3.2 Algebra Grundrechenarten

TG
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
Kapitel 3
Mathematik
Kapitel 3.2
Algebra
Grundrechenarten
RESULTATE
UND
LÖSUNGEN
Verfasser:
Hans-Rudolf Niederberger
Elektroingenieur FH/HTL
Vordergut 1, 8772 Nidfurn
055 - 654 12 87
Ausgabe:
August 2008
www.ibn.ch
14. Mai 2016
TG
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
Inhaltsverzeichnis
3 Mathematik
3
Mathematik .............................................................................................................................. 2
3.2
Algebra Grundrechenarten .................................................................................................. 3-200
3.2.1
Addieren und Subtrahieren ...................................................................................... 3-200
3.2.1.1
3.2.1.2
3.2.1.3
3.2.1.4
3.2.1.5
3.2.1.6
3.2.1.7
3.2.1.8
3.2.1.9
3.2.1.10
3.2.1.11
3.2.1.12
3.2.1.13
3.2.2
Multiplizieren ............................................................................................................ 3-213
3.2.2.1
3.2.2.2
3.2.2.3
3.2.2.4
3.2.2.5
3.2.2.6
3.2.3
www.ibn.ch
Formelsammlung zu Dividieren von Brüchen ......................................3-221
Dividieren von Zahlen mit Vorzeichen .................................................3-222
Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen (ggT) ..............................3-223
Der kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (kgV) ........................3-224
Kürzen von Brüchen ............................................................................3-225
Erweitern von Brüchen ........................................................................3-226
Addieren und Subtrahieren von gleichnamigen Brüchen .....................3-227
Addieren und Subtrahieren von ungleichnamigen Brüchen .................3-228
Dividieren mit Doppelbrüchen .................................................................................. 3-229
3.2.5.1
3.2.5.2
3.2.5.3
3.2.5.4
3.2.5.5
3.2.5.6
3.2.6
3.2.7
3.2.8
3.2.9
Formel zur Multiplikation mit Brüchen .................................................3-219
Multiplizieren von Brüchen ..................................................................3-220
Dividieren ................................................................................................................. 3-221
3.2.4.1
3.2.4.2
3.2.4.3
3.2.4.4
3.2.4.5
3.2.4.6
3.2.4.7
3.2.4.8
3.2.5
Formeln zur Multiplikation mit Zahlen ..................................................3-213
Multiplizieren von Produkten ...............................................................3-214
Das Vorzeichen beim Multiplizieren.....................................................3-215
Multiplizieren von Summen .................................................................3-216
Zerlegen in Faktoren (Ausklammern) ..................................................3-217
Vermischte Aufgaben zur Multiplikation ..............................................3-218
Multiplizieren mit Brüchen ........................................................................................ 3-219
3.2.3.1
3.2.3.2
3.2.4
Formelsammlung Addieren und Subtrahieren .....................................3-200
Addieren von gleichartigen Zahlen ......................................................3-201
Addieren von ungleichartigen Zahlen ..................................................3-202
Vermischte Aufgaben von gleich- und ungleichartigen Zahlen ............3-203
Subtrahieren von gleichartigen Zahlen ................................................3-204
Subtrahieren von ungleichartigen Zahlen ............................................3-205
Addieren,Subtrahieren von Zahlen verschiedener Vorzeichen ............3-206
Addieren und Subtrahieren von Zahlen ...............................................3-207
Addieren und Subtrahieren vermischte Aufgaben ...............................3-208
Ein Pluszeichen steht vor der Klammer ...............................................3-209
Ein Minuszeichen steht vor der Klammer ............................................3-210
Klammern in Klammern .......................................................................3-211
Vermischte Aufgaben zu Klammern ....................................................3-212
Formelsammlung zur Division mit Doppelbrüchen ..............................3-229
Dividieren von Brüchen .......................................................................3-230
Dividieren von einer Summe durch eine Zahl ......................................3-231
Dividieren von einer Zahl durch eine Summe ......................................3-232
Dividieren von Summen ......................................................................3-233
Vermischte Aufgaben zur Wiederholung der Division .........................3-234
Binome ..................................................................................................................... 3-250
Exponentialrechnen, Potenzieren ............................................................................ 3-260
Wurzelrechnen, Radizieren ..................................................................................... 3-270
Logarithmieren ......................................................................................................... 3-280
14. Mai 2016
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
3.2
Seite
3-200
Algebra Grundrechenarten
3.2.1 Addieren und Subtrahieren
3.2.1.1
Formelsammlung Addieren und Subtrahieren
Sum ma nd
In einer Summe darf man die Summanden
vertauschen.
(Kommutativgesetz)
a b  b a
Beim addieren darf man die Summanden zu
Teilsummen zusammenfassen.
(Assoziativgesetz)
(a  b)  c  a  (b  c)
Sum ma nd
a b  c
Sum me
Gleichnamige Ausdrücke können zusammengefasst werden, indem die Beizahlen addiert
oder subtrahiert werden.
Die Reihenfolge der einzelnen Glieder darf
verändert werden.
6a  3a  2a  5a
4a  2a  (4  2)  a  6a
a  2c  b  a  b  2c
Minuend
Differenz
ab  c
Subtrahend
Es lassen sich nur gleichnamige Ausdrücke
zusammenfassen.
 -Zeichen vor dem Klammerausdruck, so können die Klammer und das  Steht ein
Zeichen weggelassen werden, ohne dass sich
der Wert in der Klammer ändert.
Steht ein  -Zeichen vor der Klammer, so
müssen bei ihrem Weglassen alle Vorzeichen
in der Klammer umgekehrt werden. (Das  Zeichen vor der Klammer fällt mit der Klammer
weg)
www.ibn.ch
3a  5b  a  2b  4a  3b
a  (b)  a  b
a  (b  c)  a  b  c
a  (b)  a  b
a  (b  c)  a  b  c
14. Mai 2016
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.2
3-201
Addieren von gleichartigen Zahlen
20,53abc
10a
 2a
5
1
4a
8
43nx
15
2
6c
9
55ab
16
3
3bu
10
292cy
17
7
4
4 xyz
11
38a3
18
24,7ax
5
31a
12
12,2a
19
41,35a
6
21x
13
29,6r
20
42,8 AB
7
20 y
14
18,5ax
21
55a1b2
www.ibn.ch
Seite
4
n
5
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
7bn,2bn
31
17
1
ab  16 ax
30
3
6,382kg
64,2kg
6
2
gleichartige
21a  26b
4 36a  13x
5 19 N  38R  60
32
3
33
7
36
3,667141m 2
37
33h48 min 20 s
8,58m
35 15,02001 m3
34
8
14  23  16
15 x1  50 x2  4
9
7ab1  15ab
38
5135 g
10
39 AC  12BC
39
9,76m
11
106n  358x
40
9,4 Fr
12
11a  6 x  16 y
41
42
308 min
46
43
36,5
44
71,5
15
14a  32,8n
15,4ab  3,1ac  23,8ad
4 x  0,7 y  10
16
a  6b
45
11,25
17
9,7 ax  11bx
46
9
18
56,95b  114,2c
47
25,15
19
7 a  9b  11,2c
48
20
4,3x  7,4 xz  10,3z
49
14a  4b  13c  5d
8,7ab  8 x  7 y  4,5 z
21
2
50
24a  11b  15c  15d
22
2b  21
51
23
19
19
x
y
20
20
52
13
14
1
1
x2 y
4
6
2
8
a  40 b
63
21
1
2
25 12 ab  4 ax
6
3
24
3-202
Addieren von ungleichartigen Zahlen
3.2.1.3
1
Seite
60
26
3
6 c  8d
4
27
6
28
12
1
bx  1,9by
2
29
76
7
4
a  1 ax
10
5
30
3
1
x  6,4 xy
3
23
24
12,6a  13,7b  17,8c  26,7 x
3
1
4
13 a  12 b  27 c
4
4
9
11
1
5
37
a  10 b  13 c  21
x
15
4
8
55
53
11
54
1
31ab  14ax  5 bx  5
6
55
a) U  25a
b) U  125m
56
a) U  4a  d  d  
2
b) U  16,28m
57
a) U  48a
b) U  3380mm
58
a) l  12,5a  6b
b) l  737,5mm
3
x  10,7 xy
4
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
12
3
29x
30a
9,3b
4
29,8r
15
5
12,2 x
16
6
15
7
2
8
5
17 t1
6
9
43,35 P
2
13
14
13
c
24
17
33
dx
40
18
19
20
10
11
a)
b)
l  16a
l  480mm
a) U  34a
b) U  1700mm
www.ibn.ch
3-203
Vermischte Aufgaben von gleich- und ungleichartigen Zahlen
3.2.1.4
1
Seite
5a  33b
25 x  46 y
20a  11b 15c
2,1ab  1,5bc  4,9c
69,3n  44,3xy
3
2
15 xy  19 xz
5
5
1
2
1
c  7 dx  7 n
2
3
4
3
3
4 x  2,5 xz  2 z
4
5
5
a) l  7 a  7b
6
4
b) l  440 5 mm
6
a)
U

4
a
 10b  4c
21
b) U  1142mm
22
a) l  4a  4
b)
2
d
bc
3
2
l  2019,138mm
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
a
7x
35ax
17
19
 11a
 19 x
 13ab
20
 2d
8
2a
4ab
9,9 x
9,5 x
9
0,1a
24
10
29,4ab
25
11
48c
26
13
ac
24
 1,55cm
27
 2,4ab
28
 7,2 xy
29
1
 4 cx
3
30
1
 ad
3
31
 22,15 x
2
3
4
5
7
12
13
2
ab
9
11
1 xy
12
14
3
15
3
16
2
n
5
1
d
4
7,15ax
www.ibn.ch
3-204
Subtrahieren von gleichartigen Zahlen
3.2.1.5
1
Seite
18
21
22
23
 32 x
 0,1ax
 8,3b
7
 10 n
9
 11
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.6
2
3
6,6ab  3,5 x
10
4
1
1
 5 ay  5 y
3
2
11
5
 2,7ad  1,69ady
12
6
 4,6a  1
7
 b  3c
11
x
30
8
9
13
14
15
www.ibn.ch
3-205
Subtrahieren von ungleichartigen Zahlen
3a  3b
 3,6b  7,8 x
1
Seite
 3,1a  91ax
 0,7ab  10,2ac
8
1
1 a  8 b
15
4
5
 bx  3,4c
9
38
 1,2a 
b
45
1
 13,01c  4 cx
5
2,5kg
187,2cm
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.7
3-206
Addieren,Subtrahieren von Zahlen verschiedener Vorzeichen
1
a
16
2
3a
17
3
11a
18
4
5b
19
 5,5c
 2,7 x
 3,6a
a
5
 10b
20
 a  2y
6
2x
21
 9x  4 y
7
22
5,2a  11,1n
8
3n
 18a
9
15 xy
24
10
x y
25
11
9a
26
24
5 a 
b
1
11
12
11x
27
1
29
h
30
13
z
28

4
1
ax 
x
9
30
14
 3,4b
29
15
 2,3a
www.ibn.ch
Seite
23
0,5b  1,3 x
2,6a
1
4 d
32
1
1
1
2 a 5 b6 c
5
4
6
1
117
b
30 15 a  1
2
200
14. Mai 2016
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.8
 3a
20
7,25a  20,75b  13,1c
2
80x
21
6
3
 3b
22
4696
4
13x
23
2
5
4a  ax
24
2
ab
3
6
0
25
3b  8c
7
5n  6x  15
26
6
8
7a  4b  4c  4d
27
 29
9
3a  4b
28
11
12
13
26b  2c
7a  b
10a  6b
10 x  10 y
5
1
a  20 b
6
5
11
g
21
5
ab
6
1
19
5
a2
b c
4
20
6
2
5
19
x  57
y5
3
12
24
29
1
4562 cm
6
9,125ab  3,503ac  2,45ad
30
3h15 min 28,5s
31
 28a  6b  7 x  9
32
 11m  15n  2 p  15 x
33
 7,7a  5,7 y  1,3
15
14,9 x  0,7 y  1,7 z
10,2a  2,7b  0,8c  d
16
 1,5a  1,9b
35
17
3,5 x  0,7 y
36
 1,8a  6,8b  17,7c  2,4d
 0,3a  9,7b  13,2c 
5,94d  3,3 x
 1,9a  12,9b  4,7c  3,3d
37
 3,8a  8ab  7,2 x  3,7 y
14
18
19
2,7c  1,6d
2,1x  2,2 y  z
www.ibn.ch
3-207
Addieren und Subtrahieren von Zahlen
1
10
Seite
34
14. Mai 2016
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
1
 12 x  y  7 z
2
a
3
12
157,04g  77,14m  44,95t
13
 546,501
7,24a  17,13b  2,09c
14

4
2,8uv  xy  0,5
15
 124,62 x  17,775 y
5
457,44a  308,09b  310,76c  94,07d
16
186
17
a) a  D  d  b
2 2
b) a  56mm
18
a) x 
6 105
8
3-208
Addieren und Subtrahieren vermischte Aufgaben
3.2.1.9
7 5
Seite
11
1
b
c
30
12
5
13
11
2
b  376
x 45
y  316 z
6
40
18
3
17
1
1
5
13
a  171
b  14
c7
n  114
18
30
28
24
24
20 x  115 y  205 z
19
1
1
1
a1  4 a2  1 a3
4
12
2
1
2
u4 v
50
3
D d
 a
2 2
b) x  37,5mm
d
D
a) x   a 
2
2
b) x  73,5mm
9
10
11
 a  3b  6
1
x
2
13
1
3
P4 Q R
24
3
8
1
8,8a  90 b110,9c
8
 20
www.ibn.ch
20
a) l  a  b  c  r   
b) l  825,96mm
21
a)
d 
2
l  a  2b  ( D  d )
b) l  132,5mm
14. Mai 2016
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3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.10
1
2
3
10a  8
5c  6
3x  12
5
6

www.ibn.ch
3-209
Ein Pluszeichen steht vor der Klammer
35 x  2 y
0,7 a  b
4
Seite
7
8
9
10
10a  4b
12 x  2 y  6 z
3b  16
6,2b  4,2 x
1
3
x 1
y
20
10
14. Mai 2016
TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.11
25 x  35 y  35 z
12
3
4
4ax
15
5
9a  9c
16
 12
6
a  23b  6x
7
15a  2b
8
21a  4b  5c
19
87a 18b
9
 a  21b
20
10
 5ab  9
21
11
11r  9s
22
2
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3-210
Ein Minuszeichen steht vor der Klammer
2b
 2a  9b
6a  5b  c
1
Seite
13
14
14,7 a  1,6b  35,5c
1,1a  9,6 x
1
70 a  19b
2
5
2
1
x  25 y  31 z
7
9
8
37
3
11
a2
b 1 c
17 
120
20
20
3
13
137
18  a 
n
x
8
30
140
8,7b  6,7 x
5
7
ab  4 ax
6
12
1
1
1
6 a6 b c6
2
2
3
4
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TG
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1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.12
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3-211
Klammern in Klammern
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TG
3
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
ADDITION UND SUBTRAKTION
3.2.1.13
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3-212
Vermischte Aufgaben zu Klammern
14. Mai 2016
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.2
Multiplizieren
3.2.2.1
Formeln zur Multiplikation mit Zahlen
Zwischen Faktoren, nicht aber zwischen Ziffern, kann man das Malzeichen weglassen
Seite
3-213
4  a  4a
5  2  a  b  5  2ab  10ab
Definition der Elemente
beim Multiplizieren
Fa k tor
Man kann die Faktoren vertauschen
(Kommutativgesetz).
b  a  c  a  b  c  abc
b  a  c  3  4  12abc
Fa k tor
ab  c
Resulta t
Produk t
Ist ein Faktor Null, so ist das ganze Produkt
Null.
3 0  0
a 0  0
10  a  0  b  0
Man darf Teilprodukte zusammenfassen
(Assoziativgesetz).
4a  5b  4  5  ab  20ab
Gleiche Anzahl negativer Vorzeichen ergeben
ein positives ( + ) Resultat.
(  a )  (  b)  ab
Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen ergeben ein negatives ( - ) Resultat
(a)  b  ab
a  (b)  ab
Man multipliziert ein Klammerausdruck mit
einem Faktor, indem man jedes Glied einer
Summe mit dem Faktor multipliziert.
n  ( a  b)  na  nb
Man multipliziert zwei Klammerausdrücke,
indem man jedes Glied der einen Summe mit
jedem Glied der anderen Summe multipliziert
(siehe auch Binome).
(a  b)( c  d ) 
Einen gemeinsamen Faktor kann man ausklammern.
an  bn  n  n  (a  b  1)
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a  b  ab
ac  bc  bc  bd
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2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.2
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3-214
Multiplizieren von Produkten
14. Mai 2016
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.3
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3-215
Das Vorzeichen beim Multiplizieren
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3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.4
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3-216
Multiplizieren von Summen
14. Mai 2016
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.5
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3-217
Zerlegen in Faktoren (Ausklammern)
14. Mai 2016
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
3.2.2.6
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3-218
Vermischte Aufgaben zur Multiplikation
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3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.3
Multiplizieren mit Brüchen
3.2.3.1
Formel zur Multiplikation mit Brüchen
Seite
3-219
Fa k tor
Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert,
indem die Zahl mit dem Faktoren des Zählers
multipliziert wird.
a
ac
c 
b
b
Brüche werden multipliziert, indem die Faktoren des Zählers und die Faktoren des Nenners
multipliziert werden.
a c ac
 
b d bd
Fa k tor
a
ac
c 
b
b
Produk t
Fa k tor
Fa k tor
a c ac
 
b d bd
Produk t
Zähler
a
b
Nenner
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3
2
3
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN MIT BRÜCHEN
3.2.3.2
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3-220
Multiplizieren von Brüchen
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TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.4
Dividieren
3.2.4.1
Formelsammlung zu Dividieren von Brüchen
Doppelpunkt und Bruchstrich sind gleichbedeutende Rechenzeichen.
a
a:b
b
Seite
3-221
Normalerweise wird
eine Division als Bruch
geschrieben
Q uotioent
(Bruch)
Zähler und Nenner darf man nicht vertauschen, es entsteht sonst der Kehrwert des
Bruches.
a b 2 3
 ; 
b a 3 2
a
 a:b  c
b
Divisor
Divident
Gleiche Anzahl negativer Vorzeichen ergeben
ein positives ( + ) Resultat.
a
a

b
b
a
a a
 
b
b b
Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen ergeben ein negatives ( - ) Resultat
a
b
Nenner
a
a

b
b
a
a

b
b
Beim Kürzen Zähler und Nenner durch die
gleiche Zahl teilen.
3ab
3 a  b
a


6bc
2  3  b  c 2c
Man darf niemals bei einem Bruch einzelne
Summanden einer Summe kürzen.
2a  a
 a  a  2a
2
Sind bei einem Bruch Zähler oder Nenner
Summen, so muss man alle Summanden
durch die gleiche Zahl kürzen.
ab  ac
bc
a
Sind Zähler und Nenner Summen, so muss
man, wenn möglich, gemeinsame Faktoren
ausklammern und kann dann gleiche Faktoren
kürzen. Der zun kürzende Faktor kann in sich
auch eine Summe sein.
ab  ac a(b  c) a


b 2  bc b(b  c) b
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Zähler
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4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.2
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Seite
3-222
Dividieren von Zahlen mit Vorzeichen
14. Mai 2016
TG
3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.3
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Seite
3-223
Der grösste gemeinsame Teiler von Zahlen (ggT)
14. Mai 2016
TG
3
2
4
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.4
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3-224
Der kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (kgV)
14. Mai 2016
TG
3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.5
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3-225
Kürzen von Brüchen
14. Mai 2016
TG
3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.6
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3-226
Erweitern von Brüchen
14. Mai 2016
TG
3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.7
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3-227
Addieren und Subtrahieren von gleichnamigen Brüchen
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TG
3
2
4
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN
3.2.4.8
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3-228
Addieren und Subtrahieren von ungleichnamigen Brüchen
14. Mai 2016
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.5
Dividieren mit Doppelbrüchen
3.2.5.1
Formelsammlung zur Division mit Doppelbrüchen
Doppelbrüche werden dividiert, indem man
den zweiten Bruch umstürzt und dann die
Brüche multipliziert.
a
b  a : c  a  d  ad
c b d b c bc
d
Wird ein Bruch durch eine Zahl dividiert, so
wird der Nenner des Bruches mit dieser Zahl
multipliziert.
a
b  a :c  a1  a
c b 1 b c bc
Wird ein Zahl durch einen Bruch dividiert, so
wird die Zahl mit dem Nenner des Bruches
multipliziert.
Doppelbrüche werden dividiert, indem man
den zweiten Bruch umstürzt und dann die
Brüche multipliziert.
a
a 1 a b a c ac
  :   
b b 1 c 1 b b
c c
Ein Doppelbruch kann vereinfacht werden,
indem man mit dem kleinsten gemeinsamen
Nenner die zwei Brüche erweitert (Erweiterungsmethode)
a 
a
 1   1  ab
a 2  ab
b 
b
 
 2
b 1 b 1
b a

    ab
a b a b
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Seite
3-229
Q uotioent
(Doppelbruch)
a
b
c
d
Dividend
(Bruch)
Divisor
(Bruch)
Zähler
a
b
Nenner
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TG
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2
5
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.2
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Seite
3-230
Dividieren von Brüchen
14. Mai 2016
TG
3
2
5
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MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.3
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3-231
Dividieren von einer Summe durch eine Zahl
14. Mai 2016
TG
3
2
5
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.4
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Seite
3-232
Dividieren von einer Zahl durch eine Summe
14. Mai 2016
TG
3
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.5
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Seite
3-233
Dividieren von Summen
14. Mai 2016
TG
3
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
3.2.5.6
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3-234
Vermischte Aufgaben zur Wiederholung der Division
14. Mai 2016
TG
3
2
5
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
DIVIDIEREN MIT DOPPELBRÜCHEN
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3-235
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TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
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ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.6
www.ibn.ch
Seite
3-250
Binome
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TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3-260
a n  a m  a m n
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und
die Basis mit der Summe der Exponenten
potenziert.
am
m n
n a
a
Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem man die Basis mit der Differenz
der Exponenten potenziert.
a m n  a n m  a mn
Eine Potenz wird potenziert, indem man die
Basis mit dem Produkt der Exponenten
potenziert.
Potenzieren von
Potenzen
3a 2  2a 2  a 2  4a 2
Gleiche Potenzen, also Ausdrücke mit gleichen Exponenten und gleicher Basis werden
addiert oder subtrahiert, indem man nur ihre
Beizahlen addiert oder subtrahiert und die
Potenz beibehält.
Multiplikation
Exponentialrechnen, Potenzieren
Division
Addition und
Subtraktion
3.2.7
Seite
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Man kann die Exponenten vertauschen.
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3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
2 a 3 a  a 4 a
3
3
n
3
3
Gleichnamige Wurzelausdrücke lassen sich
zusammenziehen (Beizahlen addieren und
subtrahieren).
Gleichnamige Wurzeln werden multipliziert,
indem die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden gezogen wird.
a  n b  n a b
Division
Ei Produkt wird radiziert, indem jeder Faktor
radiziert wird.
n
a
n
b
m
Potenzieren
n
n
am 
Ein Quotient wird radiziert, indem aus dem
Zähler und aus dem Nenner die Wurzel
gezogen wird.
 n am
a a
 a
n
Gleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden gezogen wird.
a
b
n
 a
n
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3-270
Wurzelrechnen, Radizieren
Multiplikation
Addition und
Subtraktion
3.2.8
Seite
Eine Wurzel wird potenziert, indem der Radikand potenziert und daraus die Wurzel
gezogen wird.
1
n
m
a
m
n
Jede Wurzel kann in eine Potenz mit geprochenem Exponenten umgewandelt werden.
14. Mai 2016
TG
3
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
3.2.9
Seite
3-280
Logarithmieren
Potenzieren
Umkehrung 1 des Potenzieren führt zum Radizieren
N um erus
Umkehrung 2 des Potenzieren führt zum Logarithmieren
Logab ist dijenige reelle Zahl x, für die aX =b gilt.
x  loga b
Loga rithm us
Ba sis
Ein Produkt wird logarithmiert, indem man die
Logarithmen der Faktoren addiert.
log a (u  v )  log a u  log a v
Ein Bruch wird logarithmiert, indem man vom Logarithmus des Zählers den Logarithmus des Nenners subtrahiert
log a
u
 log a u  log a v
v
Ein Potenz wird logarithmiert, indem man den
Logarithmus der Basis mit dem Exponenten multipliziert
log a b n  n  log a b
Sonderfall
n
log a v b n   log a b
v
Stellenza hl
=4
Die Kennzahl des des Logarithmus für eine Zahl,
die grösser ist als eins, ist immer um 1 kleiner als
die Stellenzahl der ganzen Zahl vor dem Komma.
Die Kennzahl des Logarithmus für eine Zahl, die
kleiner ist als 1, ist immer negativ (-1, -2, -3) und
ohne Berücksichtigung des Kommas gleich der
Anzahl Nullen vor der ersten Ziffer. Man schreibt
sie hinter die Mantisse.
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3  log 1000
Kennza hl
Stellenza hl
=4
 3  log 0,001
Kennza hl
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TG
3
2
9
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN RESULTATE UND LÖSUNGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
LOGARITHMIEREN
Seite
3-281
Beispiele
Stellenza hl
=3
W ert a us
Loga rithmenta fel
Beispiel:
2 ,5441
10
?
2,5441  log 350
Kennza hl
M a ntisse a us
Loga rithmenta fel
W ert a us
Loga rithmenta fel
Beispiel:
0,5441
10
?
Stellenza hl =1
0,5441  log 3,5
Kennza hl
M a ntisse a us
Loga rithmenta fel=3 5
Beispiel:
10?  0,04 ?
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