( , ) max ggT a b T T = ∩ ( , ) min kgV a b V V = ∩ 45 63 45 18 27 18

Zahlentheorie
ggT, kgV, erweiterter Euklidischer Algorithmus
Mai 05
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Definitionen:
Teilermenge
S. 4
Tn = Menge derTeiler von n = { t ∃ k ∈ N mit t ⋅ k = n}
Vielfachenmenge
Vn = {v ∃ k ∈ N mit k ⋅ n = v}
ggT ( a , b ) = max ( Ta ∩ Tb ) englisch gcd(a,b)
Kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV ( a , b ) = min (Va ∩ Vb ) =lcm(a,b)
Größter gemeinsamer Teiler
Ist ggT(a,b)=1, dann sagt man “a ist teilerfremd zu b” oder “a ist relativ prim zu
b”.
Algorithmen zur Bestimmung des ggT:
Wechselwegnahme
45 63
45 18
27 18
9 18
TI: gcd(45,63) oder ggte(45,63) ergibt {9,3,-2,}
ggT(45,63)=?
Man schreibt die beiden Zahlen
in eine Tabelle und zieht
solange immer die kleinere von
der größeren ab, bis die kleinere
die größere teilt. Dann ist diese
letzte kleinere Zahl der ggT.
ggT(45,63)=9
15 22
15 7
8 7
Das klappt, weil
jeder
gemeinsame
Teiler jede
Differenz teilt.
1 7
Dass man dabei nicht auf einen kleineren gemeinsamen Teiler kommen kann, merkt man, wenn man weiter abzieht.
Euklidischer Algorithmus
63 = 1 ⋅ 45 + 18
220 = 2 ⋅ 75 + 70
ggT(a,b)=? Sei a>b.
Man teilt a durch b mit Rest r1.
Man teilt b durch r1 mit Rest r2.
45 = 2 ⋅ 18 + 9
75 = 1 ⋅ 70 + 5
Man teilt r1 durch r2 mit Rest r3.
und so fort....
18 = 2 ⋅ 9 + 0
70 = 12 ⋅ 5 + 0
bis ein Rest 0 ist. Der vorige
ggT (63,45) = 9 ggT (220,75) = 5 Rest ist dann der ggT(a,b).
Ersichtlich ist der Euklidische Algorithmus eine Abkürzung der Wechselwegnahme. Gemeinsame Teiler werden auf die Reste “durchgereicht”.
Erweiterter Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung der
Vielfachsummendarstellung des ggT, d.h.
∃s , t ∈ Z mit ggT ( a , b ) = s ⋅ a + t ⋅ b
ggT (63,45) = 9
9 = 45 − 2 ⋅ 18
9 = 45 − 2 ⋅ (63 − 1 ⋅ 45)
9 = −2 ⋅ 63 + 3 ⋅ 45
, Linearkombination von a und b
Man verfolgt die Zeilen des Euklidischen
Algorithmus termmäßig ohne auszurechnen
rückwärts. Günstig ist es, stets den größeren Rest
links zu schreiben. Ersichtlich entstehen so die
gesuchten Linearfaktoren s und t. Die
Existenz dieser Darstellung heißt auch
“Lemma von Bezoût”.