Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2017/18
Blatt 1: Mathematische Grundlagen
1. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
3
(2xn )2
(xn+1 )
a)
:
=
3 2 xn
(3xn 3 )3 · x9
p
1
5
2x 3 · x 4
p
b)
=
4x
v
s
u
u
2
t a + b 3 (a · b)
c)
·
=
a2
64a + 64 b
2. P
Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:
8
"
#9
<✓ 3x2 ◆ 3 9 · (x y)2 2 =
(2x) 3
·
:
=
: x2 xy
;
23 y 3
5x 5y
3. Bestimmen Sie jeweils die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an:
2x)2 = 35
1
b) (x 3) · (x + 1) · (x
)=0
2
p
c) 4
5x + 11 = 0
p
x2 1
d) x3 64 · p
=0
x2 + 1
a) (3x
6)2
(9
4. P Bestimmen Sie jeweils die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die
Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an:
x 2
x
2x
a)
+
=1+ 2
x+1 x 1
x
1
p
b) 15x + 10 + 3x = 8
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5. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
6!
a)
4!2!
n!
b)
(n 3)!
(2n)!
c)
(2n 2)!2!
6. Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen über R an:
a) x2
b)
7. P
2x
x
5
3<0
8

x
x 2
Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung über R an:
2x 1
x 3
3
8. Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R:
1
|x|
9. P
1
>1
Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R:
||x| + | 5|| < 6x
10. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
2
a) loga (aloga (a ) ) =
✓ 3 ◆
e
b) ln
=
e+3
c) log3 (9) + log3 (27x)
log3 (9x) =
11. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Gleichungen nach der Variablen x auf:
a) 2 log5 (3x + 1) = log5 (6x + 10)
b) xlnx+2 = e3
12. P Bestimmen Sie die Definitionsmenge, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen
x auf und geben Sie die Lösungsmenge an:
log10 (5) + log10 (10x) = 3
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log10 (5x)
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13. Berechnen Sie:
a)
3
X
i=0
14. P
i·2
i+1
b)
120
X
5
k=1
Berechnen Sie die folgenden Summen:
a)
10 ✓
X
1
k=1
k
1
k+1
◆
b)
5
X
(5
i=3
i)!
( i)i
c) 3 ·
3
10
X
i=1
i2
6·
10
X
i=1
i
3·
9
X
i=1
i · (i
2)
15. Berechnen Sie die folgende Doppelsummen:
1 X
13
X
i
k+1
k=0 i=10
16. P
Berechnen Sie die folgende Doppelsumme:
4 X
4
X
i=2 j=1
(i
1) · 3j
17. Schreiben Sie folgende Summen unter Verwendung des Summenzeichens an
a) 22 + 33 + 44 + 55
1 1 1 1 1
b) 1 + + + + +
2 3 4 5 6
c) a + aq + aq 2 + . . . + aq n
1
+ aq n
18. Wenn P und Q zwei Aussagen sind, so bedeutet P ) Q ,,P impliziert Q“ oder ,,aus P
folgt Q“ oder ,,wenn P, dann auch Q“. Man nennt
P eine hinreichende Bedingung für Q
Q eine notwendige Bedingung für P.
Gegeben sind nun die folgenden Aussagen:
A: ,,Die Figur F ist ein Quadrat“,
B: ,,Die Figur F hat vier gleich lange Seiten“
Welche der nachstehenden Behauptungen sind richtig?
a) A ist notwendig für B
b) B ist notwendig für A
c) A ist hinreichend für B
d) B ist hinreichend für A
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19. Gegeben sind die Mengen A = {a, {1, 2}, b, c} und B = {a, b, 1, 2}. P(A) ist die Potenzmenge von A. Stimmen die folgenden Aussagen und wenn nicht, wie lautet eine wahre
Aussage?
a) {b} 2 A
b) {1, 2} ⇢ B
c) {1, 2} ⇢ A
d) {a, b} 2 P(A)
20. P
e) {a, b} 2 A\B
⇢
1 1 1 1 1
a) Geben Sie eine beschreibende Darstellung der Menge
, , , ,
an.
3 4 5 6 7
⇢
1
3
b) Geben Sie die Menge
k 2 Z ^ 2 Z in aufzählender Darstellung an.
2k
k
⇢
1
c) Entscheiden Sie für die Menge A = 0, 2, 3,
welche der folgenden Aussagen
2
richtig sind. Begründen Sie Ihre Antwort!
i. Jedes Element von A gehört zu Z .
ii. 2 ist eine Konstante.
⇢
1
iii. Die Menge
, 0, 2, 3 ist mit A identisch.
2
iv. Die Menge {{2}} ist eine Teilmenge von A.
21. Skizzieren Sie ein Diagramm mit drei Mengen – sämtlich Teilmengen einer Grundmenge
G – im allgemeinsten Fall und schraffieren Sie folgende Menge:
(A \ (C\B)) [ (B\A)
22. Unter 90 Befragten waren 60 Personen, die gerne Ka↵ee trinken, 50 Personen, die gerne
Tee trinken und 40 Personen, die gerne Milch trinken. Diese Zahlen schließen 35 Personen
ein, die gerne Ka↵ee und Tee trinken, 25 Personen, die gerne Ka↵ee und Milch trinken
und 20 Personen, die gerne Tee und Milch trinken. Diese Zahlen wiederum schließen 15
Personen ein, die gerne Ka↵ee, Tee und Milch trinken.
a) Erstellen Sie ein Venn Diagramm des Sachverhaltes.
b) Bestimmen Sie wie viele Personen keines der Getränke gern trinken!
23. P M und N sind nicht-disjunkte Teilmengen einer Grundmenge ⌦ = {a, b, c, d, e, f, g}
für die gilt:
M = {a, c, e}
N \ M = {b, d, f }
⌦ \ N = {a, c, g}
a) Skizzieren Sie M und N und die Grundmenge ⌦ in einem Venn-Diagramm.
b) Bestimmen Sie die Mengen
i. M \ N
ii. M [ N
iii. M [ N
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24. Gegeben sind die folgenden vier Mengen:
M1 = {x 2 R | 0 < x  6}
M2 = {x 2 N | x3 < 64}
M3 = [1 ; 7]
M4 = {1, 5}
a) Skizzieren Sie diese Mengen auf einer Zahlengeraden der reellen Zahlen
4
\
b) Bestimmen Sie den Durchschnitt
Mi aller vier Mengen!
c) Bestimmen Sie die Vereinigung
i=1
4
[
Mi aller vier Mengen!
i=1
d) Bestimmen Sie das kartesische Produkt von M2 und M4 !
e) Bestimmen Sie die Komplementmenge von M1 bezüglich R!
f) Bestimmen Sie die symmetrische Di↵erenz von M1 und M3 !
g) Bestimmen Sie - falls möglich - die Potenzmenge der Menge M = M4 [ {0}!
25. Zeichnen bzw. schraffieren Sie die folgenden Mengen in R ⇥ R. Welche dieser Mengen sind
konvex? (Hinweis: Eine Menge heißt konvex, wenn sie zu je zwei beliebigen Punkten auch
deren ganze Verbindungsstrecke enthält.)
a) A = {(x, y) | 6x + 3y = 12 ^ x > 0}
b) B = {(x, y)|(y  2
c) C = {(x, y) | (x
26. P
x) ^ (x
2
5) + y
2
0) ^ (y > 0)}
25}
Gegeben sind die Mengen A und B, die wie folgt definiert sind:
A = {(x, y) 2 [0, 2] ⇥ [0, 2] |
x2 + y 2  4}
1
B = {(x, y) 2 R+ ⇥ R+ | (2x < y) _ ( x > y)}
2
a) Skizzieren Sie die Mengen A und B in einem geeigneten Koordinatensystem.
b) Kennzeichnen Sie die Menge A \ B. Ist diese Menge konvex?
Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach
Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren!
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