¨Ubungen zur Vorlesung ,,Chaostheorie” PD Dr. Jörg Main SS 2003
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Übungen zur Vorlesung ,,Chaostheorie” PD Dr. Jörg Main SS 2003 Blatt 1 Aufgabe 1: Klassisches Modell des Wasserstoffs im elektrischen Feld Wir betrachten ein Wasserstoffatom im elektrischen Feld, bei dem das Elektron dem Coulomb-Feld des Kerns und einem homogenen elektrischen Feld F~ = F~ez , F > 0, ausgesetzt sei. Das Potential lautet dann in atomaren Einheiten (mit me = |e| = 1): 1 V = − + Fz r a) Stellen Sie für diese Situation die klassische Hamiltonfunktion auf und transformieren Sie sie in parabolische Koordinaten (ξ, η, ϕ), die mit kartesischen Koordinaten durch x= q ξη cos ϕ, y= q ξη sin ϕ, 1 z = (ξ − η) 2 verknüpft sind. Ergebnis: H= ´ p2 2 ³ 2 2 F ξ pξ + η p2η + ϕ − + (ξ − η) ξ+η 2ξη ξ + η 2 b) Stellen Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung auf und zeigen Sie, daß sie in Parabelkoordinaten separiert, d.h. daß sie sich mit dem Ansatz S(ξ, η, ϕ) = Sξ (ξ) + Sη (η) + Sϕ (ϕ) lösen läßt. Stellen Sie Sξ , Sη und Sϕ als Integrale dar. c) Diskutieren Sie die Bewegung in den Koordinaten ξ und η qualitativ. Wann ist die Bewegung offen, wann quasiperiodisch? d) Stellen Sie die Wirkungsvariablen des Systems als Integrale dar.
