WVV 09 Lösungen zu Übung 2

WVV 09
1)
Lösungen zu Übung 2
Bestimme die Lösungsmenge!
a)
b)
2)
−2x + 5 = 5x − 2
⇔ −7x = −7
⇔ x=1
Lx = {1}
3x + y
15x + 5y = 30 7, 5x
=
6
=
20
⇔
⇔
7, 5x + 5y = 10 7, 5x + 5y = 10 7, 5x +5y = 10 7, 5x
7, 5x
x
= 20 = 20 = 2 32 ⇔
⇔
⇔
y = −2 5y = −10 5y = −10 2
Also ist L(x|y) =
23| − 2 .
Eine Gerade verläuft durch die Punkte
P (3|4)
und
Q (−1| − 2).
Gib die Geradengleichung an!
Die Normalform der Geradengleichung ist gegeben durch
Nun berechnet sich
Also ist
3)
b)
4=
3
2
3
b)
die Steigung der G
· 3 + b⇔ 4 = 4 21 + b ⇔ − 12 = b.
1
die gesuchte Geradengleichung.
2
um!
3
125 cm = 0, 000125 m3
100 ` = 0, 100 m3
Konstruiere (mit Zirkel, Lineal und Winkelmesser) ein Dreieck mit den Seitenlängen
b = 5 cm, c = 3 cm
und
α = 70°
Bestimme durch Messung alle fehlenden Stücke!
6)
m
(1221)3 = 1 + 2 · 3 + 2 · 9 + 1 · 27 = 52
(AB)16 = 11 + 10 · 16 = 171
Wandle in m
a)
5)
wie folgt:
Dabei ist
Verwandle in eine Dezimalzahl!
a)
4)
y = 32 x −
b
y = mx + b.
a)
Berechne die Innenwinkelsumme eines Fünfecks!
s eines Fünfecks
s = (5 − 2) · 180° = 3 · 180° = 540°
Die Innenwinkelsumme
b)
berechnet sich wie folgt:
Erläutere, weshalb ein 10-Eck eine Innenwinkelsumme von
1440°
hat!
Es lässt sich zeigen, dass die Innenwinkelsumme eines ebenen Dreiecks
180°beträgt.
Um aus einem Dreieck ein Viereck zu gewinnen, hängt man ein weiteres Dreieck an.
360°. Ebenso lässt sich
beträgt 8 · 180° = 1440°.
Die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt demnach stets
ein 10-Eck in 8 Dreiecke zerlegen. Die Innenwinkelsumme
7)
Informiere dich über Platonische Körper! Nenne hier die fünf Platonischen Körper und
gib jeweils die Anzahl ihrer Ecken, Kanten und Flächen an!
8)
Körper
Anzahl der Ecken
Anzahl der Kanten
Anzahl der Flächen
Tetraeder
4
6
4
Hexaeder
8
12
6
Oktaeder
6
12
8
Dodekaeder
20
30
12
Ikosaeder
12
30
20
Die Zahl 72 soll in drei natürliche Summanden
a, b
und
c
zerlegt werden. Zusätzlich soll
die Summe aus dem fünften Teil des ersten Summanden, dem sechsten Teil des zweiten
Summanden und dem siebten Teil des dritten Summanden 13 betragen.
Weise nach, dass
a)
a
ein Vielfaches von 5,
b
ein Vielfaches von 6 und
c
ein Vielfaches
von 7 sein muss!
a +b +c = 72
1
5 a + 16 b + 71 c = 13
Die zweite Gleichung ist äquivalent zu
42a + 35b + 30c = 2730.
Haben die Summe zweier Zahlen und eine dieser Zahlen, einen gemeinsamen Teiler,
so muss dieser auch Teiler des zweiten Summanden sein. Nun gilt: 5 ist Teiler von
30c. Also ist 5 auch Teiler von 42a. Da 5 kein Teiler von 42
ist, muss 5 Teiler von a sein. Also ist a ein Vielfaches von 5.
Ebenso lässt sich begründen, dass b ein Vielfaches von 6 und c ein Vielfaches von 7
2730, von
35b
und von
ist.
b)
(a|b|c)
!
a +b +c = 72 42a +42b +42c = 3024
1
⇔
5 a + 16 b + 71 c = 13 42a +35b +30c = 2730
7b +12c = 294 42a +35b +30c = 2730 b =
c 42 − 12
7
⇔
a = 65 − 56 b − 75 c Bestimme alle Lösungen
⇔
c ∈ {7; 14; 21} ergeben sich durch schrittweises Einsetzen die drei Lösungen
(35; 30; 7), (40; 18; 14) und (45; 6; 21). c ≥ 28 kommt nicht in Frage, da b ≥ 0 gelten
Für
muss. Es gibt also keine weitere Lösung.