03.02_Algebra_Grundr..

TG
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
Kapitel 3
Mathematik
Kapitel 3.2
Algebra
Grundrechenarten
RESULTATE
UND
LÖSUNGEN
Verfasser:
Hans-Rudolf Niederberger
Elektroingenieur FH/HTL
Vordergut 1, 8772 Nidfurn
055 - 654 12 87
Ausgabe:
August 2008
www.ibn.ch
7. September 2009
TG
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
Inhaltsverzeichnis
3 Mathematik
3
Mathematik .............................................................................................................................. 2
3.2
Algebra Grundrechenarten .................................................................................................. 3-2
3.2.1
Addieren und Subtrahieren ...................................................................................... 3-2
3.2.1.1
3.2.1.2
3.2.1.3
3.2.1.4
3.2.1.5
3.2.1.6
3.2.1.7
3.2.1.8
3.2.1.9
3.2.1.10
3.2.1.11
3.2.1.12
3.2.1.13
3.2.2
Multiplizieren ............................................................................................................ 3-2
3.2.2.1
3.2.2.2
3.2.2.3
3.2.2.4
3.2.2.5
3.2.2.6
3.2.3
www.ibn.ch
Formelsammlung zu Dividieren von Brüchen ......................................3-2
Dividieren von Zahlen mit Vorzeichen .................................................3-2
Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen (ggT) ..............................3-2
Der kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (kgV) ........................3-2
Kürzen von Brüchen............................................................................3-2
Erweitern von Brüchen ........................................................................3-2
Addieren und Subtrahieren von gleichnamigen Brüchen.....................3-2
Addieren und Subtrahieren von ungleichnamigen Brüchen.................3-2
Dividieren mit Doppelbrüchen.................................................................................. 3-2
3.2.5.1
3.2.5.2
3.2.5.3
3.2.5.4
3.2.5.5
3.2.5.6
3.2.6
3.2.7
3.2.8
3.2.9
Formel zur Multiplikation mit Brüchen .................................................3-2
Multiplizieren von Brüchen ..................................................................3-2
Dividieren ................................................................................................................. 3-2
3.2.4.1
3.2.4.2
3.2.4.3
3.2.4.4
3.2.4.5
3.2.4.6
3.2.4.7
3.2.4.8
3.2.5
Formeln zur Multiplikation mit Zahlen ..................................................3-2
Multiplizieren von Produkten ...............................................................3-2
Das Vorzeichen beim Multiplizieren.....................................................3-2
Multiplizieren von Summen .................................................................3-2
Zerlegen in Faktoren (Ausklammern) ..................................................3-2
Vermischte Aufgaben zur Multiplikation ..............................................3-2
Multiplizieren mit Brüchen........................................................................................ 3-2
3.2.3.1
3.2.3.2
3.2.4
Formelsammlung Addieren und Subtrahieren .....................................3-2
Addieren von gleichartigen Zahlen ......................................................3-2
Addieren von ungleichartigen Zahlen ..................................................3-2
Vermischte Aufgaben von gleich- und ungleichartigen Zahlen ............3-2
Subtrahieren von gleichartigen Zahlen................................................3-2
Subtrahieren von ungleichartigen Zahlen ............................................3-2
Addieren,Subtrahieren von Zahlen verschiedener Vorzeichen ............3-2
Addieren und Subtrahieren von Zahlen ...............................................3-2
Addieren und Subtrahieren vermischte Aufgaben ...............................3-2
Ein Pluszeichen steht vor der Klammer...............................................3-2
Ein Minuszeichen steht vor der Klammer ............................................3-2
Klammern in Klammern.......................................................................3-2
Vermischte Aufgaben zu Klammern ....................................................3-2
Formelsammlung zur Division mit Doppelbrüchen ..............................3-2
Dividieren von Brüchen .......................................................................3-2
Dividieren von einer Summe durch eine Zahl ......................................3-2
Dividieren von einer Zahl durch eine Summe ......................................3-2
Dividieren von Summen ......................................................................3-2
Vermischte Aufgaben zur Wiederholung der Division .........................3-2
Binome..................................................................................................................... 3-2
Exponentialrechnen, Potenzieren ............................................................................ 3-2
Wurzelrechnen, Radizieren ..................................................................................... 3-2
Logarithmieren......................................................................................................... 3-2
7. September 2009
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
3.2
Seite
3-200
Algebra Grundrechenarten
3.2.1 Addieren und Subtrahieren
3.2.1.1
Formelsammlung Addieren und Subtrahieren
Sum ma nd
In einer Summe darf man die Summanden
vertauschen.
(Kommutativgesetz)
a + b = b + a
Beim addieren darf man die Summanden zu
Teilsummen zusammenfassen.
(Assoziativgesetz)
(a + b) + c = a + (b + c)
Sum ma nd
a+b = c
Sum me
Gleichnamige Ausdrücke können zusammengefasst werden, indem die Beizahlen addiert
oder subtrahiert werden.
6a − 3a + 2a = 5a
Die Reihenfolge der einzelnen Glieder darf
verändert werden.
a − 2c + b = a + b − 2c
4a + 2a = (4 + 2) ⋅ a = 6a
Minuend
Differenz
a−b = c
Subtrahend
Es lassen sich nur gleichnamige Ausdrücke
zusammenfassen.
+ -Zeichen vor dem Klammerausdruck, so können die Klammer und das + Steht ein
Zeichen weggelassen werden, ohne dass sich
der Wert in der Klammer ändert.
Steht ein − -Zeichen vor der Klammer, so
müssen bei ihrem Weglassen alle Vorzeichen
in der Klammer umgekehrt werden. (Das − Zeichen vor der Klammer fällt mit der Klammer
weg)
www.ibn.ch
3a + 5b + a − 2b = 4a + 3b
a + (−b) = a − b
a + (b − c) = a + b − c
a + (−b) = a − b
a + (b − c) = a + b − c
7. September 2009
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.2
3-201
Addieren von gleichartigen Zahlen
1
4a
8
43 nx
15
2
6c
9
55 ab
16
3
3bu
10
292 cy
17
4
4 xyz
11
18
5
31 a
12
6
21 x
13
38a 3
12 , 2 a
29 , 6 r
20
42 ,8 AB
7
20 y
14
18 ,5 ax
21
55 a1b2
www.ibn.ch
Seite
19
20 ,53 abc
10 a
= 2a
5
4
7 n
5
24 ,7 ax
41,35 a
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
7 bn ,2 bn
31
2
32
3
33
gleichartige
21 a + 26 b
4 36 a + 13 x
5 19 N + 38 R + 60
17
1
ab + 16 ax
30
3
6 ,382 kg
64 , 2 kg
6
34
8,58 m
35 15 , 02001 m 3
36
3,667141 m 2
8
14 α + 23 β + 16
15 x1 + 50 x 2 + 4
37
33 h48 min 20 s
9
7 ab1 + 15 ab
38
5135 g
10
39 AC + 12 BC
39
9,76 m
11
106 n + 358 x
11a + 6 x + 16 y
40
9 , 4 Fr
41
42
308 min
46
43
36 ,5
44
71,5
16
14 a + 32 ,8 n
15 , 4 ab + 3,1ac + 23 ,8 ad
4 x + 0,7 y + 10
a + 6b
45
11, 25
17
9 , 7 ax + 11bx
46
9
18
56 ,95 b + 114 , 2 c
47
25 ,15
19
7 a + 9b + 11, 2 c
48
20
4,3 x + 7 , 4 xz + 10 ,3 z
49
14 a + 4 b + 13 c + 5 d
8,7 ab + 8 x + 7 y + 4,5 z
21
2
50
24 a + 11b + 15 c + 15 d
22
2 b + 21
51
23
19
19
x+
y
20
20
52
12 ,6 a + 13 , 7 b + 17 ,8 c + 26 ,7 x
3
1
4
13 a + 12 b + 27 c
4
4
9
7
12
13
14
15
1
1
x+2 y
4
6
2
8
a + 40
b
63
21
1
2
25 12 ab + 4 ax
6
3
24
3-202
Addieren von ungleichartigen Zahlen
3.2.1.3
1
Seite
60
23
24
11
1
5
37
a + 10 b + 13 c + 21
x
15
4
8
55
53
11
54
1
31 ab + 14 ax + 5 bx + 5
6
26
6
3
c + 8d
4
55
a) U = 25 a
b) U = 125 m
27
6
1
x + 6 , 4 xy
3
56
a) U = 4 a + d + d ⋅ π
2
b) U = 16 , 28 m
28
12
1
bx + 1,9 by
2
57
a) U = 48 a
b) U = 3380 mm
29
76
7
4
a + 1 ax
10
5
58
a) l = 12 ,5 a + 6 b
b) l = 737 ,5 mm
30
3
3
x + 10 ,7 xy
4
www.ibn.ch
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3-203
Vermischte Aufgaben von gleich- und ungleichartigen Zahlen
3.2.1.4
1
Seite
29 x
30 a
12
5 a + 33 b
2
13
3
9 ,3b
14
4
15
5
29 ,8 r
12 , 2 x
25 x + 46 y
20 a + 11b + 15 c
2 ,1ab + 1,5bc + 4 ,9 c
16
69 ,3 n + 44 ,3 xy
6
15
13
c
24
17
15
7
2
33
dx
40
18
8
17
5
t1
6
19
9
43 ,35 P
20
l = 16 a
l = 480 mm
10
a)
b)
11
a) U = 34 a
b) U = 1700 mm
www.ibn.ch
3
2
xy + 19 xz
5
5
1
2
1
c + 7 dx + 7 n
2
3
4
3
3
4 x + 2 ,5 xz + 2 z
4
5
5
a) l = 7 a + 7 b
6
4
b) l = 440 5 mm
6
a)
U
=
4
a
+ 10 b
21
b) U = 1142 mm
22
a) l = 4 a + 4
b)
+ 4c
2
dπ
b+c+
3
2
l = 2019 ,138 mm
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
a
7x
35 ax
17
19
− 11 a
− 19 x
− 13 ab
20
− 2d
21
8
2a
4 ab
9 ,9 x
9 ,5 x
9
0 ,1a
24
− 32 x
− 0 ,1ax
− 8 , 3b
7
− 10 n
9
10
29 , 4 ab
25
11
48 c
2
ab
9
11
1 xy
12
26
13
ac
24
− 1,55 cm
27
− 2 , 4 ab
28
− 7 , 2 xy
29
1
− 4 cx
3
30
−
31
− 22 ,15 x
2
3
4
5
7
12
13
14
3
15
3
16
2
n
5
1
d
4
7 ,15 ax
www.ibn.ch
3-204
Subtrahieren von gleichartigen Zahlen
3.2.1.5
1
Seite
18
22
23
− 11
1
ad
3
7. September 2009
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.6
1
3-205
Subtrahieren von ungleichartigen Zahlen
8
2
3 a − 3b
− 3, 6 b + 7 ,8 x
3
6 , 6 ab − 3,5 x
10
4
1
1
− 5 ay + 5 y
3
2
11
5
− 2 , 7 ad + 1,69 ady
12
6
− 4,6 a + 1
7
− b − 3c
11
x
30
9
13
14
15
www.ibn.ch
Seite
− 3,1a − 91 ax
− 0 ,7 ab − 10 , 2 ac
8
1
a −8 b
15
4
5
− bx − 3, 4 c
9
38
b
− 1, 2 a −
45
1
− 13 ,01c + 4 cx
5
−1
2 ,5 kg
187 , 2 cm
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.7
−a
16
− 5 ,5 c
2
3a
17
3
11 a
18
− 2,7 x
− 3, 6 a
4
5b
19
−a
5
− 10 b
20
− a + 2y
6
2x
21
− 9x + 4 y
7
22
5, 2 a + 11,1n
23
9
3n
− 18 a
15 xy
24
0 ,5b − 1,3 x
2,6 a
10
x− y
25
4
11
9a
26
12
− 11 x
27
1
29
h
30
13
z
28
−
4
1
ax −
x
9
30
14
− 3, 4 b
29
15
− 2 ,3 a
www.ibn.ch
3-206
Addieren,Subtrahieren von Zahlen verschiedener Vorzeichen
1
8
Seite
1
d
32
−5
1
a−
24
b
11
1
1
1
a−5 b+6 c
5
4
6
1
117
30 15 a + 1
b
2
200
2
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.8
− 3a
20
7 , 25 a + 20 ,75 b + 13 ,1c
2
80 x
21
6
3
− 3b
22
4696
4
13 x
23
2
5
4 a + ax
24
2
a+b
3
6
0
25
7
5 n + 6 x + 15
26
8
7 a − 4b + 4 c + 4 d
27
9
3a − 4b
28
26 b + 2 c
7a + b
29
10 a + 6 b
10 x + 10 y
31
33
15
14 ,9 x + 0,7 y − 1,7 z
10 , 2 a − 2 ,7 b − 0 ,8 c − d
16
− 1,5 a + 1,9 b
35
17
3,5 x − 0 ,7 y
36
− 1,8 a − 6 ,8b + 17 ,7 c − 2 , 4 d
− 0 ,3 a − 9 , 7 b + 13 , 2 c +
5 ,94 d − 3,3 x
− 1,9 a + 12 ,9 b + 4 ,7 c + 3,3 d
18
2 ,7 c − 1,6 d
2,1x + 2,2 y + z
37
− 3,8 a + 8 ab + 7 , 2 x + 3, 7 y
11
12
13
14
19
www.ibn.ch
3-207
Addieren und Subtrahieren von Zahlen
1
10
Seite
30
32
34
5
1
a + 20 b
6
5
11
g
21
5
ab
6
3b − 8 c
1
19
5
6 a+2
b+ c
4
20
6
2
5
19
− 29 x + 57
y+5
3
12
24
1
cm
6
9 ,125 ab − 3,503 ac + 2, 45 ad
4562
3 h15 min 28 ,5 s
− 28 a + 6 b + 7 x − 9
− 11 m − 15 n + 2 p + 15 x
− 7 ,7 a − 5, 7 y − 1,3
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
1
− 12 x + y − 7 z
2
a−
3
12
− 157 ,04 g − 77 ,14 m + 44 ,95 t
13
− 546 ,501
7 , 24 a + 17 ,13 b + 2 , 09 c
14
−
4
2,8uv + xy − 0,5
15
− 124 ,62 x + 17 ,775 y
5
457 , 44 a + 308 ,09 b + 310 , 76 c − 94 , 07 d
16
186
17
a) a = D − d + b
2 2
b) a = 56 mm
11
1
b+
c
30
12
5
13
11
2
x 45
y + 316 z
6 105 b + 376
6
40
18
3
8
3-208
Addieren und Subtrahieren vermischte Aufgaben
3.2.1.9
7 5
Seite
17
1
1
5
13
a + 171
b − 14
c−7
n − 114
18
30
28
24
24
20 x + 115 y + 205 z
18
19
1
1
1
a1 − 4
a 2 + 1 a3
4
12
2
1
2
u+4 v
50
3
D d
+ −a
2 2
b) x = 37 ,5 mm
d
D
a) x =
+a−
2
2
a) x =
b) x = 73 ,5 mm
9
10
11
− a + 3b + 6
1
x
2
13
1
3
P−4 Q+ R
24
3
8
1
8,8 a + 90 b110 ,9 c
8
− 20
www.ibn.ch
20
a) l = a + b + c + r ⋅ π −
d ⋅π
2
b) l = 825 ,96 mm
21
a)
l = a + 2 b + ( D − d )π
b) l = 132 ,5 mm
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.10
1
3-209
Ein Pluszeichen steht vor der Klammer
10 a + 8
5c + 6
7
2
3
3 x + 12
9
4
5
35 x + 2 y
0,7 a + b
6
−
www.ibn.ch
Seite
8
10
10 a − 4 b
12 x − 2 y + 6 z
3b + 16
6, 2b − 4 ,2 x
1
3
x +1
y
20
10
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.11
12
25 x + 35 y − 35 z
13
3
4
4 ax
15
14 ,7 a + 1,6 b + 35 ,5 c
1,1a + 9,6 x
1
70 a − 19 b
2
5
9a + 9c
16
− 12
6
a − 23 b − 6 x
7
− 15 a − 2 b
8
21 a − 4 b − 5 c
19
87 a − 18 b
9
− a − 21b
20
8, 7 b + 6 , 7 x
10
− 5 ab − 9
21
11
11 r − 9 s
22
2
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3-210
Ein Minuszeichen steht vor der Klammer
2b
− 2 a + 9b
6 a + 5b + c
1
Seite
14
5
2
1
x + 25 y + 31 z
7
9
8
37
3
11
a+2
b +1
c
17 −
120
20
20
3
13
137
18 − a +
n+
x
8
30
140
5
7
ab − 4
ax
6
12
1
1
1
6 a+6 b− c−6
2
2
3
4
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.12
www.ibn.ch
Seite
3-211
Klammern in Klammern
7. September 2009
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.13
www.ibn.ch
Seite
3-212
Vermischte Aufgaben zu Klammern
7. September 2009
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.2
Multiplizieren
3.2.2.1
Formeln zur Multiplikation mit Zahlen
Zwischen Faktoren, nicht aber zwischen Ziffern, kann man das Malzeichen weglassen
Seite
3-213
4 ⋅ a = 4a
5 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ b = 5 ⋅ 2ab = 10ab
Definition der Elemente
beim Multiplizieren
Fa k tor
Fa k tor
Man kann die Faktoren vertauschen
(Kommutativgesetz).
b ⋅ a ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c = abc
b ⋅ a ⋅ c ⋅ 3 ⋅ 4 = 12abc
a ⋅b = c
Resulta t
Produk t
Ist ein Faktor Null, so ist das ganze Produkt
Null.
3⋅ 0 = 0
a⋅0 = 0
10 ⋅ a ⋅ 0 ⋅ b = 0
Man darf Teilprodukte zusammenfassen
(Assoziativgesetz).
4a ⋅ 5b = 4 ⋅ 5 ⋅ ab = 20ab
Gleiche Anzahl negativer Vorzeichen ergeben
ein positives ( + ) Resultat.
( −a ) ⋅ ( −b) = ab
Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen ergeben ein negatives ( - ) Resultat
Man multipliziert ein Klammerausdruck mit
einem Faktor, indem man jedes Glied einer
Summe mit dem Faktor multipliziert.
Man multipliziert zwei Klammerausdrücke,
indem man jedes Glied der einen Summe mit
jedem Glied der anderen Summe multipliziert
(siehe auch Binome).
Einen gemeinsamen Faktor kann man ausklammern.
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a ⋅ b = ab
(−a) ⋅ b = −ab
a ⋅ (−b) = −ab
n ⋅ ( a + b) = na + nb
(a + b)(c + d ) =
ac + bc + bc + bd
an + bn − n = n ⋅ (a + b − 1)
7. September 2009
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.2
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Seite
3-214
Multiplizieren von Produkten
7. September 2009
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.3
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Seite
3-215
Das Vorzeichen beim Multiplizieren
7. September 2009
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3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.4
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3-216
Multiplizieren von Summen
7. September 2009
TG
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2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.5
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3-217
Zerlegen in Faktoren (Ausklammern)
7. September 2009
TG
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2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.6
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3-218
Vermischte Aufgaben zur Multiplikation
7. September 2009
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.3
Multiplizieren mit Brüchen
3.2.3.1
Formel zur Multiplikation mit Brüchen
Seite
3-219
Fa k tor
Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert,
indem die Zahl mit dem Faktoren des Zählers
multipliziert wird.
a
ac
⋅c =
b
b
Brüche werden multipliziert, indem die Faktoren des Zählers und die Faktoren des Nenners
multipliziert werden.
a c ac
⋅ =
b d bd
Fa k tor
a
ac
⋅c =
b
b
Produk t
Fa k tor
Fa k tor
a c ac
⋅ =
b d bd
Produk t
Zähler
a
b
Nenner
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2
3
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN MIT BRÜCHEN
3.2.3.2
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Seite
3-220
Multiplizieren von Brüchen
7. September 2009
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.4
Dividieren
3.2.4.1
Formelsammlung zu Dividieren von Brüchen
Doppelpunkt und Bruchstrich sind gleichbedeutende Rechenzeichen.
a
=a:b
b
Seite
3-221
Normalerweise wird
eine Division als Bruch
geschrieben
Q uotioent
(Bruch)
Zähler und Nenner darf man nicht vertauschen, es entsteht sonst der Kehrwert des
Bruches.
a b 2 3
≠ ; ≠
b a 3 2
a
= a:b = c
b
Divisor
Divident
Gleiche Anzahl negativer Vorzeichen ergeben
ein positives ( + ) Resultat.
a
a
=+
b
b
−a
a a
=+ =
−b
b b
Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen ergeben ein negatives ( - ) Resultat
a
b
Nenner
a
a
=−
−b
b
−a
a
=−
b
b
Beim Kürzen Zähler und Nenner durch die
gleiche Zahl teilen.
3ab
3⋅ a ⋅ b
a
=+
=
6bc
2 ⋅ 3 ⋅ b ⋅ c 2c
Man darf niemals bei einem Bruch einzelne
Summanden einer Summe kürzen.
2a + a
≠ a + a = 2a
2
Sind bei einem Bruch Zähler oder Nenner
Summen, so muss man alle Summanden
durch die gleiche Zahl kürzen.
ab + ac
=b+c
a
Sind Zähler und Nenner Summen, so muss
man, wenn möglich, gemeinsame Faktoren
ausklammern und kann dann gleiche Faktoren
kürzen. Der zun kürzende Faktor kann in sich
auch eine Summe sein.
ab + ac a(b + c) a
=
=
b 2 + bc b(b + c) b
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Zähler
7. September 2009
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TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.2
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Seite
3-222
Dividieren von Zahlen mit Vorzeichen
7. September 2009
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2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.3
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Seite
3-223
Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen (ggT)
7. September 2009
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3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.4
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Seite
3-224
Der kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (kgV)
7. September 2009
TG
3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.5
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3-225
Kürzen von Brüchen
7. September 2009
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2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.6
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3-226
Erweitern von Brüchen
7. September 2009
TG
3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.7
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3-227
Addieren und Subtrahieren von gleichnamigen Brüchen
7. September 2009
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3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.8
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Seite
3-228
Addieren und Subtrahieren von ungleichnamigen Brüchen
7. September 2009
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.5
Dividieren mit Doppelbrüchen
3.2.5.1
Formelsammlung zur Division mit Doppelbrüchen
Wird ein Bruch durch eine Zahl dividiert, so
wird der Nenner des Bruches mit dieser Zahl
multipliziert.
a
b = a : c = a ⋅ d = ad
c b d b c bc
d
a
b = a :c = a⋅1 = a
c b 1 b c bc
Wird ein Zahl durch einen Bruch dividiert, so
wird die Zahl mit dem Nenner des Bruches
multipliziert.
Doppelbrüche werden dividiert, indem man
den zweiten Bruch umstürzt und dann die
Brüche multipliziert.
a
a 1 a b a c ac
= = : = ⋅ =
b b 1 c 1 b b
c c
Ein Doppelbruch kann vereinfacht werden,
indem man mit dem kleinsten gemeinsamen
Nenner die zwei Brüche erweitert (Erweiterungsmethode)
a 
a
− 1  − 1 ⋅ ab
a 2 − ab
b 
b
= 
= 2
b 1  b 1
b +a
+
 +  ⋅ ab
a b a b
Doppelbrüche werden dividiert, indem man
den zweiten Bruch umstürzt und dann die
Brüche multipliziert.
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Seite
3-229
Q uotioent
(Doppelbruch)
a
b
c
d
Dividend
(Bruch)
Divisor
(Bruch)
Zähler
a
b
Nenner
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3
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.2
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Seite
3-230
Dividieren von Brüchen
7. September 2009
TG
3
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.3
www.ibn.ch
Seite
3-231
Dividieren von einer Summe durch eine Zahl
7. September 2009
TG
3
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.4
www.ibn.ch
Seite
3-232
Dividieren von einer Zahl durch eine Summe
7. September 2009
TG
3
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.5
www.ibn.ch
Seite
3-233
Dividieren von Summen
7. September 2009
TG
3
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.6
www.ibn.ch
Seite
3-234
Vermischte Aufgaben zur Wiederholung der Division
7. September 2009
TG
3
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
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Seite
3-235
7. September 2009
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.6
www.ibn.ch
Seite
3-250
Binome
7. September 2009
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3-260
a n ⋅ a m = a m+n
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und
die Basis mit der Summe der Exponenten
potenziert.
am
m−n
n =a
a
Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem man die Basis mit der Differenz
der Exponenten potenziert.
Potenzieren von
Potenzen
3a 2 + 2a 2 − a 2 = 4a 2
Gleiche Potenzen, also Ausdrücke mit gleichen Exponenten und gleicher Basis werden
addiert oder subtrahiert, indem man nur ihre
Beizahlen addiert oder subtrahiert und die
Potenz beibehält.
Multiplikation
Exponentialrechnen, Potenzieren
Division
Addition und
Subtraktion
3.2.7
Seite
www.ibn.ch
(am )n = (an )m = am⋅n
Eine Potenz wird potenziert, indem man die
Basis mit dem Produkt der Exponenten
potenziert.
Man kann die Exponenten vertauschen.
7. September 2009
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3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3
3
3
3
2 a +3 a − a =4 a
n
Gleichnamige Wurzelausdrücke lassen sich
zusammenziehen (Beizahlen addieren und
subtrahieren).
Gleichnamige Wurzeln werden multipliziert,
indem die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden gezogen wird.
a ⋅ n b = n a ⋅b
Division
Ei Produkt wird radiziert, indem jeder Faktor
radiziert wird.
n
n
a
( a)
m
Potenzieren
n
n
am =
Ein Quotient wird radiziert, indem aus dem
Zähler und aus dem Nenner die Wurzel
gezogen wird.
= n am
a =a
( a)
n
Gleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden gezogen wird.
a
b
=n
b
n
www.ibn.ch
3-270
Wurzelrechnen, Radizieren
Multiplikation
Addition und
Subtraktion
3.2.8
Seite
Eine Wurzel wird potenziert, indem der Radikand potenziert und daraus die Wurzel
gezogen wird.
1
n
m
=a
m
n
Jede Wurzel kann in eine Potenz mit geprochenem Exponenten umgewandelt werden.
7. September 2009
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.9
Seite
3-280
Logarithmieren
an = b
Potenzieren
Umkehrung 1 des Potenzieren führt zum Radizieren
a=n b
N um erus
Umkehrung 2 des Potenzieren führt zum Logarithmieren
x = loga b
X
Logab ist dijenige reelle Zahl x, für die a =b gilt.
Loga rithm us
Ba sis
Ein Produkt wird logarithmiert, indem man die
Logarithmen der Faktoren addiert.
loga (u ⋅ v) = loga u + loga v
Ein Bruch wird logarithmiert, indem man vom Logarithmus des Zählers den Logarithmus des Nenners subtrahiert
loga
u
= loga u − loga v
v
Ein Potenz wird logarithmiert, indem man den
Logarithmus der Basis mit dem Exponenten multipliziert
loga bn = n ⋅ loga b
Sonderfall
n
loga v bn = ⋅ loga b
v
Stellenza hl
=4
Die Kennzahl des des Logarithmus für eine Zahl,
die grösser ist als eins, ist immer um 1 kleiner als
die Stellenzahl der ganzen Zahl vor dem Komma.
Die Kennzahl des Logarithmus für eine Zahl, die
kleiner ist als 1, ist immer negativ (-1, -2, -3) und
ohne Berücksichtigung des Kommas gleich der
Anzahl Nullen vor der ersten Ziffer. Man schreibt
sie hinter die Mantisse.
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3 = log 1000
Kennza hl
Stellenza hl
=4
− 3 = log 0,001
Kennza hl
7. September 2009
TG
3
2
9
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
LOGARITHMIEREN
Seite
3-281
Beispiele
Stellenza hl
=3
W ert a us
Loga rithmenta fel
Beispiel:
2 ,5441
10
2,5441 = log 350
=?
Kennza hl
M a ntisse a us
Loga rithmenta fel
W ert a us
Loga rithmenta fel
Beispiel:
0,5441
10
Stellenza hl =1
0,5441 = log 3,5
=?
Kennza hl
M a ntisse a us
Loga rithmenta fel=3 5
Beispiel:
10? = 0,04 ?
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7. September 2009