ist eine Abbildung streng monoton, wenn aus a, b ∈ I
mit a < b stets f (a) < f (b) (oder f (a) > f (b)) folgt. Dies ist äquivalent zu
der Aussage, dass aus a ≠ b stets f (a) ≠ f (b) folgt. Dies ist aber genau die
Definition für Injektivität.
„⇐“ Offenbar ist f genau dann streng monoton, wenn für je drei Punkte a, b, x ∈ I
mit a < x < b entweder f (a) < f (x) < f (b) (oder f (a) > f (x) > f (b))
gilt. Die offenen Intervalle (f (a), f (x)) und (f (x), f (b)) sind hierbei disjunkt. Wir führen den Beweis nun durch Kontraposition und nehmen hierfür
an, die Abbildung sei nicht streng monoton, so gibt es ein x0 ∈ (a, b) mit
f (x0 ) ∉ (f (a), f (b)). Dann folgt aus der Stetigkeit der Abbildung f und
dem Zwischenwertsatz, dass jedes y ∈ (f (a), f (x0 )) ∩ (f (b), f (x0 )) (beziehungsweise y ∈ (f (x0 ), f (a)) ∩ (f (x0 ), f (b))) ein Urbild in (a, x0 ) und eines
in (x0 , b) besitzt, also existiert ein u ∈ (a, x0 ) und ein v ∈ (x0 , b) mit u ≠ v,
aber f (u) = y = f (v). Folglich ist f nicht injektiv und die Behauptung ist
bewiesen.
∎
Neben den bereits angesprochenen Beweismethoden gibt es noch die folgenden
Verfahren und häufig anwendbaren „Beweiskniffe“:
4
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(1) Vollständige Induktion zum Beweis von Aussagen, welche für eine gewisse
Teilmenge der natürlichen Zahlen gelten.
(2) Soll eine Aussage der Form ∀x ∈ X∶ E(x) bewiesen werden, so beginnt der
Beweis mit „Sei x ∈ X“, um anschließend durch eine Folge von Implikationen
E(x) zu folgern.
(3) In einer Aussage ∃x ∈ X∶ E(x) strebt man danach, ein konkretes x0 ∈ X zu
finden, für das E(x0 ) gilt.
(4) Beim Beweis der Gleichheit zweier Mengen A und B sind die beiden Relationen
A ⊆ B und B ⊆ A nachzuweisen. Hinweis: Der Beweis der Gültigkeit einer
Relation der Form A ⊆ B ist ein Speziallfall des Stichpunktes (2). Startet
man den Beweis folglich mit einem beliebigen a ∈ A und zeigt, dass dieses
Element auch stets in B enthalten ist, so hat man zunächst nur die Hälfte
der notwendigen Arbeit verrichtet!
(5) Bei Stetigkeitsbeweisen nach dem (ε − δ)-Kriterium sucht man nach einem
konkreten δ(x0 , ε) > 0, so dass ∣x − x0 ∣ < δ(x0 , ε) ⇒ ∣f (x) − f (x0 )∣ < ε.
2. Lineare Abbildungen und Matrizen
Seien U und V endlichdimensionale K-Vektorraume mit dim(U ) = n und dim(V ) =
m, dann gibt es zu jeder linearen Abbildung f ∶ U → V eine Matrix A ∈ M (m × n, K).
Die Matrix A heißt Darstellungsmatrix von f . Genaueres regelt der
Satz 2.1. Seien U und V endlichdimensionale K-Vektorräume mit Basen B1 =
{u1 , . . . , un } und B2 = {v1 , . . . , vm }. Die lineare Abbildung f ∶ U → V ist durch die
Bilder f (u1 ), . . . , f (un ) der Basisvektoren aus B1 eindeutig bestimmt, denn für x =
∑ni=1 ci ui gilt
n
n
i=1
i=1
f (x) = f (∑ ci ui ) = ∑ ci f (ui ).
Des Weiteren sei für alle 1 ≤ i ≤ n
(2.1)
m
f (ui ) = a1,i v1 + ⋯ + am,i vm = ∑ aj,i vj
(2.2)
j=1
für aj,i ∈ K und daraus folgt
n
n
m
i=1
i=1
j=1
m
n
f (x) = ∑ ci f (ui ) = ∑ ci ∑ aj,i vj = ∑ (∑ aj,i ci ) vj .
(2.3)
j=1 i=1
Die Gültigkeit von Gleichung (2.1) folgt aus der vorausgesetzten Linearität von f .
Gleichung (2.2) gilt, weil jedes Element aus V eindeutig als Linearkombination der
Basisvektoren aus B2 geschrieben werden kann und (2.3) ist einfach die Kombination
der Aussagen in (2.1) und (2.2). Satz 2.1 impliziert ein Verfahren zur Berechnung
der Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f .
Beispiel 2.2. Sei
f ∶ R2 → R3 ,
⎛2(x1 − x2 )⎞
x
( 1 ) ↦ ⎜ x2 + 3x1 ⎟
x2
⎝ x1 + 1 x2 ⎠
2
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5
und seien die Standardbasen B1 = {e1 , e2 } bzw. B2 = {e1 , e2 , e3 } gegeben. Wegen (2.2)
müssen wir uns zunächst die Bilder der Basisvektoren von R2 unter der Abbildung f
anschauen und als Linearkombination der Basisvektoren aus B2 schreiben.
⎛2⎞
1
f ( ) = ⎜3⎟ = 2e1 + 3e2 + 1e3
0
⎝1⎠
(2.4)
⎛−2⎞
1
0
f ( ) = ⎜ 1 ⎟ = −2e1 + 1e2 + e3
1
2
⎝1⎠
(2.5)
2
Die Koeffizienten {2, 3, 1} in (2.4) beziehungsweise {−2, 1, 12 } in (2.5) entsprechen
genau den Koeffizienten aj,i aus (2.2) und sind die Einträge der Darstellungsmatrix
von f .
a1,1 = 2,
a2,1 = 3,
also
a3,1 = 1,
a1,2 = −2,
a2,2 = 1,
1
a3,2 = ,
2
⎛2 −2⎞
A = ⎜3 1 ⎟ .
⎝1 1 ⎠
2
Betrachten wir nun dieselbe lineare Abbildung bezüglich der Basen
⎧
1
0
0 ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪
2
1
B1 = {( ) , ( )} , B2 = ⎨⎜0⎟ , ⎜1⎟ , ⎜0⎟⎬ ,
1
3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠⎪
dann berechnen sich die Bilder der Basisvektoren unter f zu
⎛2⎞
5
2
f ( ) = ⎜ 7 ⎟ = 2e1 + 7e2 + e3
1
2
⎝5⎠
2
⎛4⎞
5
1
f ( ) = ⎜ 6 ⎟ = 4e1 + 6e2 + e3
3
2
⎝5⎠
2
mit der Darstellungsmatrix
⎛2
B = ⎜7
⎝5
2
4⎞
6⎟ .
5⎠
2
Da wir ausschließlich die Bilder der Basisvektoren betrachten sind die Koeffizienten
ci aus (2.3) stets gleich 1 und beeinflussen die Rechnung damit nicht.
Faustregel: Zur Berechnung der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung,
berechnet man die Bilder aller Basisvektoren und schreibt diese Bilder als Linearkombination der Basisvektoren des Zielraumes. Die dabei auftretenden Koeffizienten
schreibt man spaltenweise in eine Matrix.
6
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Umgekehrt kann man aus jeder Matrix die zugehörige lineare Abbildung zurückgewinnen, indem man definiert
n
m
n
f (x) = f (∑ ci ui ) ∶= ∑ (∑ aj,i ci ) vj .
i=1
j=1 i=1
Ein beliebiges x ∈ R2 ist Linearkombination der Standardbasis, also x = x1 e1 + x2 e2
für x1 , x2 ∈ R und für die oben berechnete Darstellungsmatrix A von f ergibt sich so
f (x) = (a1,1 x1 + a1,2 x2 )e1 + (a2,1 x1 + a2,2 x2 )e2 + (a3,1 x1 + a3,2 x2 )e3 .
1
= 2(x1 − x2 )e1 + (3x1 + x2 )e2 + (x1 + x2 )e3 .
2
3. Algebraizität, Transzendenz, Berechenbarkeit
Eine Zahl z ∈ C heißt algebraisch, wenn es für n ∈ N ∖{0} ein Polynom
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ⋯ + a1 x + a0
gibt, so dass für 0 ≤ k ≤ n stets ak ∈ Q und p(z) = √0 gilt. Insbesondere ist die
Forderung ak ∈ Q zu beachten, denn zum Beispiel ist i ∈ C zwar (eine) Nullstelle
des quadratischen Polynoms p(x) = x2 − i mit a2 = 1 und a0 =
√i jedoch ist dann a0 ∉ Q.
Ein geeignetes Polynom zum Beweis der Algebraizität von i ist p(x) = x8 − 1. Eine
Zahl z ∈ C heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist, falls also kein Polynom
der obigen Form gefunden werden kann, so dass z Nullstelle dieses Polynoms ist. Das
populärste Beispiel einer transzendenten Zahl ist π ∈ R. Der naheliegende Ansatz
p(x) = x − π scheitert wiederum an a0 = π ∉ Q. Für einen vollständigen Beweis
der Transzendenz von π benötigt man jedoch die Integralrechnung. Eine Zahl heißt
berechenbar, wenn sie mittels eines endlichen (!) Programms mit endlichem Input
beliebig genau berechnet werden kann (Definition, Leitfaden 1, Seite 8). Alle Zahlen
aus Q und alle algebraischen Zahlen aus R sind berechenbar (Wieso?). Ein Hinweis
darauf, dass nicht alle transzendenten Zahlen berechenbar sind, ist der folgende (noch
nicht vollständig nachvollziehbare): Jedes Programm einer Turing-Maschine besitzt
nur endlich viele Zeichen und die Menge all dieser Programme ist abzählbar. Definiert
man Berechenbarkeit nun durch Turing-Berechenbar, so gibt es folglich nur abzählbar
viele berechenbare Zahlen, jedoch ist bereits R überabzählbar!
4. Permutationen
Sei M eine Menge mit ∣M ∣ = n < ∞ vielen Elementen, dann heißt eine bijektive
Abbildung σ∶ M → M eine (n-stellige) Permutation der Elemente von M . Eine übliche
Schreibweise für Permutationen ist die Angabe einer Wertetabelle mit allen Werten
aus dem Definitionsbereich in der ersten und allen Werten aus dem Zielbereich in der
zweiten Zeile. Da Definitions und Zielbereich hier jeweils gleich M und die Abbildung
σ bijektiv ist, ändert sich in der zweiten Zeile lediglich die Anordnung der Elemente.
Sei z.B. M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dann ist
1
2
3
4
5
6
σ=(
)
σ(1) σ(2) σ(3) σ(4) σ(5) σ(6)
(4.1)
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7
Die Menge der bijektiven Abbildungen mit der Komposition ○ als Verknüpfung
bildet eine (nicht abelsche) Gruppe mit idM als neutralem und σ −1 (warum existiert
diese Abbildung?) als inversem Element. Man bezeichnet diese Gruppe als die
symmetrische Gruppe Sn und sie besitzt n! verschiedene Elemente (Beweis durch
Induktion). Die Verknüpfung von Permutationen der Form (4.1) stellt also eine
Verknüpfung von Abbildungen dar und wird (wie bei Abbildungen üblich) von rechts
nach links ausgeführt!
Beispiel 4.1. Seien
1 2 3 4 5 6
σ=(
)
3 1 2 4 6 5
und
τ =(
1 2 3 4 5 6
),
6 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 6
)
5 1 2 4 6 3
und
τ ○σ =(
dann ist
σ○τ =(
1 2 3 4 5 6
).
3 6 2 4 1 5
Potenzen von Permutationen sind wiederum nichts anderes die mehrfache Hintereinanderausführung derselben bijektiven Abbildung, das heißt
σn = σ ○ σ ○ ⋯ ○ σ .
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
n−mal
5. Stetige Funktionen
Zur Verdeutlichung der Vorgehensweise beim Stetigkeitsnachweis mit dem (ε, δ)Verfahren beweisen wir exemplarisch die Stetigkeit der Wurzelfunktion. Beispiele für
stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig stetig sind, hatten wir bereits betrachtet.
√
√
Beispiel 5.1. Die Wurzelfunktion ●∶ R+ → R+ , x ↦ x ist stetig. Wir verwenden
wieder das (ε−δ)-Kriterium und müssen folglich ein konkretes δ angeben, welches das
Kriterium erfüllt. Eine direkte Herangehensweise hierfür ist die Folgende: Untersuche
den Abstand ∣f (x) − f (x0 )∣ für beliebiges, aber festes x0 ∈ R+ und schätze diese Größe
derart ab, dass sie in Abhängigkeit des Abstands ∣x − x0 ∣ dargestellt werden kann. Da
∣f (x) − f (x0 )∣ < ε gelten muss, kann man nun ablesen, wie man δ in Abhängigkeit
von ε und x0 ∈ R+ zu wählen hat. Es gilt
Da
√
√
√
x − x0
∣f (x) − f (x0 )∣ = ∣ x − x0 ∣ = ∣ √
√ ∣.
x − x0
(5.1)
x ≥ 0 ist, können wir (5.1) durch
x − x0
x − x0
∣x − x0 ∣
∣√
√ ∣≤∣ √ ∣= √
x0
x0
x − x0
nach oben abschätzen. Hier werden wir vor das Problem gestellt, dass möglicherweise
√
x0 = 0 und somit auch x0 = 0 ist und der letzte Quotient in diesem Fall undefiniert
8
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wäre. Nehmen wir also zunächst x0 > 0 an, dann erkennt man sofort, dass durch die
√
Wahl δ(ε, x0 ) ∶= ε x0 folgt
√
∣x − x0 ∣ δ(ε, x0 ) ε x0
<
=
= ε.
√
√
√
x0
x0
x0
Es bleibt die Betrachtung des Falles x0 = 0. Dieser ist aber besonders einfach, denn
es gilt
√
√
√
∣ x − x0 ∣ = x − x0 < ε,
wenn δ ∶= ε2 . Damit ist alles gezeigt.
6. Folgen
Wir untersuchen exemplarisch drei Folgen auf Konvergenz, um mögliche Vorgehensweisen zu illustrieren.
Beispiel 6.1.
(1) Für alle Potenzen k ∈ N gilt limx→∞ ex x−k = ∞. Aus der Vorlesung kennen wir die Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion. Diese
benutzen wir, um eine uneigentlich konvergente Minorante zu konstruieren.
Es gilt
∞
xk+1
xn
>
.
(6.1)
ex = ∑
(k + 1)!
n=0 n!
Aus (6.1) folgt
ex
x
x→∞
ÐÐÐ→ ∞
>
k
x
(k + 1)!
und damit die Behauptung.
n
(2) Die Folge en ∶= (1 + n1 ) konvegiert für n → ∞ gegen die Eulersche Zahl e. In
der Vorlesung wurde die allgemeine Potenz ab ∶= exp(b ln(a)) für alle a > 0
eingeführt. Angewandt auf die Folge en ergibt dies mit a ∶= 1 + n1 > 0 und
b ∶= n die Darstellung
1
1 n
(1 + ) = exp (n ln (1 + )) .
n
n
Aufgrund der Stetigkeit der Exponentialfunktion genügt es nun, n ln (1 + n1 ) →
1 für n → ∞ zu beweisen. Hierzu nutzen wir die Stetigkeit der Logarithmusfunktion und der daraus folgenden Konvergenz limn→∞ ln (1 + n1 ) = ln(1) = 0.
Auf die Folge
ln (1 + n1 )
fn ∶=
1
n
können wir folglich den Satz von L’Hospital anwenden. Es gilt
′
lim fn = lim
n→∞
(ln (1 + n1 ))
n→∞
′
( n1 )
=
1 −1
1 n2
1+ n
lim −1
n→∞
n2
1
= 1.
n→∞ 1 + 1
n
= lim
Insgesamt folgt also
lim en = lim exp(fn ) = exp ( lim fn ) = exp(1) = e .
n→∞
n→∞
n→∞
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(3) Die Folge zn ∶=
in
1+i n
9
ist eine Nullfolge. Wir bringen zn in die Form
zn =
1
in
in
= ⋅
1 + i n n i +1/n
n
i
und weisen nach, dass die Folge yn ∶= i +1/n
beschränkt ist. Dies bedeutet,
dass zn das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge, also selbst
eine Nullfolge ist. Hierzu bemerken wir zunächst, dass
√
∣i +1/n∣ = 1 + 1/n2 ≥ 1
gilt. Daraus folgt
∣
in
∣in ∣
∣i∣n
1
∣=
=
=
≤1
i +1/n
∣i +1/n∣ ∣i +1/n∣ ∣i +1/n∣
und insgesamt die Behauptung.
In der Vorlesung wurde eine spezielle Form von Folgen behandelt – die CauchyFolgen. Dabei heißt (xn )n∈N eine Cauchy-Folge, falls für alle ε > 0 ein N ∈ N existiert,
so dass ∣xn − xm ∣ < ε für alle n, m ≥ N gilt. Folgende Aussagen sollten für die Klausur
bekannt sein:
Lemma 6.2. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Beweis. Sei (xn )n∈N eine konvergente Folge mit limn→∞ xn = x, dann gilt für n,
m ≥ N ∈ N die Abschätzung
ε ε
∎
∣xn − xm ∣ = ∣xn − x + x − xm ∣ ≤ ∣xn − x∣ + ∣xm − x∣ < + = ε.
2 2
Lemma 6.3. Cauchy-Folgen sind beschränkt.
Beweis. Sei (xn )n∈N eine Cauchy-Folge mit ∣xn − xm ∣ < 1 für n, m ≥ N ∈ N, dann
folgt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung
∣xn ∣ − ∣xN ∣ ≤ ∣xn − xN ∣ < 1,
also ∣xn ∣ < 1 + ∣xN ∣.
∎
Die Umkehrung von Lemma 6.3 ist im Allgemeinen falsch. Betrachte hierzu die
rationale Zahlenfolge x∶ N → Q mit x0 ∶= a und xn+1 ∶= 12 (xn + xan ). Man kann zeigen
√
(wie?),
√ dass x in R gegen a konvergiert. Dann kann x aber nicht in Q konvergieren,
weil a im Allgemeinen keine rationale Zahl und der Grenzwert von x eindeutig ist.
Eine weitere Art von Folgen, die in der Vorlesung behandelt wurden, sind die
Reihen. Aus dem oben erwähnten Konzept der Cauchyfolge leitet man ein Konvergenzkriterium für Reihen ab.
Satz 6.4 (Cauchy). Die Reihe ∑∞
k=0 xk ist konvergent genau dann, wenn zu jedem
ε > 0 ein N ∈ N existiert mit
m
∣ ∑ xk ∣ < ε
k=n+1
für m > n ≥ N .
10
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1
Beispiel 6.5.
(1) Die harmonische Reihe ∑∞
k=1 k ist uneigentlich konvergent in
R. Wir verwenden das Cauchy-Kriterium in der Form
n
2n
1
1
1
n
1
1
1
−∑ ∣= ∑
=
+⋯+
≥
=
k
k
k
n
+
1
2n
2n
2
k=1
k=1
k=n+1
2n
∣∑
und nach Satz 6.4 kann die harmonische Reihe nicht in R konvergieren.
1 k
(2) Die Reihe ∑∞
k=1 k q ist konvergent für alle ∣q∣ < 1. Wir überprüfen wieder die
Partialsummen für m > n ≥ N ∈ N mit dem Cauchy-Kriterium
n
m
m
m
qk
qk
qk
qk
1 − ∣q∣m+1
=∶ ε.
−∑ ∣=∣ ∑
∣ ≤ ∑ ∣ ∣ ≤ ∑ ∣q∣k ≤
1 − ∣q∣
k=1 k
k=1 k
k=n+1 k
k=n+1 k
k=n+1
m
∣∑
7. Potenzreihen
Wir berechnen den Konvergenzradius der Potenzreihe
∞
2
1
1
p = ∑ Xk = 1 + X + 0 ⋅ X2 + 0 ⋅ X3 + X4 + 0 ⋅ X5 + ⋯
2
k=0 k!
Die Koeffizienten besitzen hier die Form
⎧
⎪
⎪1/j!, falls k = j 2
ak ∶= ⎨
⎪
0,
sonst.
⎪
⎩
Daraus folgt
√
√
√
√ j→∞
−1
2
2
1/j 2
1 ≤ ( k ∣ak ∣) = j j! ≤ j j j = (j j )
= j 1/j = j j ÐÐÐ→ 1.
Für die Berechnung des Konvergenzradius nach der Formel von Hadamard folgt also
−1
√
k
rp = (lim sup ∣ak ∣) = 1.
k→∞