Proseminar Mathematische Methoden der Physik II Universität

Proseminar Mathematische Methoden der Physik II
Aufgabenblatt 6, 2. Dezember 2015
Universität Innsbruck
Name:....................................................................Matrikelnr:..................................................
Zahl der abgegebenen Blätter inkl Angabeblatt...................
Erste Klausur
Begründen Sie Ihre Antworten nachvollziehbar!
1. (4P) Sei (x, y) die Standardkarte von R2 und u = ln x2 + y 2 auf R2
0.
(a) (1P) Berechnen Sie ∂x u = ...................
(b) (1P) Berechnen Sie ∂x2 u = ...................
(c) (1P) Berechnen Sie ∆u = ......................
(d) (1P) Überprüfen Sie in polaren Koordinaten (r, ϕ) Ihr Ergebnis für ∆u = ......................
Hinweis:
1
1
1
1
∆u = ∂r2 u + ∂r u + 2 ∂ϕ2 u = ∂r (r∂r u) + 2 ∂ϕ2 u.
r
r
r
r
2. (2P) Sei (r, ϕ) die polare Karte der geschlitzten Ebene U ⊂ R2 und u = rα cos (αϕ) auf U für ein
α ∈ R. Berechnen Sie ∆u = ......................
3. (4P) V sei ein reeller Vektorraum der Dimension n ≥ 2. In V sei ein Skalarprodukt ·, · samt
zugehöriger Norm |·| gewählt. Für ein e ∈ V mit |e| = 1 sei
Φ:U =V
R≥0 · e → R mit Φ (p) = |p| − e, p .
(a) (2P) Berechnen Sie im Punkt p = −e den Vektor gradp (Φ) = ....................
(b) (2P) Berechnen Sie im Punkt p = −e die Zahl ∆p Φ = divp (grad (Φ)) = ....................
4. (3P) Der Vektorraum V aus Bsp 3 habe die Dimension n = 3. Eine Orientierung sei in V gwählt.
Für ein e ∈ V mit |e| = 1 sei X (p) = |p| · e.
(a) (2P) Berechnen Sie rotp X = ...................... für p = 0.
(b) (1P) Ist X konservativ?
5. (3P) Welche Zahlen z ∈ C erfüllen z 2 = i? Geben Sie sowohl Real- als auch Imaginärteil der
Lösungen an. Welche der Zahlen ist die Hauptzweigwurzel von i?
6. (4P) Überprüfen Sie mithilfe der CR-Gleichungen die Holomorphie von cos auf C.
1
Lösung
1a) Es gilt ∂x u = 2x/ x2 + y2 und daher
∂x2 u =
2 x2 + y 2 − (2x)2
(x2 + y2 )2
=2
y 2 − x2
(x2 + y2 )2
.
2
2
−y
1b) Die Funktion ∂y2 u ergibt sich aus ∂x2 u durch Austausch von x und y. Also gilt ∂y2 u = 2 (xx2 +y
2 )2 =
2
−∂x u und daher
1c) ∆u = 0.
1d) Es gilt u = ln r2 = 2 ln r und daher ∆u = 1r ∂r (r∂r u) = 2r ∂r r 1r = 2r ∂r (1) = 0.
2) Auf U gilt
1
1
∆u = ∂r2 + ∂r + 2 ∂ϕ2 rα cos (αϕ) = α (α − 1) + α − α2 rα−2 cos (αϕ) = 0.
r
r
3a) Es gilt
gradp Φ =
−e
− e = −2e.
Daraus folgt grad−e Φ = |−e|
Anmerkung: Es gilt für p ∈ U
gradp Φ
2
=
p
−e
|p|
p
− e.
|p|
2
= 1−2
p, e
+1
|p|
=2 1−
|grad u| nimmt sein Maximum 2 also auf der Halbachse R<0 · e an.
3b) Es gilt
ιd
ιd
∆Φ = div
− e = div .
|·|
|·|
In Blatt 1, Bsp 2 wurde gezeigt, dass für m ∈ Z das Vektorfeld Y : V
Divergenz
div Y = (n + m) |p|m
p, e
|p|
.
0 → V mit Y (p) = |p|m p die
p
hat. Mit m = −1 folgt somit
∆Φ = div |·|−1 ιd =
Auswertung im Punkt −e ergibt somit ∆−e Φ = n − 1.
(n − 1)
.
|·|
4a) Es gilt nach einer Faulenzerregel und wegen der Konstanz von e
rot (X) =
p
grad |·| × e + |p| rot (e) = grad |·| × e
p
p
=
p
p×e
Le (p)
=−
(Siehe Drehvektorfeld Le )
|p|
|p|
4b) Wegen rot (X) = 0 ist X√nicht konservativ. √
5) Es sind z± = ± (1 + i) / 2. Also ℜz± = ±1/ 2 = ℑz± . Die Zahl z+ ist wegen ℜz+ > 0 die
Hauptzweigwurzel.
6) Es gilt für z = x + iy mit x, y ∈ R
2 cos z
=
=
=
=
eiz + e−iz = eix−y + e−ix+y = eix e−y + e−ix ey
(cos x + i sin x) e−y + (cos x − i sin x) ey
cos x e−y + ey + i sin x e−y − ey
2 cos x cosh y − i2 sin x sinh y.
Also gilt u (x, y) = cos x cosh y und v (x, y) = − sin x sinh y. Die für die CR-Gleichungen relevante Jacobimatrix ist
− sin x cosh y − cos x sinh y
∂x u ∂x v
=
.
∂y u ∂y v (x,y)
cos x sinh y − sin x cosh y
Somit gilt für alle z ∈ C, dass ∂x u = ∂y v und ∂y u = −∂x v.
2