Taschenbuch der Mathematik
Werbung
Taschenbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten der technischen Hochschulen I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew 3. Auflage, 430 Abbildungen B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig, 1960 Inhaltsverzeichnis Teil I: Tabellen und Kurven I. Tabellen A. Tabellen der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Einige häufig gebrauchte Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Quadrate, Kubikzahlen, Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Potenzen der ganzen Zahlen von n =1 bis n =100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Reziproke Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Fakultäten und ihre reziproken Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Einige Potenzen der Zahlen 2, 3 und 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Dekadische Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Antilogarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Die natürlichen Werte der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Exponentialfunktionen, Hyperbelfunktionen und trigonometrische Funk­tionen . . . . . . . 11. Exponentialfunktionen (für x von 1,6 bis 10,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Natürliche Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Umfang eines Kreises mit dem Radius d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Flächeninhalt eines Kreises vom Durchmesser d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Die Bestimmungsstücke eines Kreissegments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Umrechnung von Grad in Radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Proportionalanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Tabelle für die quadratische Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 22 24 26 27 28 30 32 36 40 42 45 47 49 55 56 58 B. Tabellen spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Die Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Legendresche Polynome (Kugelfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Wahrscheinlichkeitsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 60 62 63 65 II. Graphische Darstellungen A. Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1. Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2. Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1 3. 4. 5. 6. 7. 8. Irrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die inversen trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die inversen Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 74 78 80 81 82 B. Die wichtigsten Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Kurven dritter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Kurven vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Die Zykloiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Spiralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Einige weitere Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83 85 88 92 94 Teil II: Elementarmathematik I. 1. 2. 3. Näherungsrechnung Regeln für das Rechnen mit Näherungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Näherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Der Rechenstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 II. Algebra A. 1. 2. 3. 4. 5. Identische Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ganzrationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gebrochen rationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrationale Ausdrücke; Umformung von Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialausdrücke und logarithmische Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 107 107 109 111 113 B. Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Gleichungen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Gleichungen n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Auflösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Gleichungssysteme höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 114 116 119 121 125 127 132 C. Ergänzende Kapitel der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Folgen, endliche Reihen und Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Fakultät und Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Komplexionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Der binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 133 136 138 139 140 III. Geometrie A. Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 1. Ebene Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2 B. 2. 3. 4. 5. Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geraden und Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kanten, Ecken, Raumwinkel ..› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 146 146 147 149 IV. Trigonometrie A. 1. 2. 3. 4. 5. Ebene Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die wichtigsten Formeln der Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinusoidale Grössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die inversen trigonometrischen Funktionen (Kreisfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . 153 153 155 158 159 160 B. Sphärische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6. Die Geometrie auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7. Berechnung sphärischer Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 C. Hyperbolische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Die wichtigsten Formeln der hyperbolischen Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Die inversen Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 165 166 167 168 Teil III: Analytische Geometrie und Differentialgeometrie I. Analytische Geometrie A. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegende Begriffe und Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Hyberbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 169 172 175 176 178 180 182 B. Analytische Geometrie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Grundlegende Begriffe und Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Gerade und Ebene im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Flächen zweiter Ordnung (Gleichungen in Normalform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Flächen zweiter Ordnung (allgemeine Theorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 184 189 195 198 II. Differentialgeometrie A. 1. 2. 3. 4. Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Möglichkeiten, eine Kurve zu definieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die lokalen Elemente einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausgezeichnete Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 200 201 206 210 3 5. Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6. Evoluten und Evolventen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7. Einhüllende einer Kurvenschar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 B. Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Methoden zur Definition einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Das begleitende Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Krümmung und Windung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 214 214 217 C. Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Methoden zur Definition einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Tangentialebene und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Das Linienelement einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Krümmung einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Regelflächen und abwickelbare Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Geodätische Linien auf einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 218 219 221 222 224 225 Teil IV: Grundzüge der Analysis I. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Einführung in die Analysis Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Folgen und ihre Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Funktion einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unendlich kleine Grössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stetigkeit und unstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 227 229 234 239 240 243 249 255 II. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Differentialrechnung Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Technik des Differenzierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variablensubstitution in Differentialausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegende Sätze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmung der Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 263 269 271 273 277 III. Integralrechnung A. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegriffe und grundlegende Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration irrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration anderer transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabelle der unbestimmten Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 283 284 286 291 294 296 296 B. Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 4 8. Grundbegriffe und grundlegende Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Berechnung bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Anwendung bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Integrale, die von einem Parameter abhängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Tabelle einiger bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 334 338 342 348 350 C. Kurvenintegrale, mehrfache Integrale und Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . 14. Kurvenintegrale erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Kurvenintegrale zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Das Doppelintegral und das dreifache Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Berechnung mehrfacher Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Anwendung mehrfacher Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Oberflächenintegrale erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. Oberflächenintegrale zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Die Integralsätze von Stokes, Green und Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 354 356 360 362 367 369 370 373 IV. Differentialgleichungen 1. Allgemeine Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 A. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differential­gleichungen . . . . . Auflösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . Operatorenmethode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 375 385 388 391 393 398 403 B. Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 9. Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 10. Lineare Gleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 Teil V: Ergänzende Kapitel der Analysis I. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Komplexe Zahlen und Funktionen einer komplexen Veränderlichen Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraische Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen von Kurven in komplexer Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen einer komplexen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfachste konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrale im komplexen Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entwicklung analytischer Funktionen in Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 425 428 431 434 439 441 443 II. Vektorrechnung A. Vektoralgebra; die Vektorfunktion eines Skalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 1. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 2. Multiplikation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 5 3. Kovariante und kontravariante Koordinaten von. Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 4. Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 5. Die Vektorfunktion einer Skalaren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 B. Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 6. Das skalare Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 7. Das Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 8. Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 9. Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 10. Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 11. Volumendifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 12. Divergenz eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 13. Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 14. Die Operatoren (Hamilton-Operator),(a ) und (Laplacescher Opera­tor) . . . . . . . . 468 15. Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 16. Wirbelfreie und solenoidale Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 17. Die Laplacesche und die Poissonsche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 III. 1. 2. 3. Fourierreihen (harmonische Analyse) Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Tabelle einiger Fourierentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 Angenäherte Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 IV. Variationsrechnung 1. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 2. Das einfachste Variationsproblem mit einer unbekannten Funktion (Not­wendige Bedingungen für ein Extremum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 3. Hinreichende Bedingungen für das Auftreten eines Extremums . . . . . . . . . . . . . . . 490 4. Variationsprobleme in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 5. Das inverse Problem der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 6. Variationsprobleme in Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 7. Die Grundfunktion enthält Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 8. Die Eulerschen Differentialgleichungen für Variationsprobleme mit n un­bekannten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 9. Das Extremum mehrfacher Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 10. Variationsprobleme mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 11. Isoperimetrische Probleme der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 12. Zwei geometrische Variationsprobleme mit zwei unabhängigen Variablen . . . . . . . . . . 503 13. Das Ritzsche Verfahren zur Lösung von Variationsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Teil VI: Auswertung von Beobachtungsergebnissen I. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Theorie der Beobachtungsfehler 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 2. Theorie der Beobachtungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 II. Empirische Formeln und Interpolation 1. Angenäherte Darstellung einer funktionalen Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 6 2. Parabolische Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 3. Aufstellung empirischer Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 Anhang: Integralgleichungen 1. Allgemeine Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Einfache Integralgleichungen, die durch Differentiation auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurückgeführt werden können . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Integralgleichungen, die durch Differentiationen gelöst werden können . . . . . . . . . . . 4. Die Abelsche Integralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Integralgleichungen mit Produktkernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Die Neumannsche Näherung (schrittweise Näherung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Die Fredholmsche Lösungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Die Nyströmsche Näherungsmethode zur Lösung von Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Der Fredholmsche Alternativsatz für Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art. Symmetrische Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Die Operationsmethode in der Theorie der Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 11. Die Schmidtsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 528 530 531 533 539 544 548 550 552 559 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Sachregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 Beilage: Tabelle der Proportionalanteile 7
