Experimentalphysik E1 !

Experimentalphysik E1!
Prof. Joachim Rädler !
Paul Koza (Vorlesungsbetreuung) !
Alle Informationen zur Vorlesung unter :!
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html!
Fehlerrechnung!
Der freie Fall!
V02 – 19.Okt 2012!
Einheit der Zeit!
Ursprüngliche Definition:!
1s = 1/(60 60 24)!
= 1/86400 eines mittleren!
Sonnentages!
Heute gültige Definition : Sekunde [s]!
1 Sekunde ist das Zeitinterval, während dessen die Cäsiumuhr !
9 192 631 770,0 Schwingungen macht. !
=> Relative Messunsicherheit : 10-14!
Atomuhren gehen auf 20 Millionen Jahre 1 s falsch.!




bis 100 GHz mit elektronischen Zählern!
http://nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=858!
Frequency !
Comb!
Zeitenskalen!
sec!
1015
1012
109
106
103
1
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
!
!Alter des Universums!
!Alter der Erde!
!Erste Menschen / alter der Pyramiden!
!1 Jahr = 3,15 107 s , 1 Tag 8,64 104 s!
!Zeit die Licht von der Sonne zur Erde benötigt!
!Abstand zwischen Herzschlägen!
!Periode einer Schallwelle!
!Periode einer Radiowelle!
!Licht legt 30cm zurück!
!Periode einer Molekülschwingung!
!Periode einer Atomschwingung!
!Licht legt Atomdurchmesser zurück!
!Periode einer Kernschwingung!
!Licht legt Kerndurchmesser zurück!
Die 7 Basisgrößen und SI-Basiseinheiten der Physik
Basisgrösse (Symbol)
SI-Einheit
Symbol
Länge (l)
Meter
[m]
Zeit (t)
Sekunde
[s]
Masse (m)
Kilogramm
[kg]
El. Stromstärke (I)
Ampère
[A]
Temperatur (T)
Kelvin
[K]
Lichtstärke (I)
Candela
[cd]
Stoffmenge (n)
Mol
[mol]
Zur Unterscheidung der Abkürzungen, d.h. der Symbole, für die Einheiten von anderen Abkürzungen setzen wir in
dieser Vorlesung die Symbole für die Einheiten in eckige Klammern
Messgenauigkeit und Messfehler!
1. systematische Fehler :
z.B. durch Messapparatur bedingt!
2. statistische Fehler!
!
Messung
1
ti [s]
12
!
!
Messreihe!
Arithmetisches Mittel !
Mittleres
Schwankungsquadrat!
der Einzelmessung!
(Varianz)!
Mittler Fehler des!
arithmetischen Mittels!
2 3 4
5!
8 20 15 16!
1 N
x = ∑ xi
N i =1
2
1 N
2
(xi − x )
σ =
∑
N − 1 i =1
2
σM =
N
1
(xi − x )
∑
N ⋅ (N − 1) i =1
Messreihe :!
i 1 2
xi 12 8
arithmetischer!
Mittelwert!
x=
3 4 5!
20 15 16!
1
(12 + 8 + 20 + 15 + 16)= 14,2
5
Standardabweichung der Einzelmessung!
σx =
1
(− 2,2)2 + (− 4,2)2 + (+ 5,8)2 + (+ 0,8)2 + (+ 1,6)2 + = 4,5
4
{
}
Standardabweichung (Fehler) des Mittelwerts!
σM =
σx
4,5
=
= 2,25
N
5
x = 14,2 ± 2,25
Grafische Darstellung der Messreihe!
20
xi ± σ
x ±σ M
10
1
2
3
4
5
Verteilungsfunktion!
Übergang zu normierten Verteilungen der
Messwerte!
nj/n!
1 k
x = ∑ Δn i ⋅ x i
n i=1
F = ∆ni/n!
f(x)!
k
mit
€
x!
∆xj!
xj!
€
Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k–>oo!
für ∆xi !0 geht ∆ni ! 0, aber !
ni = ∆ni/∆xi bleibt endlich!!
∑ Δn
i
=n
i=1
Verteilungsfunktion!
f ( x) = (1 n) lim (Δni Δxi )
= (1 n ) ⋅ dn dx
€ f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den
Messwert
bei x im Interwall dx zu finden !
€
Eigenschaften der Verteilungsfunktion!
Die Verteilungsfunktion ist normiert:!
k
weil
∑ Δx n
i i
=n
i=1
∫ f ( x )dx = lim[(1 n)∑ n Δx ] = 1
i
+∞
Varianz!
€
2
σ = e
2
=
i
2
∫ ( x w − x ) f ( x )dx
−∞
€
Wenn nur statistische Fehler auftreten!
€
€
Normalverteilung!
(Gausssche Glockenkurve)!
f ( x) =
€
1
2πσ
2
e
−( x−x w )
2
2σ
2
Normalverteilung!
f(x)!
f ( x) =
1
2πσ
2
e
−( x−x w )
€
σ = 1/2!
1!
2
x w +σ
P( xw − xi ≤ σ ) =
σ =1!
0!
2σ
Hat man aus n Messungen σ
bestimmt, so ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein
weiterer Messwert innerhalb der
Standartabweichung liegt !
σ = 1/4!
-1!
2
∫ f ( x )dx
x w −σ
x - xw!
Einsetzen und Integrieren ergibt:!
Anmerkung : Bei gequantelten statistischen
€ die $ P (ei ≤ σ ) = 0,683 (68% Vertrauensbereich)
Vorgängen z.B. Photonenzählen geht
Gauss- in die Poissonverteilung über!
P (ei ≤ 2σ ) = 0,954 (95% Vertrauensbereich)
x
f ( x) =
x −x
e
x!
x = ganzzahlig €
€
P (ei ≤ 3σ ) = 0,997 (99% Vertrauensbereich)
Zentraler Grenzwertsatz!
Sind xi unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert xw und!
n
!
1
xi
Varianz σ2, so ist die Summe
im Grenzwert n-> ∞ !
∑
n i=1
!
normalverteilt mit Mittelwert xw und Varianz σ2/n.!
Wer misst misst Mist!!
Systematisch Fehler !
Kalibrierfehler!
Hintergrundsignale!
nj!
Statistische Fehler!
x!
∆xj!
xj!
Thermische Fluktuationen!
Schrotrauschen!
1/f Rauschen!
Zur Natur der Messfehler!
Wie nah sind wir dem "wahren" Wert ?!
Quelle : Demtröder, 2003!
Geschwindigkeit!
Geschwindigkeit v ist das Verhältnis des zurückgelegten Weges!
Δs zur dazu benötigten Zeit, Δt.!
s[m]!
s[m]!
Δs!
Δt!
t[s]!
Δs 10 m
m
v=
=
=5
Δt
2 s
s
t[s]!
Δs ds
=
Δt →0 Δt
dt
v = lim
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit!
Die Beschleunigung!
Die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit nennt man!
Beschleunigung. !
Auch die Beschleunigung ist ein
Vektor. !
v[m/s]!



Δv dv $ m '
a = lim
= & 2)
t →0 Δt
dt % s (
€
t[s]!
d 2s
dv
ds
a=
⇒a=
und! v =
dt
dt
dt
[]
a m
s2
Die gleichförmig beschleunigte Bewegung!
a!
a( t) = a
t [s ]
[ ]
t
v m
s
v (t ) =
∫ a ⋅ dt
0
v (t ) = a ⋅ t + v 0
v0!
t [s ]
s[m ]
t
s (t ) =
∫ (a ⋅ t + v )dt
0
0
s0!
s (t ) =
t [s ]
a 2
⋅ t + v 0 ⋅ t + s0
2
g=9,36±0.22 m/s2!
Erste Messung von g im Jahre 1651!
Asinelli Turm in Bologna!
Aus: Physics Today, Sept. 2012!