Ubungsaufgaben Einführung in die Diskrete

TU Ilmenau
Institut für Mathematik, Diskrete Mathematik
Dr. D. Scheide
Sommersemester 2012
Übungsaufgaben Einführung in die Diskrete Mathematik
Serie 1/2
Aufgabe 1
Es sei N = {1, 2, . . . , 100} und A ⊆ N mit |A| = 55. Zeigen Sie, dass A zwei Zahlen
a und b enthält mit a − b = 9. Gilt dies auch für |A| = 54?
Aufgabe 2
Beweisen Sie folgende Aussage (Satz 1.4 aus der Vorlesung):
Sei n ∈ N und sei a1 , a2 , . . . , an2 +1 eine endliche Folge verschiedener reeller Zahlen.
Dann existiert eine monotone Teilfolge (steigend oder fallend) der Länge n + 1.
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass
n
n1 ,...,nr
=
n!
n1 !...nr !
ist.
Aufgabe 4
Zeigen Sie den Multinomialsatz:
(a1 + . . . + ar )n =
X
n1 ,...,nr ≥0
n1 +...+nr =n
n!
an1 . . . anr r
n 1 ! . . . nr ! 1
Aufgabe 5
(a) Bestimmen Sie die Anzahl f (n) der n-stelligen nat. Zahlen (im Dezimalsystem), welche die Ziffer 7 nicht enthalten.
P1
(b) Zeigen Sie, dass die Reihe
konvergiert, sofern über alle nat. Zahlen k
k
k
summiert wird, welche die Ziffer 7 nicht enthalten.
1
Aufgabe 6
Der Osterhase hat einen Beutel mit r = 10 roten und s = 20 blauen Ostereiern. Er
entnimmt (ohne hinzusehen) k = 5 Eier. Wie groß ist die (klassische) Wahrscheinlichkeit, dass
(a) alle Eier rot sind,
(b) alle Eier blau sind,
(c) genau drei Eier rot sind,
(d) wenigstens ein Ei rot ist?
Aufgabe 7
Es sei Sn := {f | f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} bijektiv } die Menge aller Permutationen der Menge {1, . . . , n}. Man nennt i einen Fixpunkt von f ∈ Sn , falls f (i) = i
ist. Es sei Fn (i) = {f ∈ Sn | i ist Fixpunkt von f }. Weiterhin sei Fn die Menge
aller Permutationen, die wenigstens einen Fixpunkt haben und Dn die Menge der
fixpunktfreien Permutationen aus Sn . Man bestimme
(a) |Sn |,
(b) |Fn (i)| für i = 1, . . . , n,
(c) |Fn |,
(d) |Dn |.
Aufgabe 8
Sei Fn,k die Menge aller k-elementigen Teilmengen von {1, . . . , n}, welche kein Paar
aufeinander folgender Zahlen enthalten.
(a) Geben Sie F5,2 an.
(b) Zeigen Sie: |Fn,k | =
n−k+1
k
Aufgabe 9
Ein Kartenspiel bestehe aus n verschiedenen Karten. Auf wie viele Arten kann man
die Karten zweier identischer solcher Spiele sortieren, so dass keine zwei gleichen
Karten nebeneinander liegen?
2
Aufgabe 10
Sei d eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass jede ganze Zahl n ≥ 0 eine eindeutige
Darstellung der Form
d X
ai
n=
i
i=1
mit ganzen Zahlen ad > · · · > a1 hat.
Aufgabe 11
Angenommen n verschiedene Zahlen (n sehr groß) werden auf n Zettel geschrieben
und dann in einem Hut durchmischt. Wir ziehen aus dem Hut eine Zahl nach
der anderen. Unsere Aufgabe ist es, die größte Zahl zu finden. Dabei müssen wir
unmittelbar nach einer Ziehung sagen, das ist die größte Zahl, es ist nicht erlaubt,
eine frühere Zahl zu benennen. Da wir nichts über die Größenordnungen der Zahlen
wissen, erscheint die Aufgabe hoffnungslos. Und doch gibt es einen Algorithmus,
der mit Wahrscheinlichkeit > 13 die richtige Zahl benennt.
Hinweis: Lasse s Zahlen vorbeigehen und erkläre dann die erste, die größ er als alle
bisherigen ist, als größte.
Aufgabe 12
Sei
S(n, r) :=
n
X
kr .
k=1
P
Bekanntlich ist S(n, 1) = 2 . Benutzen Sie die Rekursion nm=0
(Satz aus der Vorlesung), um S(n, 2) und S(n, 3) zu bestimmen.
(Zusatz: S(n, 4), S(n, 5))
n+1
Aufgabe 13
Für die Stirling-Zahlen beweise man folgende Identitäten:
(a)
Sn+1,k+1 =
n
P
i=k
(b)
sn+1,k+1 =
n
P
i=k
3
n
i
i
k
Si,k
sn,i
m
k
=
n+1
k+1