3. ¨Ubungsblatt zur Vertiefung Analysis

Prof. Dr. Christian Kanzow
Dr. Alexandra Schwartz
Wintersemester 2011/12
3.11.2011
3. Übungsblatt zur Vertiefung Analysis
Aufgabe 3.1 (parameterabhängige Integrale)
Es sei f : R × [0, 1] → R definiert durch
(
3
f (x, t) =
tx
(x2 +t2 )2
falls (x, t) 6= (0, 0),
0
falls (x, t) = (0, 0).
(a) Zeigen Sie, dass für jedes x ∈ R die beiden Integrale
Z 1
Z
∗
f (x, t) dt und F (x) :=
F (x) :=
0
1
Dx f (x, t) dt
0
wohldefiniert sind.
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion F : R → R differenzierbar ist, aber F 0 (0) 6= F ∗ (0)
gilt.
(c) Warum ist das kein Widerspruch zu Satz 10.41?
(4+5+1 Punkte)
Aufgabe 3.2 (Bestimmung von Lebesgue-Nullmengen)
(a) Zeigen Sie: Eine Menge M ⊆ Rn ist eine Lebesgue-Nullmenge genau dann, wenn es
zu jedem ε > 0 eine Folge von abgeschlossenen Quadern Q1 , Q2 , . . . gibt mit
[
X
M⊆
Qk und
µ(Qk ) < ε.
k∈N
k∈N
(b) Folgern Sie aus Teil (a), dass M ⊆ Rn genau dann eine Lebesgue-Nullmenge ist,
wenn es zu jedem ε > 0 eine Folge von beliebigen Quadern Q1 , Q2 , . . . gibt mit den
obigen Eigenschaften.
(c) Es seien N ⊆ Rn und M ⊆ Rm zwei Lebesgue-Nullmengen. Zeigen Sie, dass dann
auch das kartesische Produkt
N × M := {(x, y) ∈ Rn+m | x ∈ N, y ∈ M }
eine Lebesgue-Nullmenge ist.
(d) Beweisen oder widerlegen Sie: Ist N × M ⊆ Rn+m eine Lebesgue-Nullmenge, so sind
auch N ⊆ Rn und M ⊆ Rm Lebesgue-Nullmengen.
(3+2+4+1 Punkte)
Aufgabe 3.3 (Satz von Fubini)
R
Berechnen Sie das Integral Q f (x, y) d(x, y) für
(a) Q = [1, 2] × [3, 4] und f (x, y) =
(b) Q = [0, 1] × [0, 1] und f (x, y) =
1
,
(x+y)2
y
3
(1+x2 +y 2 ) 2
.
(5+5 Punkte)
Aufgabe 3.4 (n-dimensionale Integrale)
R
Berechnen Sie das Integral Q f (x) dx mit Q := {x ∈ Rn | 0 ≤ xi ≤ 1 ∀i = 1, . . . , n} und
(a) f (x) = kxk22 ,
Tx
(b) f (x) = eb
mit einem Vektor b ∈ Rn ,
(c) f (x) = xT Ax mit einer Matrix A ∈ Rn×n .
(3+3+4 Punkte)
Abgabe: Bis Donnerstag, den 10.11.2011, 12.00 Uhr, in den dafür vorgesehenen
Briefkästen im Bibliotheks- und Seminarzentrum (Hubland Nord).