Aufgaben - IAP TU

Blatt 12
24.01.2013
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik I:
Klassische Mechanik
Prof. Dr. G. Alber
MSc Nenad Balanesković
Hamilton-Funktion
1. Betrachten Sie zwei Massenpunkte m1 und m2 die sich gemäß dem Newtonschen Gravitationspotential
γm1 m2
U(~x1 − ~x2 ) = −
|~x1 − ~x2 |
anziehen.
(a) Wie lautet die Lagrangefunktion dieses Zweikörperproblems ?
(b) Transformieren Sie die Lagrangefunktion auf Schwerpunkts- und Relativkoordinaten, wobei
Sie als Relativkoordinaten Kugelkoordinaten wählen. Welche Koordinaten sind zyklisch ?
Welche Erhaltungsgrößen folgen daraus ?
(c) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion und die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in diesen Koordinaten.
(d) Lösen Sie die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für den Relativabstand unter Benutzung
~2 =
der Erhaltungsgrößen für gebundene Bewegung (Erel < 0). Zeigen Sie dazu, dass auch L
rel
p2θ + p2φ / sin2 θ eine Erhaltungsgröße ist.
Hinweis: In dem auftretenden Radialintegral ist die Substitution r = a(1 − e cos ξ), wobei
~ 2 /(µγm1 m2 ) zweckmäßig.
a = γm1 m2 /(2|Erel |) = p/(1 − e2 ) und p = L
rel
2. Die Dynamik eines relativistischen geladenen Massenpunktes der Masse m und Ladung q in einem
äußeren elektromagnetischen Feld ist charakterisiert durch die Lagrangefunktion
q
2
2
˙
~ x, t) − qΦ(~x, t)
L(~x, ~x, t) = −mc 1 − ~x˙ /c + q~x˙ A(~
~ x, t) = −∇Φ(~
~ x, t) − ∂t A(~
~ x, t) und B(~
~ x, t) = ∇
~ × A(~
~ x, t).
mit E(~
(a) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion dieses Systems.
(b) Wie lautet die Hamiltonfunktion eines freien relativistischen Teilchens in Zylinderkoordinaten ?
3. Relativistische Dynamik eines Massenpunktes in einem statischen Magnetfeld.
~ x, t) = − 1 ~x × (B0~ez ), Φ(~x, t) = 0,
(a) Zeigen Sie, dass die elektromagnetischen Potentiale A(~
2
~ x, t) = B0~ez beschreiben.
ein statisches homogenes Magnetfeld B(~
(b) Wie lautet die Hamiltonfunktion eines geladenen relativistischen Massenpunktes in diesem
Magnetfeld in Zylinderkoordinaten ? Gibt es zyklische Koordinaten ? Welche Erhaltungsgrößen folgen daraus ?
1
(c) Bestimmen Sie die Bahnkurve des Teilchen zur Anfangsbedingung
~x(t = 0) = y0~ey ,
mit y0 =
~x˙ (t = 0) = v0~ex .
mv0
1
p
qB0 1 − (v0 /c)2
4. Beweisen Sie für beliebige Funktionen f (q, p, t), g(q, p, t) und h(q, p, t) über dem Phasenraum die
Gültigkeit der Jacobi-Identität:
{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0.
2